点可区别边色数和点可区别全色数的两个上界
图的D(2)-点可区别一般边染色
２ ０ １ ３ ， ２ ８ （ ２ ） ： ２ １ １ — ２ ２ １
图的Ｄ（ ２ ） 一 点可区别一般边染色
陈祥 恩木 ， 赵飞虎， 胡志涛， 李泽鹏， 姚
（ 西北师范大学 数 学与统计 学院， 甘肃兰州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ）
兵
摘
要 ： 引入 了 图的Ｄ（ ） 一 点 可 区别 一般 边 染 色， 并对 ＝ ２ 的情形 做 了讨论， 得 到
引理 １ ． １ 【 】 对阶 数 至 少 为３ 的 路Ｐ， 有） （ ２ （ Ｐ）＝ ３ ；且 对 阶数 等 于３ 的 圈ｃ（ ｋ 为正 整 数） ， 有） ／ ２ （ Ｃ）＝ ３ ；对 阶 数ｎ 不 被３ 整 除 且 不等 于５ 的 圈 ，有ｘ ２ （ Ｃ ￣ ）＝ ４ ；对 阶 数 等 于５ 的 圈 ，
§ １ 引言及 准备 工作
图的染 色 问题具有重 要的理论意义及 实际意义， 研究 图的染 色 问题 就是确定各类 图的各种 染色色数 的具体值或上下 界． 本文主 要讨论 了图的Ｄ（ ２ ） 一 点可区别一般边染色， 仅考虑简单无 向
有 限 图ห้องสมุดไป่ตู้
所谓 图Ｇ的一个ｋ 一 一般边 染色（ 或使用 了 种颜 色的一般 边染色） － 厂 是指 种颜 色１ ， ２ ， … ， 关 于Ｇ的全体边 的一个分配（ 注意分配给相邻边的颜色可 以相 同） ． Ｖ ∈ （ Ｇ） ， 用Ｓ ｆ （ Ｘ ） （ 或不致 引起
混淆 时， 记为Ｓ （ ） ） 表示在 ， 下与Ｘ 关 联的边 的颜色 作成的集合（ 非多重集） ， 称之 为在， 下点Ｘ 的色
集合． 对 ， Ｙ∈ （ Ｇ） ， 若ｓ （ ｘ ） ≠ｓ （ ） ， 则称 与Ｙ 可 区别 ． 以下用ｄ （ ｕ ， ） 表示图Ｇ中任意两 点 ， 之
点可区别边染色的研究
数 x 同时使得不等式
1 8 ≤( ) x 2
1−
( min ≤ d ≤ max )
8d 2 8d
1 8 ( )d ≤ ( ) x 2
成立，则有
d −1+
( min ≤ d ≤ max )
X 1' S (G ) ≤ x∆
证明： 令 ∆ = d ， f : E → { 1， 2， L , xd 是从颜色 { 1，2，L , xd 下两个条件： （ A ）正常边染色——没有两条相邻的边染成同一种颜色。 （ B ）点可区别——没有任何两个顶点关联同样的颜色集合。 为了应用一般局部引理，我们定义如下两个坏事件： （ I ）对任意一对相邻的边 A = {ε 1 , ε 2 } ，令 E A 表示 ε 1 和 ε 2 被染成同种颜色的事件。 （ II ）对任意两点 u , v ∈ V (G ) ，如果 C (u ) = C (v) ，令 E B 表示 C (u ) = C (v) 的事件。 注意到如果（ I ）和（ II ）都不发生，则 f 是 G 的点可区别的边染色。 为了运用一般局部引理，我们需进行以下几步： （1）计算坏事件发生的概率
m(6) = 0.5776030349614399 m(7) = 0.5658708498213858
m(8) = 0.5571918979989056
m(9) = 0.550528193021916
m(10) = 0.5452538381738173
所以（9）式显然成立 对（10）式我们有
n( x) -------------------------- q( x)
1 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜1 − ⎝ 8d ⎠
1 ⎞ ⎛ ⎜1 − d ⎟ ⎝ 8 ⎠ 8 ⎛1⎞ ≤⎜ ⎟ x ⎝4⎠
直积图的邻点可区别全染色
Ｅ ）直 积图 ×Ｇ ， ２的顶 点集 为 ， × ， （ ， ） 点 “， ，
与 （ ２ｖ ） “ ，ｚ 相邻 当且 仅 当 Ｕ Ｕ ∈Ｅ１ 一 ∈ 或 １２ ，
者 Ｕ ＝“ ∈Ｖｌ Ｖ ∈Ｅ２ ｌ ２ ， ２ ．
（ Ｃｏｌ ｇ ｆＭ ａ ｈ ｍａ ｉｓａ ｄ Ｉ ｆｒ ｔｏ ｃｅ ｃ ，Ｎｏ ｔ ｗｅ ｔＮｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ ｌ ｅｏ ｔ ｅ ｔ ｎ ｎｏ ｍａ ｉｎ Ｓ ｉｎ ｅ ｅ ｃ ｒｈ ｓ ｒ ｌＵｎｖ ｒ ｉ ｙ，Ｌａ ｈ ｕ ￣ ｏ ７ ０ ０，Ｃｈｉａ ３ ０７ ｎ）
ｃ ｌｒｎ ｕ ｅ ｎ Ｃ ｒｅ ｉｎ ｐ ｏ ｕ ｔＧＸ ｏｏ ｉ ｇ ｎ ｍｂ ｒｏ ａ ｔｓａ ｒ ｄ ｃ Ｐ ａ ｄ Ｇ× Ｃ ｗｈ ｒ ｗａ ｔ ｒ ｆｎ ｏ ｅ １ ｎ ｍ， ｅ ｅＧ ｓａｓａ ，ａ ｒｗｈ ｅ．
Ｋｅ ｒ ｓ ａ ｒｅ ｉ ｒ ｄ ｃ ｏ ｒｐ ｓ ｄａｅ ｔｖｒｅ ｉ ｉ ｕｓ ｉｇ ｔｔｌ ｏｏ ｉｇ ｄａｅ ｔｖ ｒｅ ｙ ｗｏ ｄ ：Ｃ ｔｓ ｎ ｐｏ ｕ ｔ ｆ ａ ｈ ；ａｊｃｎ ｅｔｘ ｄｓ ｎ ｉ ｎ ｏａ ｌ ｎ ；ａｊｃｎ ｅｔｘ ａ ｇ ｔｇ ｈ ｃ ｒ
｛ （ ｗ） ａ０ ｆ ｕ ＩＴ ∈Ｅ（ ｝ｆ ｕ 表示 染边 Ｕ 的色 ， ． Ｇ） ， （ ｗ） Ｗ 且
参 照文 Ｅｉ ｌ．
定义 １ 对 图 Ｇ（ Ｅ） ｔ 正 整 数 ， ［ ］ Ｖ， ， 是 Ｓ是 ｔ
元集 ， 是 从 （ ＵＥ（ 到 Ｓ的映射 ． Ｇ） Ｇ） 如果
１ ）对 Ｖ ， ∈ Ｅ（ ， 制 Ｇ） “≠ ， ｆ（ ｖ ≠ 有 ｕ） ｆｖ ； （ｗ）
