2019-2020学年北京市清华附中高三(下)入学数学试卷(理科)
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综上，实数 的取值范围是 ．
二、填空题（共6小题；共6×5=30分）
在等差数列 中，若 ，则该数列的通项公式 ________．
【答案】
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
由已知条件易得数列的首项和公比，可得通项公式．
【解答】
解：设等差数列 的公差为 ，
∵ ，①
∴ ，②
②-①可得 ，
即 ，解得 ，
把 代入 可得 ，
4.设 ， ，则“ ”是“ ”的（）条件
A.充分不必要B.必要不充分
C.充要D.既不充分也不必要
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【解答】
若 ，则 ，∴ ，即 成立，
若 ＝ ， ＝ ，满足 ，但 不成立，
即“ ”是“ ”的充分不必要条件，
【解答】
作出对应的图象如图：
由图象可知当直线与 ＝ 垂直时对应的交点 ，此时 到 的距离最长，
此时 ，则 ＝ ＝ ．
∵点 在 内，∴ ，
∵ 成立，∴ ，
∴当线段 过原点时， 的最大长度为 ＝ ，
故答案为： ．
三、解答题（共6小题；共80分）
已知函数 ＝ （其中 ， ， ， ）的部分图象如图所示．
Ⅰ 求函数 的解析式；
解得 ，
∴通项公式 .
故答案为： .
展开式中的常数项为 ，则 ________．
【答案】
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
本题考查二项式定理．
【解答】
解：二项式 的展开式的第 项为
，
令 得 ，
则展开式的常数项为 ，
解得 ．
故答案为： ．
若函数 的图象过点 ，则函数 在 上的单调减区间是________．
5.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷 次，若使得至少有一次正面向上的概率大于或等于 ，则 的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】
A
【考点】
互斥事件的概率加法公式
【解析】
由题意， ，即可求出 的最小值．
【解答】
由题意， ，∴ ，
∴ 的最小值为 ，
6.自点 作圆 ＝ 的切线，则 到切点的距离为（）
A. B. C. D.
结案（件）
this_is_a_tag_for_span
this_is_a_tag_for_row_span
this_is_a_tag_for_row_span
this_is_a_tag_for_row_span
判决（件）
刑事案件
婚姻家庭、继承纠纷案件
权属、侵权纠纷案件
合同纠纷案件
其中结案包括：法庭调解案件、撤诉案件、判决案件等．根据以上数据，回答下列问题．
【答案】
D
【考点】
圆的切线方程
【解析】
求出圆心和半径，求出 的值，可得切线的长．
【解答】
圆 ＝ ，表示以 为圆心，以 ＝ 为半径的圆．
由于 ，故切Biblioteka Baidu的长为 ，
7.某几何体的三视图如图所示，在该几何体的体积是（）
A. B. C. D.
【答案】
B
【考点】
由三视图求体积
【解析】
如图所示，该几何体为四棱锥，其中 底面 ，作 ，垂足为 点，底面由直角梯形 与直角三角形 组成．
【解答】
直线 ＝ 恒过定点 ，
当 时，由约束条件 作可行域如图，
的最小值为 ＝ ，满足 ；
当 ＝ 时，直线 ＝ 与 轴重合，平面区域 为图中 轴右侧的阴影区域，
的最小值为 ＝ ，满足 ；
当 时，由约束条件 作可行域如图阴影部分，
当 点与 重合时， 的最小值 ，
联立 ，解得 ．
，
由 ，解得： ．
∴ ．
【答案】
【考点】
正弦函数的单调性
【解析】
根据函数 图象过点 求出 的值，写出 解析式，
再根据正弦函数的图象与性质求出 在 上的单调减区间．
【解答】
解：函数 的图象过点 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
令 ， ，
∴ ， ，
解得 ， ，
令 ，得函数 在 上的单调减区间是 ．
故答案为： .
