经典均值不等式练习题

均值不等式
均值不等式又名基本不等式、 均值定理、重要不等式。

是求范围问题最有利的工具之一, 在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。

尤其要注意它的使用条件 定、等）。

2 2 1. ⑴若a,b R ，则a 2 b 2 _ 2ab ⑵若a,b R ，则ab 空 ~— （当且仅当
_ 2
时取“=”）
* a + b ________________ *
2. ⑴若a,b • R ，则
ab ⑵若a,b • R ，则a • b _ 2•• ab （当且仅当
2
时取“=”）
（3）若a,b • R *，则ab 空 a b
（当且仅当a =b 时取“=”）
飞2丿
2 I — a + b
则 ab <
1丄 2 a b
时等号成立。

（注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均 数）
技巧1：凑项
例 已知X ：：： ◎，求函数y =4x _2
- 的最大值。

4
4x —5
技巧2 :分离配凑
2
x + 7x +10
例求y
（x • T ）的值域
x +1
技巧3:利用函数单调性
2
x +5
例 求函数y
的值域
Jx 2 +4
3.均值不等式链：若a 、b 都是正数,
a 2
b 2
当且仅当
（正
、
a = b
a = b
a 二
基本技巧
技巧4:整体代换
例
1 9
已知x . 0, y 0，且1，求x y的最小值。

x y
典型例题
1. 若正实数X, Y满足2X+Y+6=XY ,则XY的最小值是 _____________
2. 已知x>0,y >0, x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值
cd
是（）
A.0
B.1
C.2
D. 4
3. 若不等式x2+ax+4>0对一切x€ （0,1]恒成立，则a的取值范围为（）
A. b,]
B. ]
C. !-5, ■ ■- i
D. 1-4,4]
4. 若直线2ax +by-2=0 （a, b €氏）平分圆x2+y2-2 x-4 y-6=0，则2+丄的最小值
a b
是（）
A.1
B.5
C.4 2
D.3+2 2
5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,贝U x+2y 的最小值是
6. 已知x, y = R，且满足——=1，则xy的最大值为___________ .___
3 4
7. 设a 0,b 0.若是3a与3b的等比中项，贝V -，丄的最小值为（）
a b
1
A 8
B 4
C 1
D -
4
8. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）
24 28
A. B. C.5 D.6
5 5
9. 若a 0,b 0, a ^2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是（写出所有正确命题的编号）•
③ a2 b2 _2 ；④ a3b3 _3 ；
⑤ 11_2
a b
10.设a>b>0 ,则a2
1
+——
+
ab
1
---- 的最小值是( a a
「b
(A) 1 (B) 2
11.下列命题中正确的是
1
A、y =x •-的最小值是
x (0 (D) 4
、y -—x 3-的最小值是2
y =2—3X—4(X 0)的最大值是2-4.3
x
值是 2 一4、..3
x22
4
D、y = 2 -3x (x - 0)的最小
x
12.若x 2y =1，则2x4y的最小值是。