389.锐角三角函数教学案11

锐角三角函数（第1课时）

【目标导航】

1.了解锐角三角函数的定义．

2．能够运用sin A 、cos A 、tan A 表示直角三角形两边的比． 3．体会数形结合思想在三角函数知识中的重要地位．

【要点梳理】

1．Rt △ABC 中，∠C =90°，（1）角之间的关系： ．

（2）边之间的关系： ． （3）边与角的关系： ．

若∠A =30°，则a c = ；若∠A =45°，则a

c

= ． 探究：当锐角A 取其他固定值时，∠A 的对边与斜边的比值是否也是一个定值？ 如图，易知B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3∥…， ∴△A B 1C 1∽ ∽ ∽…，

∴

111

________B C AB === .

所以当锐角A 固定时，∠A 的对边与斜边的比值仍

是一个固定值． 2．正弦的定义

Rt △ABC 中，∠C =90°，把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦．

记作sin A ，即：:

当∠A =30°时，sin A =sin30°= ；当∠A =45°时，sin A =sin45°= ； 说明：（1）sin A 表示比值，其结果无单位；

（2）表示方式为sin A ，或 sin ∠DCB 、sin ∠1； （3）0＜sin A ＜1（∠A 为锐角）

【课堂操练】

如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，求sin A 和sin B 的值．

与正弦情况相似，可以证明当锐角A 取任意一个固定值时，∠A 的邻边与斜边的比值也是一个固定值． 3．余弦的定义

Rt △ABC 中，∠C =90°，把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦．

记作cos A ，即： (0＜cos A ＜1）

当∠A =30°时，cos A =cos30°= ；当∠A =45°时，cos A =cos45°= ；

【课堂操练】

求出上图中cos A 和cos B 的值．并与练习1中求出sin A 和sin B 进行比较，写出它们之间的关系式．

小结：Rt △ABC 中，∠C =90°，则∠A +∠B=90°，则sin A= = ， Rt △ABC 中，∠C =90°，则∠A +∠B=90°，则sin B= = ， 则a 2+b 2=c 2，则sin 2A +cos 2A = ．

例1 在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边为a 、b 、c ，且5a =3c ，求sin A 、cos A 、sin B 、cos B 的值．

答案：sin A=35，cos A=45，sin B =45，cos B=3

5

．

例2如图，已知在△ABC 中，∠A CB =90°，CD ⊥AB 于D ，BD =1，AD =4，求cos B 、sin ∠BCD 、sin A 、cos ∠ACD 的值．

答案：cos B 55

，sin ∠BCD ＝

55

，

sin A ＝

55

，cos ∠ACD ＝55

．

4．正切的定义

Rt △ABC 中，∠C =90°，把锐角A 的对边与锐角A 的邻边的比叫做∠A 的正切．

记作tan A ，即：

说明：①sin A 、cos A 、tan A 都是锐角A 的函数，称为∠A 的锐角三角函数．

②0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0.

③Rt △ABC 中，∠C =90°，则sin A =cos B ，cos A =sin B ，

sin tan cos A A A

=

，22sin cos 1A A +=．

例3（1）如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，3

sin 5A =，求cos A 、tan B 的值． 答案：cos A ＝

45

，tan B ＝

43

．

（2）Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =1，AC =2，求∠B 的三个三角函数值．

答案：sin B ＝

255

，cos B ＝

55

，tan B =2．

例4已知α为锐角，1sin 3

α=，求α的余弦，正切值．

答案：cos α=223

，tan α=24

．

【课堂操练】

A

C

B

c b a (1)43A B

C (2)5

13A B C (3)2A B C 6A

B

C

D

A B 1

B 2

B 3

C 1

C 2C 3A B C

1.△ABC 中，∠C =90°，1sin 3

A =

，则cos B =

13

，tan A =

24

．

2.Rt △ABC 中，∠C =90°，1cos 4

A =

，则tan A =15，若sin36°=cos A ，则∠A = 54° ．

3.在直角三角形ABC 中，∠A =90°，AC =5，AB =12，则cos B =1213

，tan B =

512

．

4.在Rt △ABC 中，各边的长都扩大了m 倍，那么锐角A 对应的三个三角函数值 （ C ）

A .都扩大了m 倍

B .都缩小了m 倍

C .没有变化

D .不能确定

【课后盘点】

1.把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A 1B 1C 1，那么锐角A 、A 1的余弦值的关系为（ A ） A .cos A =cos A 1 B . cos A ＞cos A 1 C .cos A ＜cos A 1 D .不能确定

