第二章行列式习题解答

第二章行列式习题解答

1.决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性：

1）134782695；

解：，偶排列；

2）217986354；

解：，偶排列；

3）987654321；

解：，偶排列.

2.选择与使

1）成偶排列；

解：与一个为3，另一个为8，而是奇排列，由对换的性质因此有；

2）成奇排列.

解：与一个为3，另一个为6，而是奇排列，因此有.

3.写出把排列变成排列的那些对换.

解：

4.决定排列的逆序数，并讨论它的奇偶性.

解：1与其他数构成个逆序，2与其他数构成个逆序,与其他数构成2个逆序，与构成1个逆序，故

.

当或（为正整数）时，排列为偶排列；当或（为正整数）时，排列为奇排列.

5.如果排列的逆序数为，排列的逆序数是多少？

解：中任意两个数码与必在而且仅在两个排列或中之一构成逆序，个数码中任取两个的不同取法有

个，因此两个排列的逆序总数为，所以排列的逆序数为.

6.在6级行列式中，这两项应带有什么符号？

解：，因此项带正号；

，因此项带正号.

7.写出四级行列式中所有带有负号并且包含因子的项.

解：因为，因此所求的项为

.

8.按定义计算行列式：

1）； 2）；

3）.

解：1）该行列式含有的非零项只有，带的符号为，值为，因此原行列式等于.

2）该行列式含有的非零项只有，带的符号为，值为，因此原行列式等于.

3）该行列式含有的非零项只有，带的符号为

，值为，因此原行列式等于.

9.由行列式定义证明：

.

证明：行列式的一般项为，列指标只能在1,2,3,4,5中取不同值，故中至少有一个要取3,4,5中之一，而

从而每一项中至少包含一个零因子，故每一项的值均为零，因此行列式的值为零.

10.由行列式定义计算

中与的系数，并说明理由.

解：行列式元素中出现的次数都是1次的，因此含项每一行都要取含的,因此含项仅有，其系数为2，符号为正，的系数为2.类似的含项仅有，其系数为1，符号为负，的系数为.

11.由

，

证明：奇偶排列各半.

证明：行列式每一项的绝对值为1，行列式的值为零，说明带正号项的个数等于带负号项的个数.由定义，当项的行指标按自然顺序排列时，项的符号由列指标排列的奇偶性所确定，奇排列时带负号，偶排列带正号.因此奇偶排列各半.

12.设

，其中为互不相同的数.

1）由行列式定义，说明是一个次多项式；

2）由行列式性质，求的根.

解：1）在行列式中只有第一行含有，出现最高次数为次，由为互不相同的数可得其系数不为零，因此是一个次多项式；

2）用分别代，均出现了两行相同，因此行列式为0.即为的全部根.

13.计算下面的行列式：

1）； 2）；

3）； 4）；

5）； 6）.

解：1）该行列式中每行元素的和为1000的倍数，第2列与第三列相差100，因此可以先把第2列和第3列分别加到第1列，然后第2列减去第3列后可得

.

.

3）

4）

.

5）显然当或时均有两行元素相同，因此行列式为0.当时

6）

.

14.证明：

证明：

15.算出下列行列式的全部代数余子式：

1)； 2）.

解：1）

. 2）

16.计算下面的行列式

1）

17.计算下列级行列式：

1）； 2）

3）；

4）； 5）.

解 1）按第一列展开得

也可以按定义计算，非零项只有两项及值分别为和，符号分别为和，因此原行列式=

2）解：当时，行列式等于；当时

原行列式；当时，从第二列起，每一列减去第一列得：

原行列式=

3）解：从第二列起，每一列都加到第一列然后提取因子得

4）解：从第二行起每一行减去第一行，然后交换1,2两行后化为三角形得：

.

也可以除第2行外，每一行都减去第2行，然后化为三角形计算.

5)

解：从第2列起每一列都加到第1列，然后按第一列展开得到：

.

18.证明：

1）

证明：从第2列起，每一列的倍加到第一列即可得：

2.

证明：当时结论显然成立，当时，第一行的加到第二行，然后第二行的加到第三行，依次类推可得：

证法二：按最后一列展开即可得.

证法三：按第一行展开再结合数学归纳法证明.

证法四：从最后一行起，每一行乘以加到上一行，然后按第一行展开可得：

3）

解:原行列式按第一行展开得:.因此有

,

即是以为首项,以为公比的等比数列.因此有

.

类似有.当时,解得.

证法二：按第一行展开找到递推关系，再结合数学归纳法加以证明.

4）

证明：对行列式的级数用第二数学归纳法证明.

当时，，因此结论成立.

假设当级数小于时结论成立，对级行列式按最后一行展开得：

由数学归纳法，结论成立.

注意：因为主对角线上第一个元素为，其它主对角线上元素为，本行列式按第一行展开得到的低级数行列式与原行列式形式不同，无法得到与之间的递推关系，而按最后一行可得到递推关系.

5）

证明：从第二行起，每一行减去第一行先化为爪形行列式，再三角化

19.用克拉默法则解下列线性方程组：