过点 且与 有公共渐近线方程的双曲线方程为________．
∴双曲线的方程为：
已知非零向量 ， 满足 ＝ ， 与 的夹角为 ，则 的最小值是________．
【答案】
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
设 ，由余弦定理，有 ，利用二次函数的图象与性质求出最值即可．
【解答】
设 ，
由余弦定理，有
，
∴ ．∴ 的最小值为： ．
在平面直角坐标系 中，对于 ＝ 来说， 是坐标系内任意一点，点 到 的距离 的定义如下：若 与 重合， ＝ ；若 不与 重合，射线 与 的交点为 ， ＝ 的长度（如图）．
（1）直线 ＝ 在圆内部分的点到 的最长距离为________；
（2）若线段 上存在点 ，使得：
①点 在 内；
② 点 线段 ，都有 成立．则线段 的最大长度为________．
【答案】
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
（1）根据点到的坐标和新定义进行求解即可．
（2）根据点 在 内，得到 ，然后根据不等式 成立，的 ，即可得到结论．
【解答】
如图所示，该几何体为四棱锥，其中 底面 ，作 ，垂足为 点，底面由直角梯形 与直角三角形 组成．
则
．
8.已知点 是平面区域 内的动点，点 ， 为坐标原点，设 的最小值为 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】
C
【考点】
简单线性规划
【解析】
分 ， ＝ ， 三种情况作可行域，然后分析使 取最小值时的 点在可行域内的位置，由 得到 的取值范围．
【答案】
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
先设出双曲线的方程，利用已知双曲线的渐近线求得 和 的关系，然后把点 代入双曲线方程求得 ，进而求得 ，则双曲线的方程可得．
【解答】
依题意可在知双曲线的焦点在 轴，
设出双曲线的方程为 ，
根据已知曲线方程可知其渐近线方程为 ＝
∴ ，
把点 ． 代入 中求得 ＝ ，
2019-2020学年北京市清华附中高三（下）入学数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题；共8×5=40分）
1.已知复数 满足 ， 为虚数单位，则 等于( )
A. B. C. D.
【答案】
A
【考点】
复数的模
复数代数形式的乘除运算
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案．
【解答】
解： ，
∴ .
故选 .
所以 ， ， ．
所以 ， ， ．
由余弦定理得 ．
因为 ，所以 ．
某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如表所示：
this_is_a_tag_for_row_span_begin编号
this_is_a_tag_for_row_span_begin项目
this_is_a_tag_for_row_span_begin收案（件）
Ⅲ ；
可以简单直观解释，也可以具体计算如下：
设 类案件的均值为 ，则
．
如图，四边形 与 均为菱形， ＝ ＝ ，且 ＝ ．
Ⅰ 求证： 平面 ；
Ⅱ 求证： 平面 ；
Ⅲ 求二面角 的余弦值．
【答案】
（1）证明：设 ＝ ，连结 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， 是 的中点，
又 ＝ ，∴ ，
又 平面 ， 平面 ， ＝ ，
Ⅱ 已知在函数 的图象上的三点 ， ， 的横坐标分别为 ， ， ，求 的值．
【答案】
（1）由图可知， ＝ ，最小正周期 ＝ ＝ ．
由 ，得 ．
又 ＝ ＝ ，且 ，
所以 ，即 ．
所以 ＝ ．
（2）因为 ＝ ， ＝ ， ＝
所以 ， ， ．
所以 ， ， ．
由余弦定理得 ．
因为 ，所以 ．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
∴ 平面 ，
（2）证明：四边形 和四边形 是菱形，
∴ ， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，
∴平面 平面 ，
又 平面 ，
∴ 平面 ．
Ⅲ ∵四边形 为菱形，且 ＝ ，
∴ 为等边三角形，
∵ 为 中点，∴ ，故 平面 ，
由 ， ， 两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
设 ＝ ，∵四边形 为菱形， ＝ ，
∴ ＝ ，
证明： Ⅱ 当直线 与 轴不重合时，设其方程为 ＝ ． ， ，
由 ＝ ．
∴ ， ．
， ，
直线 的方程为： ，
．
∵ ∵ ，∴ ，
∴直线 的方程为： ，
当直线 与 轴重合时，直线 与 轴重合，
综上，直线 恒过定点 ．
【考点】
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
Ⅰ 由 ＝ ，即可．
Ⅱ 设其方程为 ＝ ． ， ，可得 ， ，
Ⅰ 在编号为 、 、 的收案案件中随机取 件，求该件是结案案件的概率；
Ⅱ 在编号为 的结案案件中随机取 件，求该件是判决案件的概率；
Ⅲ 在编号为 、 、 的三类案件中，判决案件数的平均数为 ，方差为 ，如果表中 ，表中全部（ 类）案件的判决案件数的方差为 ，试判断 与 的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）．