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第３ ４卷 第 ２期 ２０ 年 ４月 ０８
点可区别边色数的一个上界
大度△≥２的任 意图的点可 区别 边 色数 的上 界为
ｌ△． 中未加述及 的术语 和符号 可参见 文［］ ６ 文 ６．
定理 １ 对 任 一最 大 度 为 △ 的 图 Ｇ， △≥ ２ ，
有
ｘ Ｇ）≤ １ △ ． （ ６
Ｇ 的一个 七 点 可区别边 染色 ， 一 简记 为 ｋＶＤ Ｃ． － Ｅ 称
本文 所考虑 的图均 为连通 的、 限 的、 向的 无
简单 图．
（ 互 相 独立 （ 某个 Ｄ ￡ ． Ｄ ＵＡ ） 对 ） 如果 有 实数
ｚ ， … ， Ｏ １ 使 得 对 每 个 １ ｉ ｚ ， ｚ ∈［ ， ） ≤ ≤ ， ， Ｐ （ ） ｚ － （ 一ｚ ） 则 ￡中所 有 事件 都不 发生 Ａｉ ｉ １ ， ， ≤ Ｉ
很 困 难 的 问题 ．
引理 １ （ 般 局 部 引理 ） 虑 （ 型 的坏 ］ 一 考 典
Ａ ∈Ｄ ，
定义 １， 设 Ｇ是 阶数 至少 为 ２的简单 连通 Ｅ 图 ， 是 正 整数 ， ／是 从 Ｖ（ ＵＥ（ 到 ｛ ， ， 足 若 Ｇ） Ｇ） ｌ ２
…
，
七 的一 个映射 ，使 Ｖ“ ， Ｗ∈Ｅ（ （ ≠ ） ｆ ） ｌ Ａ Ｇ） ，
的概 率至少是Ⅱ （ 一ｚ） ． １ ＞Ｏ
ｌ ∈ Ｖ（ ）Ｕ Ｇ ，Ｖ∈ Ｅ（ ｝ 如果 是 ｋ 正 常 边 染色 ， 对 任 意 Ｕ ∈ Ｖ（ ， Ｃ “ ≠ Ｃ ， 么 称 为 图 Ｇ 的 Ｇ）． 一 且 ， Ｇ）有 （ ） （） 那
点 可 区 别边 染 色 （ 称 为 ｋＶ Ｃ ． ｘ Ｇ） ｍｉ｛ Ｇ有 ｋＶＤ Ｃ 称 为 图 Ｇ的点 可 区别 边 色 数 文 通 过 简 － ＤＥ ） 数 （ ： ｎ ｋｌ － Ｅ） 本
图的邻点强可区别全色数的新上界
３
＼●●●●－ 、＼
一
Ａ
２
萨
＼、 ● ● ● ／
２ ２
△
２
—
△
＋
１ ≥ １ ６△ ＋
△
≥
不妨 取 Ｍ ：Ｍ ＝２ ８ ， 则 容易 验证 对 于任 意 Ａ≥２ ， 上述 不等 式成 立
同理 ， 对式（ ２ ） 有：
（ 一 ） 。 （ 一 ） （ 一 ４ ＼ Ｊ ｚ Ａ ｆ Ｉ 卜
究 了 图 的 邻 点 强 可 区别 全 染 色 ， 得 到 了一 个 新 的色 数 上 界 ． 即证 明 了对 任 意 最 大 度 △／ ＞２的 图 Ｇ， Ｘ 。 ≤ ３ ２ Ａ ．
关键 词 ： 图论 ； 概率方法 ； 邻 点 强 可 区 别 全 染 色
中图分类号 ： Ｏ１ ５ ７ ． ５ 文 献标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ： １ ０ ０ ５ — ８ ０ ３ ６ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ － ０ ０ ７ ９ ・ ０ ４
所 以对式 （ １ ） 有：
・
～ ２
≤
（ １ 一
～ 因此证 明 （ １ ） 只需要 证 ：
２
３
（ １ 一
一
一 １
一 ２
＼ 、 ● ● ● ● ，／
≥ （ ÷ ） 尝 ｉ
Ａ
— ４
㈡
Ａ ２
十 ４
Ａ
即证 ：
＼ 、●● ●● ／
）≠
）
）≠， （ “ ）≠， （ ）；
）；
（ ２ ） 对任 意两 相邻 的边 “ ， ｕ ∈ Ｅ（ Ｇ） （ ≠ ） Ｕ Ｗ）≠
（ ３ ） 对任 意 的边 “ Ｅ Ｅ（ Ｇ） ，其 端 点 的 色 集 合 满 足 Ｃ （ “ ）≠ Ｃ（ ） ， 其 中任 一 顶 点 ｕ的 色 集 合 为 Ｃ （ ）＝ ｛ － 厂 （ ） ｝ｕ ｛ ）Ｉ ｕ ∈Ｅ（ Ｇ ） ｝ｕ ｛ “ ）ｌ “ Ｅ Ｅ（ Ｇ ） ｝ ．则称 ，是 Ｇ图的一个 邻 点强 可 区别 的 全染 色法 （ 简记 为 一 Ａ Ｖ Ｓ ＤＴ Ｃ ） ， 且 称数 （ Ｇ ）＝ｍｉ ｎ ｛ ｋ Ｉ ｋ—Ａ Ｖ Ｓ ＤＴ Ｃ｝ 为 Ｇ的邻 点强 可 区别 的全色 数． 引理 １ （ 一般 局部 引理 ） 考虑（ 典 型 的坏 的 ） 事 件集 合 占 ＝ ｛ Ａ ， Ａ ： ， …， Ａ ｝ ， 对 每一个 Ａ （ １≤ ｉ ≤
图论讲义第6章-图的着色问题
| c1 (ν ) | = 1 ，其中 ci (υ ) 表示 υ 阶第 i 类图的集合。这 v →∞ | c (ν ) ∪ c (ν ) | 1 2
vk
… v3 v2
i4 i3 i2
u
… H2
ik i0
…
im ik
i1
vm
v1
v
但是，因 vk 在 H 1 中的度为 2（恰与一条 i0 色边和一条 ik 色边相关联） ，故它在 H 2 中的 。这与 H 2 是奇圈矛盾。 （注意 vk 必在分支 H 2 中，因它与 度为 1（仅与一条 i0 色边相关联） 。由此可知反证法假设不能成立。证毕。 vk－1 有 i0、ik 交错路（ H 1 的一段）相连） 对于有重边的图 G，设 μ (G ) 表示 G 中边的最大重数，Vizing 实际上证明了一个更一般 的结论： Δ (G ) ≤
（其中 v0 点的关联边有可能是同一种色） 。按这 样可得 G*的一个边 2-染色 c = ( E1 , E 2 ) ， 种办法给 G*的边染色后，去掉 v0 及其关联的边，便得到 G 的一个边 2-染色。对于 G 中偶 度点，它关联的边及其颜色与 G*中相同；对 G 的任何奇度点 v，在 G 中比在 G*中少关联一 条边，但只要 d G ( v ) > 1 , 便有 d G ( v ) ≥ 3 , 故由染色的方法知，与 v 点关联的边中两种颜色 的都有。这说明 G 的边 2-染色 c = ( E1 ∩ E (G ), E 2 ∩ E (G )) 即为所求的边 2-染色。证毕。
