关于效用函数最值的解法

关于效用函数最值的解法

【09年真题】假定某居民具有期望效用函数，其效用函数为U(w)=㏑W，他有机会参与掷投硬币，头面朝上的概论为π。如果他下注X元，若头面朝上，他会拥有W+X；反之，若背面朝上，他则拥有W-X。

（1）请解出居民作为π的函数的最优赌注X的量。

（2）当π=0.5时，什么是他的关于X的最优选择？为什么会有这个结果？

说明：这道题结合了不确定条件下的选择和效用函数两章的知识点

重点还是在考查效用函数最值问题的解法

应属于高级微观的知识（有点偏，有点超纲了）

在厦大研究生阶段高级微观教程中，还会更加深入的学习

这道题也是以前厦大经院研究生高级微观期末考的考题

但各位同学以现在所掌握的微观和微积分数学知识，还是可以解得出来的

第一步：列出效用函数的表达式

U（w）=π㏑(W+X)+(1-π) ㏑(W-X)

第二步：效用最大化函数为MAX U(W)=MAX [π㏑(W+X)+(1-π) ㏑(W-X)]

第三步：通过数学方法求实现最大化效用的X值（不是W值）

此步骤需注意，到底题目哪些变量是已知的，哪个变量是要求出的。如果搞混了，则答案完全错了！！！！此题目中π和W都是已知的定值，只有X是未知变量。

利用一阶导：（相当于微积分中的求极值点，经济学中的极值点肯定也会是效用函数的最大值点，所以无需详细讨论）

U’ (W)= π/（W+X）+（π-1）/（W-X）=0

得出使得效用U实现最大化的X值：X=（2π-1）W

当π=0.5时，X=0，即下注0元时，效用是最优的。所以赌与不赌效用一样。

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 如果变量是双变量的，解法也类似。利用微积分知识和效用函数基本知识

【教材第3章课后第10题】（略有改动）

通过消费食物F和衣服C，某人获得效用函数由U=FC表示。

假设食物1单位要花1美元，衣服1单位要花3美元。某人有12美元可用于食物和衣服。哪种食物和衣服是效用最大化的选择？

第一步：列出效用函数的表达式

效用函数U=FC

约束条件：F+3C=12

注意：此时有F和C之间的关系式来约束（即预算约束线），且F和C 都是未知的，通过变量F和C来实现最大化的效用。

第二步：欲求最大化U，即MAX U，

第三步：通过数学方法求实现最大化效用的F和C值

本题的未知量是F和C ，所以是双变量的求效用最大化的题

利用拉格朗日乘数法：

L=FC-λ（F+3C-12）=0

最优解F、C满足一阶条件：

C-λ=0

F-3λ=0

F+3C-12=0

联立方程解得：C=2；F=6

即当C=2，F=6时，可实现最大化效用U=12