直线 的方程为： ， ．
联立直线与椭圆方程，利用韦达定理可得 ，即可证明．
【解答】
2.已知圆的极坐标方程为 ＝ ，则其圆心坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】
B
【考点】
圆的极坐标方程
【解析】
求出圆的直角坐标方程，得出圆心的直角坐标，再化成极坐标即可．
【解答】
圆的极坐标方程可化为： ＝ ，
∴圆的普通方程为 ＝ ，即 ＝ ，
∴圆的圆心的直角坐标为 ，化成极坐标为 ．
3.执行如图所示的程序图，则输出的 值为（）
则 ＝ ，∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，取 ＝ ，得 ，
由题意知 的一个法向量为 ，
由二面角 是锐角，
得 ＝ ．
∴二面角 的余弦值为 ．
【考点】
二面角的平面角及求法
【解析】
Ⅰ 设 ＝ ，连结 ，由 ， ，利用线面垂直的判断可得 平面 ；
Ⅱ 由 ， ，可得平面 平面 ，从而 平面 ；
又 平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，
∴平面 平面 ，
又 平面 ，
∴ 平面 ．
Ⅲ ∵四边形 为菱形，且 ＝ ，
∴ 为等边三角形，
∵ 为 中点，∴ ，故 平面 ，
由 ， ， 两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
设 ＝ ，∵四边形 为菱形， ＝ ，
则 ＝ ，∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ， ， ， ， ，
【答案】
（1）在编号为 、 、 的收案案件中随机取 件，
共有 ＝ 种取法，
其中取到的是结案案件方法数为
＝ 种，
设“在收案案件中取 件结案案件”为事件 ，
则 ；
（2）在编号为 的结案案件中随机取 件共有 种取法，
其中是判决案件有 种取法，
设“在该结案案件中取 件判决案件”为事件 ，
则 ；
（讲评时应告诉学生这个概率底是因为人民法院做了大量工作如法庭调解案件、使得当事人撤诉等工作、有时法律不能解决感情问题等）
Ⅲ ；
可以简单直观解释，也可以具体计算如下：
设 类案件的均值为 ，则
．
【考点】
极差、方差与标准差
【解析】
Ⅰ 根据古典概型的概率，计算“在收案案件中取 件结案案件”的概率值；
Ⅱ 根据概率公式计算“在该结案案件中取 件判决案件”的概率值；
Ⅲ ，可以简单直观解释，也可以用具体计算说明．
【解答】
（1）在编号为 、 、 的收案案件中随机取 件，
Ⅲ 由已知得 为等边三角形，从而 平面 ，由 ， ， 两两垂直，建立空间直角坐标系 ，利用向量法能求出二面角 的余弦值．
【解答】
（1）证明：设 ＝ ，连结 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， 是 的中点，
又 ＝ ，∴ ，
又 平面 ， 平面 ， ＝ ，
∴ 平面 ，
（2）证明：四边形 和四边形 是菱形，
∴ ， ，
共有 ＝ 种取法，
其中取到的是结案案件方法数为
＝ 种，
设“在收案案件中取 件结案案件”为事件 ，
则 ；
（2）在编号为 的结案案件中随机取 件共有 种取法，
其中是判决案件有 种取法，
设“在该结案案件中取 件判决案件”为事件 ，
则 ；
（讲评时应告诉学生这个概率底是因为人民法院做了大量工作如法庭调解案件、使得当事人撤诉等工作、有时法律不能解决感情问题等）
【解析】
Ⅰ 利用最高点确定 的值，利用周期，确定 的值，利用最高点的坐标，确定 的值，即可求函数 的解析式；
Ⅱ 确定点 ， ， 的坐标，再利用余弦定理，即可求 的值．
【解答】
（1）由图可知， ＝ ，最小正周期 ＝ ＝ ．
由 ，得 ．
又 ＝ ＝ ，且 ，
所以 ，即 ．
所以 ＝ ．
（2）因为 ＝ ， ＝ ， ＝
A. B. C. D.
【答案】
A
【考点】
程序框图
【解析】
由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】
＝ ， ＝ ，
＝ ， ＝ ，
＝ ． ＝ ，
＝ ， ＝ ，
＝ ， ＝ ，
＝ ， ＝ ，
结束循环，输出 ＝ ，
∴ ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，取 ＝ ，得 ，
由题意知 的一个法向量为 ，
由二面角 是锐角，