… H1 vk-1
ikik i0
( Δ + 1) 边染色。由引理 6.1.2， G[ Ei′0 ∪ Ei′k ] 中含有 u 的那个分支 H 1 是个奇圈。
毕业论文范例——mycielski图的染色问题
目录中文摘要------------------------------------------------------------------2 英文摘要------------------------------------------------------------------3 引言----------------------------------------------------------------------4 一、mycielski图的定义-----------------------------------------------------5 1． mycielski图的定义----------------------------------------------------52 . 广义mycielski图的定义-----------------------------------------------5二、mycielski图的染色问题-------------------------------------------------5(一)边色数----------------------------------------------------------------51. Mycielski图的边色数---------------------------------------------------52.广义Myc ielski 图的边色数----------------------------------------------6(二)邻强边色数------------------------------------------------------------61. Myciel ski 图的邻强边色数---------------------------------------------72. 广义Mycielski 图的邻强边色数------------------------------------------7 （三）全色数--------------------------------------------------------------81. Mycielski图的全色数--------------------------------------------------82. 广义Mycielski图的全色数---------------------------------------------9 （四）邻点可区别全色数----------------------------------------------------91.Mycielski 图的邻点可区别全色数---------------------------------------102.广义Mycielski图的邻点可区别全色数----------------------------------12 致谢--------------------------------------------------------------------13 参考文献----------------------------------------------------------------14Mycielski图的染色问题摘要：本论文总结了Mycielski 图及广义Mycielski 图关于染色问题的各方面定义和定理，主要包括边色数、邻强边色数、全色数、邻点可区别全色数的相关结论。
若干图的倍图的邻点可区别边_全_染色_何雪
Adjacent vertex-distinguishing edge / total colorings of double graph of some graphs
HE Xue，TIAN Shuangliang *
（ School of M athematics and Computer Science，Northw est University for Nationalities，Lanzhou 730030 ，Gansu，China） Abstract： Let G be a simple graph w ith vertex set V （ G ） and edge set E （ G ） ． An edgecoloring σ of G is called an adjacent vertex distinguishing edgecoloring of G if C σ （ u） ≠C σ （ v ） for any uv ∈E（ G ） ，w here C σ （ u） denotes the set of colors of edges incident w ith u． A totalcoloring σ of G is called an adjacent vertex distinguishing