2.在△ABC 中，∠C =90°，BC =2，sin A =2

3

，则边AC 的长是 5 ．

3.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a =3，b =4，那么sin A :sin B = 3：4 ．

4.△ABC 中，∠C =90°，AC =3BC ，则sin A =

1010

，tan B =_3_ ．

5.在△ABC 中，∠C =90°，根据下列条件求∠A 、∠B 的三个三角函数值．

①a =8，c =17； ②5a =12b ； ③∠B =30°．

答案：①sinA=817，cosA=1517，tanA=815，sinB=1517，cosB=817，tanB=15

8

；

②sinA=1213，cosA=513，tanA=125，sinB=513，cosB=1213，tanB=5

12；

③sinA=

32

，cosA=

12

，tanA=3，sinB=

12

，cosB=

32

，tanB=

33

．

6.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝15，BC ＝8，则sin A 与sin B 的值是 （ A ）

A .815,1717

B .1015,1717

C .158

,1717 D .1510,1717

7.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ，则sin B 的值是 （ C ）

A .112

B .1113

C .1213

D .1112

8.在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =2，AC =1，则sin B 的值是 （ A ） A .

12 B .

22

C.

32

D .2

9.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5．则cos B 等于 （ D ） A .

34

B .

43

C .3

5

D .

45

10.在△ABC 中，∠C =90°，BC =2，sin A =2

3，则边AC 的长是 （ A ）

A .5

B .3

C .

43

D .13

11.在Rt △ABC 中，各边的长都扩大了4倍，那么锐角A 的正弦值 （ C ）

A .扩大了4倍

B .缩小了4倍

C .没有变化

D .不能确定 12.在Rt △ABC 中，∠C =90°，a =8，8tan 15

a A b

==，则b =__15__．

13.在Rt △ABC 中，∠C =90°，a =3，c =5，则cos A =__

45

__，tan A =

34___． 14.如图，P 是α∠的边OA 上一点，且P 点坐标为（3，4），则cos α＝___35

____.

15.在△ABC 中，∠C =90°，sin A =4

3，求sin B 、cos A 、 tan A 、tan B 的值．

答案：sin B =

74

，cos A =

74

，tan A 377

，tan B=

73

．

16.在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =15，BC =8，分别求∠A 、∠B 的三个三角函数值．

答案：sinA=817，cosA=1517，tanA=815，sinB=1517，cosB=817，tanB=15

8．

17.已知△ABC ，∠C ＝90°，1sin ,23

A a ==，求cos A ，b ，c 的值．

答案：cos A=

223，b=42，c=6．

18.已知△ABC ，∠C ＝90°，:2:3a b =，求∠A 的三个三角函数值． 答案：sinA=

21313

，cosA=

31313

，tanA=

23

．

19.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，若BD :AD =1:3，求tan ∠BCD ．

答案：tan ∠BCD ＝3

3

．

锐角三角函数（第2课时）

【要点梳理】

1.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，当∠A 确定时，它的对边与斜边之比是__ ____． 锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的______，记作_______．即sin A =___________=________．

2.在Rt △ABC 中，∠C =90o ， 叫做∠A 的余弦，记作 ，即 ．

3.在Rt △ABC 中，∠C =90o

， 叫做∠A 的正切，记作 ，即 ．

锐角A 的正弦，余弦，正切都叫做∠A 的锐角三角函数.

【课堂操练】 1.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝5，BC ＝3．

则sin ∠BAC = ；sin ∠ADC = ． 答案：35，45

．

E

O

A B C

D · 5

sin 13

A = C A

B D