得 ＝ ．
∴二面角 的余弦值为 ．
已知椭圆 ＝ 的离心率为 ，过点 的直线与椭圆 交于 ， 不同的两点，直线 垂直于直线 ＝ ，垂足为 ．
Ⅰ 求 的值；
Ⅱ 求证：直线 恒过定点．
【答案】
（1）∵椭圆 ＝ 的离心率为 ，
二、填空题（共6小题；共6×5=30分）
在等差数列 中，若 ，则该数列的通项公式 ________．
【答案】
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
由已知条件易得数列的首项和公比，可得通项公式．
【解答】
解：设等差数列 的公差为 ，
∵ ，①
∴ ，②
②-①可得 ，
即 ，解得 ，
把 代入 可得 ，
4.设 ， ，则“ ”是“ ”的（）条件
A.充分不必要B.必要不充分
C.充要D.既不充分也不必要
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【解答】
若 ，则 ，∴ ，即 成立，
若 ＝ ， ＝ ，满足 ，但 不成立，
即“ ”是“ ”的充分不必要条件，
【解答】
作出对应的图象如图：
由图象可知当直线与 ＝ 垂直时对应的交点 ，此时 到 的距离最长，
此时 ，则 ＝ ＝ ．
∵点 在 内，∴ ，
∵ 成立，∴ ，
∴当线段 过原点时， 的最大长度为 ＝ ，
故答案为： ．
三、解答题（共6小题；共80分）
已知函数 ＝ （其中 ， ， ， ）的部分图象如图所示．
Ⅰ 求函数 的解析式；
解得 ，
∴通项公式 .
故答案为： .
展开式中的常数项为 ，则 ________．
【答案】
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
本题考查二项式定理．
【解答】
解：二项式 的展开式的第 项为
，
令 得 ，
则展开式的常数项为 ，
解得 ．
故答案为： ．
若函数 的图象过点 ，则函数 在 上的单调减区间是________．
5.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷 次，若使得至少有一次正面向上的概率大于或等于 ，则 的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】
A
【考点】
互斥事件的概率加法公式
【解析】
由题意， ，即可求出 的最小值．
【解答】
由题意， ，∴ ，
∴ 的最小值为 ，
6.自点 作圆 ＝ 的切线，则 到切点的距离为（）
A. B. C. D.
结案（件）
this_is_a_tag_for_span
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this_is_a_tag_for_row_span
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判决（件）
刑事案件
婚姻家庭、继承纠纷案件
权属、侵权纠纷案件
合同纠纷案件
其中结案包括：法庭调解案件、撤诉案件、判决案件等．根据以上数据，回答下列问题．
【答案】
D
【考点】
圆的切线方程
【解析】
求出圆心和半径，求出 的值，可得切线的长．
【解答】
圆 ＝ ，表示以 为圆心，以 ＝ 为半径的圆．
由于 ，故切Biblioteka Baidu的长为 ，
7.某几何体的三视图如图所示，在该几何体的体积是（）
A. B. C. D.
【答案】
B
【考点】
由三视图求体积
【解析】
如图所示，该几何体为四棱锥，其中 底面 ，作 ，垂足为 点，底面由直角梯形 与直角三角形 组成．
【解答】
直线 ＝ 恒过定点 ，
当 时，由约束条件 作可行域如图，
的最小值为 ＝ ，满足 ；
当 ＝ 时，直线 ＝ 与 轴重合，平面区域 为图中 轴右侧的阴影区域，
的最小值为 ＝ ，满足 ；
当 时，由约束条件 作可行域如图阴影部分，
当 点与 重合时， 的最小值 ，
联立 ，解得 ．
，
由 ，解得： ．
∴ ．
【答案】
【考点】
正弦函数的单调性
【解析】
根据函数 图象过点 求出 的值，写出 解析式，
再根据正弦函数的图象与性质求出 在 上的单调减区间．
【解答】
解：函数 的图象过点 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
令 ， ，
∴ ， ，
解得 ， ，
令 ，得函数 在 上的单调减区间是 ．
故答案为： .
