高等数学基础作业答案

高等数学基础第一次作业点评1

第1章 函数

第2章 极限与连续

（一）单项选择题

⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．

A. 2

)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =

，x x g =)(

C. 3

ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1

1)(2--=x x x g

⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称．

A. 坐标原点

B. x 轴

C. y 轴

D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．

A. )1ln(2

x y += B. x x y cos =

C. 2

x

x a a y -+= D. )1ln(x y +=

⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）．

A. 1+=x y

B. x y -=

C. 2

x

y = D. ⎩

⎨⎧≥<-=0,10

,1x x y

⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．

A. 12lim 2

2

=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0

=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01

sin lim =∞→x x x

⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．

A. x x sin

B. x 1

C. x

x 1

sin D. 2)ln(+x

点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量

⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。

A. )()(lim 00

x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义

C. )()(lim 00

x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0

x f x f x x x x -+→→=

二、填空题

⒈函数)1ln(3

9

)(2x x x x f ++--=

的定义域是 ．}33{>-≤x x x 或 ⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f ．x x -2

⒊=+

∞→x

x x

)211(lim ．21

e

⒋若函数⎪⎩⎪

⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1

x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k ．e

⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0

,sin 0

,1x x x x y 的间断点是 ．0=x

⒍若A x f x x =→)(lim 0

，则当0x x →时，A x f -)(称为 ．无穷小量

三计算题 ⒈设函数

⎩⎨

⎧≤>=0

,0

,e )(x x x x f x 求：)1(,)0(,)2(f f f -．

解：2)2(-=-f

0)0(=f e e f ==1)1(

点评：求分段函数的函数值主要是要判断那一点是在哪一段上。即正确选择某段函数。

⒉求函数x

x y 1

2lg

lg -=的定义域． 解：欲使函数有意义，必使01

2lg >-x

x ，

即：112>-x

x 亦即：x x >-12

解得函数的定义域是：1>x

点评：函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。

⒊在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数． 解：设梯形的高CM=x ，则22x R DM -=

梯形的上底222x R DC -=，下底R AB 2=

则梯形的面积

2

)22(22x

R x R s +-=

)0()(22R x x R x R <<+-=

⒋求x

x

x 2sin 3sin lim

0→．

解：原式=23

112322sin lim 33sin lim

2

300=⨯=⨯

→→x

x x x

x x 点评：正确利用两个重要极限，将函数作适当变形。

⒌求)

1sin(1

lim 21+--→x x x ．

解：原式=21

21

)1sin(lim )1(lim 1)1sin(1lim 11

1-=-=++-=++--→-→-→x x x x x x x x x

点评：正确利用两个重要极限，将函数作适当变形。

⒍求x

x

x 3tan lim 0→．

解：31

1

133cos 1lim 33sin lim 33cos 133sin lim 33cos 3sin lim 0000=⨯⨯=⨯=⨯=→→→→x x x x x x x x x

x x x x

点评：同上。

⒎求x

x x sin 11lim 20-+→．

解：原式=010sin 1

lim

1

1lim

sin )11()

11)(11(lim

20

2220

=⨯=⨯++=++++-+→→→x

x x x x

x x x x x x 点评：同上。 ⒏求x

x x x )3

1(

lim +-∞

→． 解：原式=

3

3

3131-+→∞⎪⎭

⎫

⎝⎛+-•⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x lim x x =3

3

343343-+∞

→⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-+•⎪⎭

⎫

⎝⎛+-+x x x x lim x x

=

3

3

341341-∞→+∞→⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+-+•⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+-+x lim x lim x x x =

3

341+∞→⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+-+x x x lim

=4

4

3341--+∞→⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣

⎡

⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x lim =4

4

3341--+∞→⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-+x x x lim =4

-e

⒐求4

58

6lim 224+-+-→x x x x x ．

解：原式=3

2

12lim )1)(4()2)(4(lim

44=--=----→→x x x x x x x x ⒑设函数

⎪⎩

⎪⎨⎧-<+≤≤->-=1,111,1

,)2()(2x x x x x x x f

讨论)(x f 的连续性，并写出其连续区间．

点评：讨论分段函数在分段点处的连续性，只要研究函数)(x f 在该点处的左右极限情况，然后再由函数连续性的定义判断。

解：先看函数在分段点1-=x 处的情况，