totalcoloring of G if S σ （ u） ≠S σ （ v ） for any uv ∈E（ G ） ，w here S σ （ u） denotes the set of colors of edges incident w ith u together w ith the color assigned to u． The minimum number of colors required for an adjacent vertexdistinguishing edgecoloring （ resp． totalcoloring ） of G is called adjacent vertexdistinguishing edge （ resp． total ） chromatic number，and denoted by χ' as （ G ） （ resp． χ at （ G ） ） ． The upper bounds for these parameters of the double graph D （ G ） of graph G are given in this paper． Specifically ，the exact value of these parameters for the double graph of complete graphs and trees are determined． Key words： double graph； adjacent vertexdistinguishing edge coloring ； adjacent vertexdistinguishing total coloring
图的距离不大于2的点可区别的边色数的一个新的上界
色数 的 一 个 上 界 ； 文献 ［ ４ ］简 单 图 Ｇ， △≥ １ ０ 加，
（ Ｇ） ＜△ ＋３ ０ ０ ； ２ ０ ０ ６年 ， 张忠辅等人［ ］ 提 出 图 的 距离 不 大 于 的 任 意两 点 可 区别 边 染 色 ， 也 可 以称
的一 个 ａ —Ｄ（ ． ８ ） 一点 可 区别 的边 染 色 ， 简记为 ａ —
Ｄ（ １ ｆ ） －Ｖ ＤＰＥ Ｃ， 对 一 个 图进 行 ａ —Ｄ（ ） 一点 可 区
别边 染 色时 所需 要 的最小 ａ称 为 图 Ｇ 的 Ｄ（ ） 一点 可 区别边 染 色 的边 色 数 ， 记 为 （ Ｇ） ， 其中 ｄ （ ，
文章编号 ： １ ６ ７ １ ４ ６ ７ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ — ０ ０ ７ ５ — ０ ３
Ｏｎ ｅ ｎ ｅ ｗ ｕ ｐ ｐ ｅ ｒ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ Ｄ（ ２ ） － ｖ ｅ ｒ ｔ ｅ ｘ — ｄ ｉ ｓ ｔ ｉ ｎ ｇ ｕ ｉ ｓ ｈ ｉ ｎｉ ｎ ｇ
］ ≥ ３ ＇ ｗ ｈ ｉ ｃ ｝ １ ｉ ｓ ｂ ｅ ｔ ｔ ｅ ｒ ｔ ｈ ａ ｎ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｈ ｓ Ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ［ ６ ］ ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ：ｇ ｒ ａ ｐ ｈ； ｆ ｉ ｒ ｓ ｔ ｍｏ ｍｅ ｎ ｔ ｐ ｒ ｉ ｎ ｃ ｉ ｐ ｌ ｅ ；Ｍ ａ ｒ ｋ ｏ ｖ ｉ ｎ ｅ ｑ ｕ ａ ｌ ｉ ｔ ｙ； Ｄ （２） ｖ ｅ ｒ ｔ ｅ ｘ － ｄ ｉ ｓ ｔ ｉ ｎ ｇ ｕ ｉ ｓ ｈ ｉ ｎ ｇ ｐ ｒ ｏ ｐ ｅ ｒ
第２ ７ 卷第 １ 期
２ ０ １ ３年 ３月
最大度为6的图G的邻点可区别边色数的一个上界
最大度为6的图G的邻点可区别边色数的一个上界吴燕青【摘要】本文研究了最大度为6的图G的邻点可区别边着色问题.利用反证法,得到了最大度为6的非半正则图G的邻点可区别边色数的一个上界.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2019(039)001【总页数】11页(P42-52)【关键词】最大度;邻点可区别边着色;邻点可区别边色数【作者】吴燕青【作者单位】山西师范大学数学与计算机科学学院,山西临汾 041000【正文语种】中文【中图分类】O157.51 引言本文主要考虑不含孤立边的有限简单图.对图G,用V(G),E(G),∆(G)和mad(G)分别表示图G的顶点集,边集,最大度和最大平均度.在G中,用NG(v)表示顶点v的邻集.度为k的顶点称为k-顶点.度至少为(至多为)k的顶点称为k+-顶点(k−-顶点).用di(v)表示与顶点v相邻的i-顶点的数目.一个图G称为半正则的,如果它的每一条边至少和一个最大度顶点相关联.否则,称为非半正则的.一个图G的正常边着色是一个映射φ:E(G)→{1,···,k},使得每一对相邻边e1和e2,有φ(e1)φ(e2).用cφ(v)表示在着色φ下与v相关联的边所着的颜色组成的集合.一个图G的正常边着色φ称为邻点可区别边着色,如果G的任何相邻顶点u和v,满足cφ(u)cφ(v).G的邻点可区别边色数是使得G有一个k-邻点可区别边着色的最少颜色数k.在2002年,文献[1]首先讨论了邻点可区别边着色问题,并提出了以下猜想.猜想设图G为顶点数至少为3的连通图且GG5,则.