圆周运动在实际问题中的应用

轻杆模型 小球能运动即可，v 临＝0
(1)过最高点时
v≥ gr，FN＋mg＝ mvr2，绳、轨道对球产 生弹力 FN≥0，方向指 向圆心
(1)当 v＝0 时，FN＝mg，FN 为支持力，沿半径背离圆心
(2)当 0<v< gr时，－FN＋mg ＝mvr2，FN 背向圆心，随 v 的增大而减小
(2)不能过最高点 v< gr，在到达最高点 前小球已经脱离了圆
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• 2.静摩擦力作用下的圆周运动 • 静摩擦力的特点是根据物体运动改变大小，
变换方向．有人把静摩擦力的这一特点称 为“适应性”．由于静摩擦力这一特点的 存在导致在许多问题中出现了临界问题． • 处理这类问题的关键是分析出静摩擦力的 变化，从而结合其他力分析出向心力的变 化，以确定圆周运动的其他物理量的变化 范围．
它物体给运动物体的作用力．
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• 在平直轨道上匀速行驶的火车，所受合外 力为零，在火车转弯时，什么力提供向心 力呢？在火车转弯处，让外轨高于内轨， 如图1所示，转弯时所需向心力由重力和 弹力的合力提供．若轨道水平，转弯时所 需向心力应由外轨对车轮的挤压力提供， 而这样对车轨会造成损坏．车速大时，容 易出事故．
轨道
(3)当 v＝ gr时，FN＝0
(4)当 v> gr时，FN＋mg＝ mvr2，FN 指向圆心并随 v 的
增大而增大
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• 汽车过桥问题
• 当汽车以相同的速率分别行驶在凸形桥的 最高点和凹形桥的最低点时，汽车对桥的 压力的区别如下表所示.
内容
凸形桥
凹形桥
项目
受力分 析图
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ghR L.
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• 由于铁轨建成后h、L、R各量是确定的， 故火车转弯时的车速应是一个定值，否则 将对铁轨有不利影响，如：
情况 合力 F 与 F 向的关系 不利影响
结果
v 车>
ghR L
F<F 向
火车挤压外轨 外轨对车轮的弹 力 补充向心力
v 车<
ghR L
F>F 向
火车挤压内轨
内轨对车轮的弹力 抵消合力
(1)外轨对车轮的侧压力提供火车转弯所需向心力，所以 有
FN＝mvr2＝1054×00202 N＝105 N， 由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于 105 N.
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(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好 提供向心力，即
mgtanθ＝mvr2， 由此可得 θ＝arctanvrg2＝arctan4002×0210＝arctan0.1.
项目
内容
以 a 方向为正方向根 据牛顿第二定律列方
程
牛顿第三定律
讨论
凸形桥
凹形桥
mg－FN1＝mvr2
FN2－mg＝mvr2
FN1＝mg－mvr2
FN2＝mg＋mvr2
FN1′＝FN1 ＝mg－mvr2
FN2′＝FN2 ＝mg＋mvr2
v 增大，FN1′ 减小； 当 v 增 v 增大，FN2′增大， 大到 gr时， 只要 v≠0，FN1<FN2
FN1′＝0
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由列表比较可知，汽车在凹形桥上行驶对桥面及轮胎损 害大，但在凸形桥上，最高点速率不能越过 gr.在半径为 r 的半圆柱形桥面上最高点，汽车以 v＝ gr的速率行驶将不 再落到桥面上．
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• 【例1】 有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的 弯道，轨道半径400 m.
• (1)试计算铁轨受到的侧压力的大小．
• (2)若要使火车以此速率通过弯道，且使 铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾 斜路基，试计算路基倾斜角度θ的大 小．(用反三角函第数14页表/共4示7页)
解析：第(1)问中，外轨对车轮的侧压力提供了火车转弯 所需的向心力；第(2)中，重力和铁轨对火车的支持力的合力 提供了火车转弯所需的向心力．
• 答案：(1)105 N (2)arctan0.1
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• 高分通道 • 火车转弯时，如果内外轨一样高，只能由
外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需的 向心力．实际修建铁路时一般将弯道建在 倾斜的路基上，使火车的内外轨有一定的 高度差，利用重力和铁轨对物体的支持力 的合力提供部分向心力，以避免铁轨的损 坏．
• 由于火车的质量比较大，火车拐弯时所需
的向心力就很大．如果铁轨内外侧一样高，
则外侧所受的压力外很轨 大，容易损内坏轨 ；实用
重中力使
铁略轨支高持于力
，从而
和
的合力提供火车拐弯时
所需的向心力．
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物
体
在
竖
直
平
面
内
做
圆
周
运
动
时
，
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在
最
高
点
：
m
v2 R
＝ mg±F ，在最低点：mvR2＝ F－mg ，F 是除重力外其
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设车轨间距为 L，两轨高度差为 h，车转弯半径为 R，
质量为 M 的火车运行时应当有多大的速度？
根据三角形边角关系知 sinθ＝Lh，对火车的受力情况分
析得 tanθ＝MFg.
因为 θ 角很小，所以 sinθ≈tanθ，故Lh＝MFg，所以向心
力 F＝LhMg.又因为 F＝Mv2/R，所以车速 v＝
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• 对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种 典型的变速曲线运动，该类运动常有临界 问题，并伴有“最大”、“最小”、“刚 好”等词语，常分析两种模型——轻绳模 型和轻杆模型，分析比较如下：
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常见 类型
轻绳模型
轻杆模型
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过最高 点的临 界条件
讨论 分析
轻绳模型 由 mg＝mvr2得 v 临＝ gr
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• ►变式1：在一宽阔的马路上，司机驾驶着 汽车匀速行驶，突然发现前方有一条很宽 很长的河，试分析说明他是紧急刹车好还 是转弯好？(设汽车转弯时做匀速圆周运 动，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等)．
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解析：本题中最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，故最大 静摩擦力等于 μmg，转弯时，最大静摩擦力提供向心力，故 μmg ＝ mRv2. 刹 车 时 汽 车 水 平 方 向 所 受 合 力 就 等 于 滑 动 摩 擦 力，汽车做减速运动，故 μmg＝ma.比较刹车距离 x 和转弯 半径 R 的大小即可．
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设汽车的质量为 m，车轮与地面的动摩擦因数为 μ，刹 车时汽车的速度为 v，刹车距离为 x.