第2讲直接证明与间接证明

2．间接证明
一般地，由证明p⇒q转向证明：假设q为假⇒r⇒…⇒t. t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定假设q为假， 推出q为真的方法，叫做反证法．
一个关系 综合法与分析法的关系 分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结 论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找 到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将 两种方法交叉使用． 两个防范 (1)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并 用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾 结果，其推理过程是错误的． (2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范 性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等 分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学 问题成立．
专题十三 推理证明、算法、复数
第2讲 直接证明与间接证明
1．在历年的高考中，证明方法是常考内容，Байду номын сангаас查的主要 方式是对它们原理的理解和用法．难度多为中档题，也有 高档题． 2．从考查形式上看，主要以不等式、立体几何、解析几 何、函数与方程、数列等知识为载体，考查综合法、分析 法、反证法等方法． 【复习指导】 在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综 合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在 解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题 的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它 们的目的．
【解决方案】 首先反设，且反设必须恰当，然后再推理、 得出矛盾，最后肯定.
【审题视点】 第(1)问采用反证法，第(2)问解l1与l2的交点坐 标，代入椭圆方程验证．
【反思与悟】 用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否 定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理， 即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证； (3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假 设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是 明显的． 【试一试】 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．
考向一
综合法的应用
[审题视点] 用综合法证明，可考虑运用基本不等式
【反思与悟】综合法是一种由因导果的证明方法，即由已 知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此 ，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三 段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎 规律，才能保证结论的正确性．
1．直接证明 (1)综合法 ①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经 过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这 种证明方法叫做综合法． ②框图表示： (其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示 要证的结论)．
(2)分析法 ①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充 分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这 种证明方法叫做分析法．
考向三
反证法的应用
[审题视点]第(1)问用单调增函数的定义证明；第(2)问假设 存在x0＜0后，应推导出x0的范围与x0＜0矛盾即可．
【反思与悟】当一个命题的结论是以“至多”，“至少”、 “唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关 键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛 盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛 盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具， 是数学证明中的一件有力武器．
【变式3-1】 已知a，b为非零向量，且a，b不平行， 求证：向量a＋b与a－b不平行．
怎样用反证法证明问题 【问题研究】 反证法是主要的间接证明方法，其基本特点 是反设结论，导出矛盾，当问题从正面证明无法入手时， 就可以考虑使用反证法进行证明.在高考中，对反证法的考 查往往是在试题中某个重要的步骤进行.
考向二
分析法的应用
[审题视点] 先去分母，合并同类项，化成积式 证明 ∵m＞0，∴1＋m＞0. 所以要证原不等式成立， 只需证明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)， 即证m(a2－2ab＋b2)≥0， 即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立， 故原不等式得证． 【反思与悟】 逆向思考是用分析法证题的主要思想，通 过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化 方向是使问题顺利获解的关键．