对于一般图G,文献[2]给出了若∆(G)>1020,则.文献[3]给出了.文献[4]给出了.文献[5]给出了若∆(G)≤3,则.文献[6]给出了若∆(G)≤5且,则.文献[7]给出了若∆(G)≤4,则,和若∆(G)≤5,则.本文证明了若G是一个最大度为6的非半正则图,则.引理1.1 [7]假设G是一个∆(G)≥2的半正则图.若∆(G)≡0(mod 3),则.2 主要结果定理2.1 设G是一个最大度为6的非半正则图,则.证假设G是含边数最少的连通的极小反例.由于G是非半正则的,所以存在uv∈E(G),使得dG(u)≤5且dG(v)≤5.不妨设dH(u)≤dH(v).设H=G−uv,由G的极小性可知,H有一个12-邻点可区别边着色φ,它用的颜色集C={1,2,···,12}.为了叙述起来方便,称在φ下边e对颜色α是允许的,若在φ下用颜色α给边e重新着色可得H的一个新的12-邻点可区别边着色.用L(e)表示在φ下由边e的所有允许的颜色组成的集.设xy∈E(H),且dG(x)=dG(y).若颜色β∈cφ(y)\cφ(x),且|cφ(y)∩cφ(x)|=dH(x)=dH(y)−1,则称在φ下颜色β为顶点x的不法颜色.用Ax表示在φ下顶点x的所有不法颜色组成的集.设Ωz(x)={cφ(y)|y∈NH(x)\{z}}(或Ω(x)={cφ(y)|y∈NH(x)}).由uv的选择可知dH(u)+dH(v)≤8.情形1 假设dH(u)+dH(v)≤6.情形1.1 假设dH(u)=0.由uv的选择和G的假设可知1≤dH(v)≤4.显然,存在p∈C\cφ(v),用p给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.情形1.2 假设dH(u)=1且u0∈NH(u).由uv的选择可知1≤dH(v)≤4.假设dH(v)=1且v0∈NH(v).若φ(vv0)6φ(uu0),显然,存在p∈C\{cφ(v)∪cφ(u)},用p给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,φ(vv0)=φ(uu0).由于|L(vv0)|≥1,所以存在q∈L(vv0).现用q给vv0重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0.从而φ0(vv0)φ0(uu0),正如前面已讨论,矛盾.假设2≤dH(v)≤4.显然,存在p∈C\{cφ(v)∪cφ(u)},用p给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.情形1.3 假设dH(u)=2且uj∈NH(u),其中j=1,2.由uv的选择可知2≤dH(v)≤4.假设dH(v)=2且vj∈NH(v),其中j=1,2. 若|cφ(u)∩cφ(v)|≤1,显然,存在p∈C\{cφ(v)∪cφ(u)},用p给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,|cφ(u)∩cφ(v)|=2.不妨设φ(vv1)=1和φ(vv2)=2.在H中,若v的邻点有一个5−-顶点,不妨设dH(v1)≤5.由于|L(vv1)|≥1,所以存在p∈L(vv1).现用p给vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0.从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=1,正如前面已讨论,矛盾.否则,v1和v2均是6-顶点.设v1j∈NH(v1),其中j=1,2,3,4,5.若2∈cφ(v1),因而|L(vv1)|≥1,所以存在p∈L(vv1).现用p给vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0.从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=1,正如前面已讨论,矛盾.否则,2cφ(v1).不妨设φ(v1v1j)=j+2,其中j=1,2,3,4,5.若存在q∈C\{cφ(v)∪cφ(v1)},用q给vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0,从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=1,正如前面已讨论,矛盾.否则,不妨设cφ(v11)={3,4,5,6,7,8},cφ(v12)={3,4,5,6,7,9},cφ(v13)={3,4,5,6,7,10},cφ(v14)={3 ,4,5,6,7,11}和cφ(v15)={3,4,5,6,7,12}. 若存在r∈{1,2},使得{r,4,5,6,7,8}Ωv1(v11),那么用r和3分别给v1v11和vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0.从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=1,正如前面已讨论,矛盾.否则,在φ下,{{1,4,5,6,7,8},{2,4,5,6,7,8}}⊆Ωv1(v11).由于|Ωv1(v11)|=5,所以存在s∈{9,10,11,12},使得{s,4,5,6,7,8}Ωv1(v11).