过点 且与 有公共渐近线方程的双曲线方程为________．
∴双曲线的方程为：
已知非零向量 ， 满足 ＝ ， 与 的夹角为 ，则 的最小值是________．
【答案】
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
设 ，由余弦定理，有 ，利用二次函数的图象与性质求出最值即可．
【解答】
设 ，
由余弦定理，有
，
∴ ．∴ 的最小值为： ．
在平面直角坐标系 中，对于 ＝ 来说， 是坐标系内任意一点，点 到 的距离 的定义如下：若 与 重合， ＝ ；若 不与 重合，射线 与 的交点为 ， ＝ 的长度（如图）．
（1）直线 ＝ 在圆内部分的点到 的最长距离为________；
（2）若线段 上存在点 ，使得：
①点 在 内；
② 点 线段 ，都有 成立．则线段 的最大长度为________．
【答案】
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
（1）根据点到的坐标和新定义进行求解即可．
（2）根据点 在 内，得到 ，然后根据不等式 成立，的 ，即可得到结论．
【解答】
如图所示，该几何体为四棱锥，其中 底面 ，作 ，垂足为 点，底面由直角梯形 与直角三角形 组成．
则
．
8.已知点 是平面区域 内的动点，点 ， 为坐标原点，设 的最小值为 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】
C
【考点】
简单线性规划
【解析】
分 ， ＝ ， 三种情况作可行域，然后分析使 取最小值时的 点在可行域内的位置，由 得到 的取值范围．
【答案】
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
先设出双曲线的方程，利用已知双曲线的渐近线求得 和 的关系，然后把点 代入双曲线方程求得 ，进而求得 ，则双曲线的方程可得．
【解答】
依题意可在知双曲线的焦点在 轴，
设出双曲线的方程为 ，
根据已知曲线方程可知其渐近线方程为 ＝
∴ ，
把点 ． 代入 中求得 ＝ ，
2019-2020学年北京市清华附中高三（下）入学数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题；共8×5=40分）
1.已知复数 满足 ， 为虚数单位，则 等于( )
A. B. C. D.
【答案】
A
【考点】
复数的模
复数代数形式的乘除运算
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案．
【解答】
解： ，
∴ .
故选 .
所以 ， ， ．
所以 ， ， ．
由余弦定理得 ．
因为 ，所以 ．
某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如表所示：
this_is_a_tag_for_row_span_begin编号
this_is_a_tag_for_row_span_begin项目
this_is_a_tag_for_row_span_begin收案（件）
Ⅲ ；
可以简单直观解释，也可以具体计算如下：
设 类案件的均值为 ，则
．
如图，四边形 与 均为菱形， ＝ ＝ ，且 ＝ ．
Ⅰ 求证： 平面 ；
Ⅱ 求证： 平面 ；
Ⅲ 求二面角 的余弦值．
【答案】
（1）证明：设 ＝ ，连结 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， 是 的中点，
又 ＝ ，∴ ，
又 平面 ， 平面 ， ＝ ，
Ⅱ 已知在函数 的图象上的三点 ， ， 的横坐标分别为 ， ， ，求 的值．
【答案】
（1）由图可知， ＝ ，最小正周期 ＝ ＝ ．
由 ，得 ．
又 ＝ ＝ ，且 ，
所以 ，即 ．
所以 ＝ ．
（2）因为 ＝ ， ＝ ， ＝
所以 ， ， ．
所以 ， ， ．
由余弦定理得 ．
因为 ，所以 ．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
∴ 平面 ，
（2）证明：四边形 和四边形 是菱形，
∴ ， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，
∴平面 平面 ，
又 平面 ，
∴ 平面 ．
Ⅲ ∵四边形 为菱形，且 ＝ ，
∴ 为等边三角形，
∵ 为 中点，∴ ，故 平面 ，
由 ， ， 两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
设 ＝ ，∵四边形 为菱形， ＝ ，
∴ ＝ ，
证明： Ⅱ 当直线 与 轴不重合时，设其方程为 ＝ ． ， ，
由 ＝ ．
∴ ， ．
， ，
直线 的方程为： ，
．
∵ ∵ ，∴ ，
∴直线 的方程为： ，
当直线 与 轴重合时，直线 与 轴重合，
综上，直线 恒过定点 ．
【考点】
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
Ⅰ 由 ＝ ，即可．
Ⅱ 设其方程为 ＝ ． ， ，可得 ， ，
