6.4(3)反三角函数习题课

6
3 2. )
4.函数y 2sin3x, x[ 6 , 6 ]的反函数是
.
5.函数y
3arccos(1
2x 4
)的反函数是
.
y 1 arcsin x x [2,2];
3
2
1 4cos x
y
3
2
x [0,3 ]
6.函数f ( x) 2arcsin( x 1) 的反函数
。
7.研究函数y arccos( x x2 )的性质.
6.4(3)反三角函数及 其性质
一、内容提要 1.反三角函数的图象和性质
yarcsinx yarccosx
yarctgx
图
y
y
y
象
0x
0
x
定义域 值域 奇偶性
[1，1]
[2，2 ] 奇函数
0x
[1，1]
[0， ]
非奇非偶
R
(2，2 ) 奇函数
单调性 [1，1]上递增 [1，1]递减
R上 递 增
对称性 中心(0，0)
定义域： [1 5 , 1 5 ]
2
2
值域： [arccos 1 , ]
4
单调递增 区间：
[1 ,1 5] 22
单调递减 区间：
1 5 1
[
,]
22
奇偶性: 非奇非偶
3.反三角函数的图象相关：
1. 函数f ( x) arcsin2 x和g( x)的图象关于y轴
2
对称，则g( x)
.
2. 已知函数f ( x)是定义在[1，1]上的偶函数，
③y arccos(1 4x) (1 x 3)
88
6.y 2arcsin(x 2)值域为[ ， ]，求其定义域.
3
7.方程x sin x 和x arcsin x 的根分别是
2
2
x1、x2，求x1 x2的值(数形结合).
8.cos2 x sin x a 0在(0， ]上有解，求a的范围.
已知下列等式：
(1)arcsin 3 ;(2) arcsin1 2k (k Z );
32
2
(3) arcsin( ) arcsin ;(4)arccos 0 1;
3
3
(5)arc tg
3 ;(6) arccos( 1 ) arcsin(
3 ).
63
2
2
其中成立的有 0
个。
2.与反三角函数的性质相关的问题
3.已知关于x的方程(3sin )x2 (4cos )x 2 0， 当锐角为何值时，方程有两等根，并解此方程.
4.求满足arccos x 2arcsin y的点( x，y)的轨迹方程， 2
并画出草图.
5.求下列函数的值域：
①y arccos(x2 x) ②y arcsin x arctgx
1. 求下列函数的定义域和值域：
Байду номын сангаас
① y arcsin(tan x)
② y 1 arcsin x arctgx 2
2.
设x
sin，
[
6
，5
6
] ，则arccos
x
[0,
2 3
.]
3. 函数y (arcsin x)2 2arcsin x 1的
最大值是 ( 1)2 2 ；最小值是 2 .
2
4.arccos( x 2) 5 ,则x [1,2
几 arcsin( x)
中心(0，2 )
arcsin x arcsin
x
中心(0，0)
arccos x
个 等
arccos(
x)
arccos
x
sin(arccos x)
2 1 x2
式 arctan( x) arctan x cos(arcsin x) 1 x2
二、基本题型
1. 认识反三角函数的本质：
2
9.若x1、x2是方程x 2
x sin
5
cos
5
0的两根，
求证：arctan
x1
arctan
x2
2
5
.
当x[0，1]时，f ( x) 2x arccos x，则x[1，0]时，
f (x)
.
3. 函数f ( x) 2arccos( x 1)的图象关于
对称.
作业
1. 若2 arctan 1 ，求的六种三角比.
34 2.求下列函数值域： ①y arcsin(1 x) arccos2x
②y 1 2arctan x 1 x 1