现用s和t∈{9,10,11,12}\{s},分别给v1v11和vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0.从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=1,正如前面已讨论,矛盾.假设3≤dH(v)≤4.由前面的讨论可知,uj均是4+-顶点,其中j=1,2.显然,存在p∈C\{cφ(v)∪cφ(u)},用p给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾. 情形1.4 假设dH(u)=3.因而dH(v)=3.设vj∈N H(v),其中j=1,2,3.假设|cφ(u)∩cφ(v)|=0.若存在p∈C\{cφ(v)∪cφ(u)},用p给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,在φ下,{{p}∪cφ(v)}∈Ω(v),或{{p}∪cφ(u)}∈Ω(u).由于|L(vv1)|≥5,所以存在q∈L(vv1)\{cφ(v2)∪cφ(v3)}.现用q 给vv1重新着色,用φ(vv1)给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾. 假设1≤|cφ(u)∩cφ(v)|≤2.显然,存在p∈C\{cφ(v)∪cφ(u)},用p给uv着色可得G 的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.假设|cφ(u)∩cφ(v)|=3.不妨设φ(vvj)=j,其中j=1,2,3.在H中,假设v的邻点中有一个5−-顶点.不妨设d(v1)≤5.由情形1.3可知,v2和v3均不是3-顶点.显然,|L(vv1)|≥1,所以存在p∈L(vv1),用p给vv1重新着色可得H 的一个12-邻点可区别边着色φ0.从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=2,正如前面已讨论,矛盾. 在H中,假设v的邻点均是6-顶点.设v1j∈NH(v1),其中j=1,2,3,4,5.假设|{2,3}∩cφ(v1)|=0.不妨设φ(v1v1j)=j+3,其中j=1,2,3,4,5.若存在p∈C\{cφ(v)∪cφ(v1)},用p给vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0,从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=2,正如前面已讨论,矛盾.否则,不妨设cφ(v11)={4,5,6,7,8,9},cφ(v12)={4,5,6,7,8,10},cφ(v13)={4,5,6,7,8,11}和cφ(v14)={4,5,6,7,8,12}. 若存在q∈{1,2,3},使得{q,5,6,7,8,9}Ωv1(v11),那么先用q 给v1v11重新着色.进一步,若用4给vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色,从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=2,正如前面已讨论,矛盾.否则,cφ(v15)={q,4,5,6,7,8}.现用10给vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ00.从而|cφ00(u)∩cφ00(v)|=2,正如前面已讨论,矛盾.否则,在φ下,{{1,5,6,7,8,9},{2,5,6,7,8,9},{3,5,6,7,8,9}}⊆Ωv1(v11).由于|Ωv1(v11)|=5,所以存在r∈{10,11,12},使得{r,5,6,7,8,9}Ωv1(v11).若用r和s∈{10,11,12}\{r}分别给v1v11和vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0,从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=2,正如前面已讨论,矛盾.否则,cφ(v5)={r,s,5,6,7,8}.现用r和t∈{10,11,12}\{r,s}分别给v1v11和vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ00.从而|cφ00(u)∩cφ00(v)|=2,正如前面已讨论,矛盾.假设|{2,3}∩cφ(v1)|=1.不妨设φ(v1v11)=2,φ(v1v1j)=j+2,其中j=2,3,4,5.若存在p∈C\{cφ(v)∪cφ(v1)},用p给vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0,从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=2,正如前面已讨论,矛盾.否则,不妨设cφ(v11)={2,4,5,6,7,8},cφ(v12)={2,4,5,6,7,9},cφ(v13)={2,4,5,6,7,10},cφ(v14)={2 ,4,5,6,7,11}和cφ(v15)={2,4,5,6,7,12}.若存在q∈{1,3},使得{q,2,5,6,7,9}Ωv1(v12),那么用q和4分别给v1v12和vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0.