Ⅰ 在编号为 、 、 的收案案件中随机取 件，求该件是结案案件的概率；
Ⅱ 在编号为 的结案案件中随机取 件，求该件是判决案件的概率；
Ⅲ 在编号为 、 、 的三类案件中，判决案件数的平均数为 ，方差为 ，如果表中 ，表中全部（ 类）案件的判决案件数的方差为 ，试判断 与 的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）．
直线 的方程为： ， ．
联立直线与椭圆方程，利用韦达定理可得 ，即可证明．
【解答】
2.已知圆的极坐标方程为 ＝ ，则其圆心坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】
B
【考点】
圆的极坐标方程
【解析】
求出圆的直角坐标方程，得出圆心的直角坐标，再化成极坐标即可．
【解答】
圆的极坐标方程可化为： ＝ ，
∴圆的普通方程为 ＝ ，即 ＝ ，
∴圆的圆心的直角坐标为 ，化成极坐标为 ．
3.执行如图所示的程序图，则输出的 值为（）
则 ＝ ，∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，取 ＝ ，得 ，
由题意知 的一个法向量为 ，
由二面角 是锐角，
得 ＝ ．
∴二面角 的余弦值为 ．
【考点】
二面角的平面角及求法
【解析】
Ⅰ 设 ＝ ，连结 ，由 ， ，利用线面垂直的判断可得 平面 ；
Ⅱ 由 ， ，可得平面 平面 ，从而 平面 ；
又 平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，
∴平面 平面 ，
又 平面 ，
∴ 平面 ．
Ⅲ ∵四边形 为菱形，且 ＝ ，
∴ 为等边三角形，
∵ 为 中点，∴ ，故 平面 ，
由 ， ， 两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
设 ＝ ，∵四边形 为菱形， ＝ ，
则 ＝ ，∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ， ， ， ， ，
【答案】
（1）在编号为 、 、 的收案案件中随机取 件，
共有 ＝ 种取法，
其中取到的是结案案件方法数为
＝ 种，
设“在收案案件中取 件结案案件”为事件 ，
则 ；
（2）在编号为 的结案案件中随机取 件共有 种取法，
其中是判决案件有 种取法，
设“在该结案案件中取 件判决案件”为事件 ，
则 ；
（讲评时应告诉学生这个概率底是因为人民法院做了大量工作如法庭调解案件、使得当事人撤诉等工作、有时法律不能解决感情问题等）
Ⅲ ；
可以简单直观解释，也可以具体计算如下：
设 类案件的均值为 ，则
．
【考点】
极差、方差与标准差
【解析】
Ⅰ 根据古典概型的概率，计算“在收案案件中取 件结案案件”的概率值；
Ⅱ 根据概率公式计算“在该结案案件中取 件判决案件”的概率值；
Ⅲ ，可以简单直观解释，也可以用具体计算说明．
【解答】
（1）在编号为 、 、 的收案案件中随机取 件，
Ⅲ 由已知得 为等边三角形，从而 平面 ，由 ， ， 两两垂直，建立空间直角坐标系 ，利用向量法能求出二面角 的余弦值．
【解答】
（1）证明：设 ＝ ，连结 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， 是 的中点，
又 ＝ ，∴ ，
又 平面 ， 平面 ， ＝ ，
∴ 平面 ，
（2）证明：四边形 和四边形 是菱形，
∴ ， ，
共有 ＝ 种取法，
其中取到的是结案案件方法数为
＝ 种，
设“在收案案件中取 件结案案件”为事件 ，
则 ；
（2）在编号为 的结案案件中随机取 件共有 种取法，
其中是判决案件有 种取法，
设“在该结案案件中取 件判决案件”为事件 ，
则 ；
（讲评时应告诉学生这个概率底是因为人民法院做了大量工作如法庭调解案件、使得当事人撤诉等工作、有时法律不能解决感情问题等）
【解析】
Ⅰ 利用最高点确定 的值，利用周期，确定 的值，利用最高点的坐标，确定 的值，即可求函数 的解析式；
Ⅱ 确定点 ， ， 的坐标，再利用余弦定理，即可求 的值．
【解答】
（1）由图可知， ＝ ，最小正周期 ＝ ＝ ．
由 ，得 ．
又 ＝ ＝ ，且 ，
所以 ，即 ．
所以 ＝ ．
（2）因为 ＝ ， ＝ ， ＝
A. B. C. D.
【答案】
A
【考点】
程序框图
【解析】
由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】
＝ ， ＝ ，
＝ ， ＝ ，
＝ ． ＝ ，
＝ ， ＝ ，
＝ ， ＝ ，
＝ ， ＝ ，
结束循环，输出 ＝ ，
∴ ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，取 ＝ ，得 ，
由题意知 的一个法向量为 ，
由二面角 是锐角，
得 ＝ ．
∴二面角 的余弦值为 ．
已知椭圆 ＝ 的离心率为 ，过点 的直线与椭圆 交于 ， 不同的两点，直线 垂直于直线 ＝ ，垂足为 ．
Ⅰ 求 的值；
Ⅱ 求证：直线 恒过定点．
【答案】
（1）∵椭圆 ＝ 的离心率为 ，