高教五版高数(经济类)三任意项级数及其审敛法随堂讲义

n
n
n 1 n 而 lim lim 1 n n 2n 1 2 2n 1
所以级数 1
n 1

n 1
n 绝对收敛 2n 1
n
例2 判别下列级数是否收敛，若收敛，是否绝对收敛。
4 1
n 1
n 1 n 1


对角线法排列 也绝对收敛，其和为s .
证明略
Brief Summary

理解交错级数、绝对收敛、条件收敛的概念；


重点及难点：掌握交错级数收敛的判别定理；
理解绝对收敛的性质定理。
Exercises
1. P260 3，4
2. 预习 第四节 幂级数
lim un 0
n
1 所以交错级数 1 收敛. n n 1
n

相似易判别交错级数 引入绝对收敛与条件收敛
1 也收敛。 1 2 n n 1
n

二、绝对收敛与条件收敛
如果级数 un中的一般项为任意实数，则称级数
n 1

为任意项级数。
1、绝对收敛与条件收敛的定义
如果级数 un 收敛，则称级数 un绝对收敛；
2、交错级数的审敛法
定理1 莱布尼兹定理 如果交错级数 1
u 0, n N n , 满足如下条件： n 1

n 1
un
1 un un1; 2
则级数 1
n 1 n 1
lim un 0.
n
un收敛，其和s u1 , 用它的部分和sn

n 1
2 n!
n 1
n2
解
因为 1
2 2 n! n!
n2
n2
而 lim
n
2
n 12
2
n2
n 1! lim
n!
2n 2 n 2 n n 1
n
所以 lim un
n
即 lim un 0
所以级数 1
n 1
sin n 1 2 n 1 n
n 1


所以原级数为条件收敛。
例2 判别下列级数是否收敛，若收敛，是否绝对收敛。
3 1
n 1

n 1
n 2n 1
n
n
解 因为 1
n
n 1
n n 2n 1 2n 1
第三节 任意项级数及其审敛法
复习：正项级数的收敛判别法。 （1）级数收敛的充要条件是部分和数列有界； （2）比较判别法：大收则小收，小发则大发； （3）比值判别法： （4）根值判别法：
un1 当 lim 1时，级数收敛； n u n
当 lim n un 1时，级数收敛；
n 1 n 1


如果级数 un收敛，但级数 un 发散，则称级数
n 1 n 1


u 条件收敛；
n 1 n

定理2 如果级数 un绝对收敛，则级数 un收敛。
证明：


设级数 un绝对收敛，即正项级数 un 收敛
n 1 n 1

n 1
n 1
1 令 vn un un 2 则 0 vn un
作为和s的近似值，其误差 sn s un 1.
证明 （见教材P257）
交错级数 1
n 1

n 1
un中un单调递减趋于0，则交错级数收敛。
例1 判别交错级数
1 的敛散性 1 n n 1
n

解 因为交错级数满足如下条件
1 1 un un 1 n n 1
n 1

所以正项级数 vn收敛 则正项级数 2vn也收敛
n 1
所以级数 un 2vn un
n 1 n 1



收敛
例2 判别下列级数是否收敛，若收敛，是否为绝对收敛。
1 2 1 ln n 1 n 1 1 1 sin n 1 解 因为 解 因为 2 2 ln n 1 n n n 1 但级数 发散 1 而正项级数 2 收敛 n 1 n 1 1 n 1 n 而 , sin n ln n 1 ln n 2 所以级数 2 绝对收敛 1 n n 1 且 lim 0 n ln n 1

n 1
2 发散 n!
n2
2、绝对收敛级数的性质 定理3 绝对收敛的级数不因改变项的位置而改变它的和。 （即绝对收敛级数具有可交换性） 定理4 绝对收敛的两级数的柯西积也绝对收敛。
即若级数 un和 vn都绝对收敛，其和分别为s，，则级数 u1v1 u1v2 u2v1 u1vn u2vn 1 unv1
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一、交错级数及其审敛法
1、交错级数的定义 如果级数的各项正负交替出现，则称该级数为交错级数。
如：
1 1 1 1 1 1 1 n 2 3 4 5 n 1
n

1
n 1

n +1
1 1 1 1 1 2 2 2 2 n 2 3 4