从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=2,正如前面已讨论,矛盾.否则,在φ下,{{1,2,5,6,7,9},{2,3,5,6,7,9}}⊆Ωv1(v12).由于|Ωv1(v12)|=5,所以存在r∈{8,10,11,12},使得{r,2,5,6,7,9}Ωv1(v12).现用r和s∈{8,10,11,12}\{r}分别给v1v12和vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0.从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=2,正如前面已讨论,矛盾.假设|{2,3}∩cφ(v1)|=2.由于|L(vv1)|≥1,所以存在p∈L(vv1).现用p给vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0,从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=2,正如前面已讨论,矛盾.情形2 假设dH(u)+dH(v)=7.由uv的选择可知dH(u)=3且dH(v)=4.设uj∈NH(u),其中j=1,2,3.由情形1可知,uj均为5+-顶点,其中j=1,2,3.因此存在p∈C\{cφ(u)∪cφ(v)},用p给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.情形3 假设dH(u)+dH(v)=8.由uv的选择可知dH(u)=4且dH(v)=4.设vi∈NH(v),其中i=1,2,3,4.在φ下,不妨设φ(vvi)=i,其中i=1,2,3,4.设uj∈NH(u),其中j=1,2,3,4.由情形1和2可知,在H中,与u相邻的顶点和与v相邻的顶点均是5+-顶点.情形3.1 假设dH(uj)=6,其中j=1,2,3,4.情形3.1.1 假设|cφ(u)∩cφ(v)|=0.设φ(uuj)=j+4,其中j=1,2,3,4.若存在p∈C\{cφ(u)∪cφ(v)},用p给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,在φ下,{{p}∪cφ(v)}∈Ω(v). 显然,C\{cφ(v)∪cφ(u)}={9,10,11,12}. 不妨设cφ(v1)={1,2,3,4,9},cφ(v2)={1,2,3,4,10},cφ(v3)={1,2,3,4,11}和cφ(v4)={1,2,3,4,12}. 若存在q∈{5,6,7,8},使得{q,2,3,4,9}Ωv(v1),那么用q给vv1重新着色,用1给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,在φ下,Ωv(v1)={{2,3,4,5,9},{2,3,4,6,9},{2,3,4,7,9},{2,3,4,8,9}}.现用10给vv1重新着色,用11给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.情形3.1.2 假设1≤|cφ(u)∩cφ(v)|≤3.显然,存在p∈C\{cφ(u)∪cφ(v)},用p给uv 着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.情形3.1.3 假设|cφ(u)∩cφ(v)|=4.在H中,假设d6(v)=4.因此d(vi)=6,其中i=1,2,3,4.设v1j∈NH(v1)\{v},其中j=1,2,3,4,5.假设|{2,3,4}∩cφ(v1)|=0.不妨设φ(v1v1j)=j+4,其中j=1,2,3,4,5.若存在p∈C\{cφ(v)∪cφ(v1)},用p给vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0,从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=3,正如情形3.1.2,矛盾.否则,不妨设cφ(v11)={5,6,7,8,9,10},cφ(v12)={5,6,7,8,9,11}和cφ(v13)={5,6,7,8,9,12}.若存在q∈{1,2,3,4},使得{q,6,7,8,9,10}/∈Ωv1(v11),那么先用q给v1v11重新着色.进一步,若用5给vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0,从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=3,正如情形3.1.2,矛盾.否则,cφ(v14)={q,5,6,7,8,9},或cφ(v15)={q,5,6,7,8,9}. 不妨设cφ(v14)={q,5,6,7,8,9}. 若用11给vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ00,从而|cφ00(u)∩cφ00(v)|=3,正如情形3.1.2,矛盾.否则,cφ(v15)={q,6,7,8,9,11}.现用12给vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ000.从而|cφ000(u)∩cφ000(v)|=3,正如情形3.1.2,矛盾.