数学分析教案华东师大版第十九章含参量积分

第十九章含参量积分

教案目地：1.掌握含参量正常积分地概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分地概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分地形式及有关计算. 教案重点难点：本章地重点是含参量积分地性质及含参量反常积分地一致收敛性地判定；难点是一致收敛性地判定.b5E2RGbCAP

教案时数：12学时

§1含参量正常积分

和引入含参积分:.

以实例一.

.

定义含参积分和含参积分提供了表达函数地又一手段 .我们称由含参积分表达地函数为含参积分.

1. 含参积分地连续性:

Th19.5 若函数在矩形域上连续, 则函数

> P172

证上连续 . ( 在Th19.8 若函数在矩形域上连续, 函数和

则函数上连续. ( 在在, 上连续证>

P173p1EanqFDPw

2. 含参积分地可微性及其应用:

Th 19.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连

上可导, , 则函数且在续

.

( 即积分和求导次序可换> . ( 证> P174 Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连

上, 且可微, 和续,函数定义在则含参积分值域在,

上可微, 在且DXDiTa9E3d

. ( 证>P174

计算积分. P176.

例1

例2设函数在点地某邻域内连续 . 验证当充分小时, 函数

地阶导数存在, 且. P177.

§2 含参反常积分

: 含参无穷积分. 一．

1.含参无穷积分:函数定义在上( 可以是

为例介绍含参无穷积分表示地函数无穷区间> . 以.RTCrpUDGiT

2. 含参无穷积分地一致收敛性:, , 使地定义:

逐点收敛( 或称点态收敛>

.

引出一致收敛问题 .

定义(一致收敛性> 设函数定义在上 . 若对

成立对, 则称含参无穷积分, 使

( 关于在>一致收敛.5PCzVD7HxA

Cauchy积分> 收敛准则Th 19.5 在上一致收(

敛,

对成立 .

证明含参量非正常积分在上一致收敛, 例1 其中.

内非一致收敛 . P180但在区间jLBHrnAILg

: 含参无穷积分与函数项级数地关系 3. 积分在上一致收敛Th 19.6 , 对任一数列在函数项级数,

↗, 上一致收敛. ( 证略>xHAQX74J0X 二. 含参无穷积分一致收敛判别法:

Weierstrass M 判别法: 设有函数, 1. 使在上有

则积分若积分, 一致收敛在.

.

内一致收敛. P182例2 证明含参无穷积分在DirichletAbel判别法: P182判别法和 2.

三. 含参无穷积分地解读性质: 含参无穷积分地解读性质实指由其所表达地函数地解读性质.

1. 连续性: 积分号下取极限定理.

Th 19.7 设函数在上连续 . 若积分

在上连续. ( 化为级上一致收敛在, 则函数

数进行证明或直接证明>LDAYtRyKfE

推论在Th.7地条件下, 对, 有

.

积分号下求导定理: 可微性2.

Th 19.8 设函数和在上连续. 若积分

在在一致收敛上收敛, . 积分则函

且.在数上可微, 3. 可积性: 积分换序定理.

Th 19.9 设函数在上连续. 若积分

在上可积, 且有在上一致收敛, 则函数

.

例3 计算积分

P186

四.含参瑕积分简介:

Euler积分3 §

. 它们统和, 即本节介绍用含参广义积分表达地两个特殊函数

Euler积分. 在积分计算等方面, 它们是很有用地两个特殊函数.称为Zzz6ZB2Ltk GammaEuler第二型积分：——一. 函数Gamma函数: 考虑无穷限含参积分 1.

, 因此我们把该积分分为还是该积分地瑕点 . , 当时点来讨论其敛散性 .

:

时为正常积分 .时,

.利用非负函数积地Cauchy注意到判别法时积分,

Cauchy判别法判得积分发散>. 仍用因此,

易见时积分收敛 . (时,

收敛 .dvzfvkwMI1

R因此积分对成立:

对,.R收敛.

EulerEuler.第二型积分时积分收敛 . 称该积分为综上,

Gamma函数, 记为, 称该函数为第二型积分定义了内地一个函数,

即rqyn14ZNXI

=,

.

函数是一个很有用地特殊函数 .

2.

函数地连续性和可导性:

在区间内非一致收敛 . 这是因为时积分发散. 这里利用了

发散, 则积分在下面地结果: 若含参广义积分在内收敛, 但在点内非一致收敛 .EmxvxOtOco

但在区间内闭一致收敛 .即在任何上, 一

收致收敛, . 对积分, 有, 因为而积分时

敛.

M—判法, . 由它们都一对积分, , 而积分收敛

上一致收敛致收敛,

. 在区间积分可得积分, 内闭一致收敛. 作类似地讨论也在区间于是可得如下结论:

地连续性: 在区间内连续 .

内可导在区间, 且地可导性:

.

同理可得: 在区间内任意阶可导, 且

.

3. 凸性与极值:

,

在区间内严格下凸.

( 参下段>,

亦( 内唯一地极限小值点在区间之间 . 2 1 > 为最小值点介于与 4.

: 函数表地递推公式

地递推公式: .

证.

.

于是, 利用递推公式得:

,

,

, …………, ,

一般地有.

正是正整数阶乘地表达式 . 倘定义, , 在上,

易见对可见,该定义是有意义地. 因此, 可视为内实数地

阶乘. 这样内地所有实数上, 于是, 一来, 我们很

自然地把正整数地阶乘延拓到了自然就有, 是很合理可见在初等数