材料力学-梁的挠度 PPT

最大挠度及最大转角
max(a)
Pa2 2EI
a
P
L
x
fmax f(L)6PE2aI3La
f
[例3] 试用积分法求图示梁的挠曲线方程和转角方程，并
求C截面挠度和A截面转角。设梁的抗弯刚度EI为常数。
解：1．外力分析：求支座约束反力。 研究梁ABC，受力分析如图，列平衡方程：
m F yA R R A B R l B FF 1 .5 0 l0 R R B A 1 .0 5.F 5F
二、结构形式叠加（逐段刚化法）
2.位移边界条件
P
A
C
B
D
P
支点位移条件：
fA 0 fB 0
连续条件： fC fC
光滑条件： 讨论：
C
C
fD 0 D 0
或写 fC 左成 fC 右
或 写 C 左 成C 右
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条
件）确定。
④优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。
[例1] 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：
P L
建立坐标系并写出弯矩方程
x
x
M (x)P(xL)
f
写出微分方程并积分
应用位移边界条件求积分常数
E f I M (x ) P (L x ) EfI1 2P(Lx)2C1
大家有疑问的，可以询问和交
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
EfI (x) M (x)
§7-3 积分法计算梁的位移
1.微分方程的积分
EfI(x)M (x)
Ef(Ix)( M (x)d )x C 1
E ( x ) I f( ( M ( x )d x ) ) d x C 1 x C 2
§7-4 叠加法计算梁的位移
一、载荷叠加 多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独
作用于结构而引起的变形的代数和。
( P 1 、 P 2 、 P n ) 1 ( P 1 ) 2 ( P 2 ) n ( P n )
f ( P 1 、 P 2 、 P n ) f 1 ( P 1 ) f 2 ( P 2 ) f n ( P n )
BC段：由于 y2 M E 2(x2I)E F(I2 3lx2) ，积分后得：
2(x2)y E FI(2 3lx2)d2 xC 2 E F (2 3 Il2 xx 2 2 2)C 2 y2(x2) E FI(2 3l2 x1 2x2 2)d2 xC 2x2D 2 E F (4 3 Il2 2 x1 6x2 3)C 2x2D 2
材料力学-梁的挠度
目录
§7–1 概述 §7–2 梁的挠曲线近似微分方程 §7–3 积分法计算梁的位移 §7–4 叠加法计算梁的位移 §7–5 梁的刚度校核
§7－１ 概 述
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（为变形几何条件提供补充方程）。
一、度量梁变形的两个基本位移量
2．内力分析：分区段列出梁的弯矩方程：
M
M
1 2
1 2
F
Fx1 3l 2
x2
)
x1 (0， l )
x
2
( l ，3 2
l
)
3．变形分析：
AB段：
由于
y1ME1(xI1)
F1x 2EI
积分后得：
1(x1)y2 E FIx1d1xC14 E FxI12C1 y1(x1)4 E FIx12d1xC1x1D 11E 2 FxI13C1x1D 1
dx
(1
§7-2 梁的挠曲线近似微分方程
一、挠曲线近似微分方程
1 M z (x)
(1)
x
EI z
M>0
f(x)0 f
1(1ff(x2))32小变形 f(x)
M<0
f
f(x)0
x
f (x) Mz(x) EIz
f(x ) M (x ) … … （ 2 ）
E I
式（2）就是挠曲线近似微分方程。
大家应该也有点累了，稍作休息
[例2] 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：建立坐标系并写出弯矩方程
M (x) 0 P(xa)
(0xa) (axL)
a
P
L
x
写出微分方程并积分
f
EfI 0 P(ax)
(0xa) (axL)
EIf
1 2
P(a
x)2
C1
D1
EIf16P(ax)3 C1xC2 D1xD2
应用位移边界条件求积分常数
y1E2FEFI(I43x13lx221F216El2xI23x)156FEl2Ix2
Fl3
4EI
12((xx12))4EEFFIIx(1232 lx12F2El212Ix22)3FEl2I
由此可知：
A
1(x1
0)
Fl2 (逆时针方)； 向 12EI
yC
y2(x2
3l) 2
Fl3 8EI
(向下)
EI(f0)1 6P3 aC20
EI(0)1 2P2aC10
a
P
L
x
f
(a)(a) C1 D1
f(a)f(a)
C 1aC 2D 1aD 2
C 1D 11 2P2a ;C 2D 21 6P3a
写出弹性曲线方程并画出曲线
f(x)66P P E EII3(aa2xx)3a33a2xa3
(0xa) (axL)
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。
与 f 同向为正，反之为负。
C
P x 2.转角：横截面绕其中性轴转
v
动的角度。用 表示，顺时
f
C1
针转动为正，反之为负。
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为：v =f (x)
小变形
三、转角与挠曲线的关系： tg df f
边界条件：
当 x 1 0 时 y 1 ， 0 ； x 2 l时 y 2 ， 0
连续光滑条件：
当 x x l时 y y ， ，
12
1 21 2
代入以上积分公式中，解得：
C 1 1 F E 2 2 ， lI C 25 6 F E 2， lID 1 0 ， D 2 4 F E 3 lI
故挠曲线方程和转角方程分别为：
EI(f0)1 6P3LC20
E(I0)Ef(I0)1 2P2L C 10
EIf1 6P(Lx)3C1xC2
C11 2P2L;C21 6P3L
P L
x
f
写出弹性曲线方程并画出曲线
f(x)P(Lx)33L 2xL 3 6EI
最大挠度及最大转角
max(L)
PL2 2EI
fmax
f
(L)
PL3 3EI