线性方程组的消元解法解读

(1)
其中有 n 个未知量 x1 , x2 ,, xn，m 个方程，aij R (i 1,, m; j 1,, n) 是未知量的系数， b1 ,, bm R 是常数项。 若右端常数项 b1 , b2 ,, bm 均为零， 则称方程组为 齐次线性方程组； 否则称为非齐次线性方程组。
第七步，消去(8)中的x2，(8)-(10) 得
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第七步，消去(8)中的x2，(8)-(10) 得
由此得到了方程组的解。 思考：上述求解过程用到了哪些方法，从而逐步 对原方程组进行消元变简？
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用到了如下三种变换 1、交换两个方程的顺序； 2、用一个非零常数乘某个方程； 3、用一个数乘某个方程后加到另一个方程上； 称上述三种变换为线性方程组的初等变换。 初等变换的作用在于 将方程组的形式变的简单易求，且新方程组与原 方程组是同解方程组。 用消元法求解线性方程组的实质 对方程组施行一系列同解的初等变换，将它逐步 化简以求其解。
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经初等变换求解线性方程组的这一思路，反映了 一般线性方程组的求解规律。 思考：方程组的解和未知量符号有没有关系？
那和什么有关呢？
没有
和未知量的系数以及右端的常数项有关！
问题：在用初等变换求解方程组时，本质上是 对什么在运算？什么在变化？
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由(-1/3)×(8) 得 将(7)(9)代回(2)中，即消去(2)中的 x2, x3，由
(-2)×(7)+(2)，(2)-(9) 得
故原方程组的解为
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从上述求解过程可以看出
加减消元法的基本思想就是：利用方程之间的算 术运算，每次消去一个未知量，得到一个比原方程 组少一个未知量的方程组，一次一次进行下去，直 至得到便于求解的一个形式简单的方程。
第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的 x2， (5)-(4) 得
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第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的 x2， (5)-(4) 得
此时方程组中下一个方程比上一个方程少一个未 知量，形状如阶梯，称此方程组为阶梯形方程组。
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第四步，使(6)中的 x3 的系数变为1，(-1/2)×(6) 得
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将要研究的问题 1、线性方程组是否有解？ 2、若有解，解是否唯一？ 3、有解时，如何求出全部的解？
研究的思路和途径 1、在中学代数中的加减消元法的基础上，结合 具体的线性方程组Байду номын сангаас导出求解一般方程组的通用方 法：高斯消元法；
2、从实际例子出发，利用高斯消元法观察解存在 与否的判断方法。
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本节的主要内容
1、线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
为了便于将此方法应用到任意形式的方程组的求
解，仍以例1为例，完整规范的写出它的解题步骤。
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例1
求解线性方程组
解：第一步，为了便于运算，互换(1)与(2)的位置 1
第二步，消去第一个方程下面的各个方程中的 x1， (1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
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(1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
第五步，消去(2)(4)中的 x3，(2)-2×(7)，(4)+2×(7)
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第五步，消去(2)(4)中的 x3，(2)-2×(7)，(4)+2×(7)
第六步，使(9)中的 x2 的系数变为1，(-1/3)×(9) 得
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第六步，使(9)中的 x2 的系数变为1，(-1/3)×(9) 得
例1
求解线性方程组
解：首先，用(2)消去(1)(3)中的未知量 x1， 由 (-2)×(2)+(1)，(-4)×(2)+(3) 得
该方程组比原方程组少一个未知量。
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其次，用(4)消去(5)中的未知量 x2，由(5)-(4) 得 这比原方程组又少了一个未知量。 由(-1/2)×(6) 得 最后，将(7)代回(4)中，即消去(4)中的 x3， 由2×(7)+(4) 得
第三章 线性代数初步
§1 线性方程组的 消元解法
§2 矩阵及其运算
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线性代数作为独立的学科分支直到20世纪才形
成，然而它的历史却非常久远。
最古老的线性代数问题是线性方程组的求解，
在中国古代的数学著作《九章算术· 方程》章中，
已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上 相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等 变换，消去未知量的方法。
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随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入， 矩阵在18～19世纪期间应运而生，为处理线性问题提 供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。
线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代 数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支，比如 “以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然 的想法。此外，很多实际问题的处理，最后往往归结 为线性问题，它比较容易处理；同时它也是研究理论 物理和理论化学等不可缺少的代数基础知识。
我们在中学已经学过它的解法，但是实际问题中会 遇到未知量个数和方程个数都很多的一次方程组， 且未知量个数和方程个数未必相同。 由于二元一次方程表示平面上的一条直线，所以 将一次方程称为线性方程，将一次方程组称为线性 方程组。
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线性方程组的一般形式 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
解的讨论及其求解方法（m, n 未必相等）。
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2、数表
a11 a21 A a m1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
的线性运算（重要的工具）。
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§1 线性方程组的消元解法
对二元一次方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2