第2讲直接证明与间接证明

并同类项，化成积式 证明 ∵m＞0，∴1＋m＞0. 所以要证原不等式成立， 只需证明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)， 即证m(a2－2ab＋b2)≥0， 即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立， 故原不等式得证． 【反思与悟】 逆向思考是用分析法证题的主要思想，通 过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化 方向是使问题顺利获解的关键．
【变式3-1】 已知a，b为非零向量，且a，b不平行， 求证：向量a＋b与a－b不平行．
怎样用反证法证明问题 【问题研究】 反证法是主要的间接证明方法，其基本特点 是反设结论，导出矛盾，当问题从正面证明无法入手时， 就可以考虑使用反证法进行证明.在高考中，对反证法的考 查往往是在试题中某个重要的步骤进行.
2．间接证明
一般地，由证明p⇒q转向证明：假设q为假⇒r⇒…⇒t. t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定假设q为假， 推出q为真的方法，叫做反证法．
一个关系 综合法与分析法的关系 分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结 论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找 到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将 两种方法交叉使用． 两个防范 (1)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并 用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾 结果，其推理过程是错误的． (2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范 性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等 分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学 问题成立．
考向三
反证法的应用
[审题视点]第(1)问用单调增函数的定义证明；第(2)问假设 存在x0＜0后，应推导出x0的范围与x0＜0矛盾即可．
【反思与悟】当一个命题的结论是以“至多”，“至少”、 “唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关 键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛 盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛 盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具， 是数学证明中的一件有力武器．
专题十三 推理证明、算法、复数
第2讲 直接证明与间接证明
1．在历年的高考中，证明方法是常考内容，考查的主要 方式是对它们原理的理解和用法．难度多为中档题，也有 高档题． 2．从考查形式上看，主要以不等式、立体几何、解析几 何、函数与方程、数列等知识为载体，考查综合法、分析 法、反证法等方法． 【复习指导】 在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综 合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在 解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题 的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它 们的目的．
1．直接证明 (1)综合法 ①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经 过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这 种证明方法叫做综合法． ②框图表示： (其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示 要证的结论)．
(2)分析法 ①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充 分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这 种证明方法叫做分析法．
【解决方案】 首先反设，且反设必须恰当，然后再推理、 得出矛盾，最后肯定.
【审题视点】 第(1)问采用反证法，第(2)问解l1与l2的交点坐 标，代入椭圆方程验证．
【反思与悟】 用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否 定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理， 即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证； (3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假 设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是 明显的． 【试一试】 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．
考向一
综合法的应用
[审题视点] 用综合法证明，可考虑运用基本不等式
【反思与悟】综合法是一种由因导果的证明方法，即由已 知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此 ，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三 段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎 规律，才能保证结论的正确性．