否则,在φ下,{{1,6,7,8,9,10},{2,6,7,8,9,10},{3,6,7,8,9,10},{4,6,7,8,9,10}}⊆Ωv1(v11).类似的,{{1,5,7,8,9,11},{2,5,7,8,9,11},{3,5,7,8,9,11},{4,5,7,8,9,11}}⊆Ωv1(v12).由于|Ωv1(v1j)|=5,其中j=1,2,所以存在r∈{11,12},不妨设r=11,使得{6,7,8,9,10,11}/∈Ωv1(v11),存在s∈{10,12},使得{s,5,7,8,9,11}Ωv1(v12).若用11和12分别给v1v11和vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0,从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=3,正如情形3.1.2,矛盾.否则,cφ(v14)={6,7,8,9,11,12},或cφ(v15)={6,7,8,9,11,12}.不妨设cφ(v14)={6,7,8,9,11,12}.若用s和t∈{10,12}\{s}分别给v1v12和vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ00,从而|cφ00(u)∩cφ00(v)|=3,正如情形3.1.2,矛盾.否则,cφ(v15)={5,7,8,9,10,12}.现用11,s和t分别给v1v11,v1v12和vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ000.从而|cφ000(u)∩cφ000(v)|=3,正如情形3.1.2,矛盾.假设|{2,3,4}∩cφ(v1)|=1.不妨设φ(v1v11)=2和φ(v1v1j)=j+3,其中j=2,3,4,5.若存在p∈C\{cφ(v)∪cφ(v1)},用p给vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0,从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=3,正如情形3.1.2,矛盾. 否则,不妨设cφ(v11)={2,5,6,7,8,9},cφ(v12)={2,5,6,7,8,10},cφ(v13)={2,5,6,7,8,11}和cφ(v14)={2,5,6,7,8,12}. 若存在q∈{1,3,4},使得{q,2,6,7,8,10}Ωv1(v12),那么先用q给v1v12重新着色.进一步,若用5给vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0,从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=3,正如情形3.1.2,矛盾.否则,cφ(v15)={q,2,5,6,7,8}.现用11给vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ00.从而|cφ00(u)∩cφ00(v)|=3,正如情形3.1.2,矛盾.否则,在φ下,{{1,2,6,7,8,10},{2,3,6,7,8,10},{2,4,6,7,8,10}}⊆Ωv1(v12).由于|Ωv1(v12)|=5,所以存在r∈{9,11,12},使得{r,2,6,7,8,10}Ωv1(v12),那么先用r给v1v12重新着色.进一步,若用s∈{9,11,12}\{r}给vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0,从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=3,正如情形3.1.2,矛盾. 否则,cφ(v15)={r,s,2,6,7,8}. 现用t∈{9,11,12}\{r,s}给vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ00.从而|cφ00(u)∩cφ00(v)|=3,正如情形3.1.2,矛盾.假设|{2,3,4}∩cφ(v1)|=2.不妨设φ(v1v11)=2,φ(v1v12)=3和φ(v1v1j)=j+2,其中j=3,4,5.若存在p∈C\{cφ(v)∪cφ(v1)},用p给vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0,从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=3,正如情形3.1.2,矛盾.否则,不妨设cφ(v11)={2,3,5,6,7,8},cφ(v12)={2,3,5,6,7,9},cφ(v13)={2,3,5,6,7,10},cφ(v14)={2 ,3,5,6,7,11}和cφ(v15)={2,3,5,6,7,12}.若存在q∈{1,4},使得{q,2,3,6,7,10}/∈Ωv1(v13),那么用q和5分别给v1v13和vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0.从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=3,正如情形3.1.2,矛盾.否则,在φ下,{{1,2,3,6,7,10},{2,3,4,6,7,10}}⊆Ωv1(v13).由于|Ωv1(v13)|=5,所以存在r∈{8,9,11,12},使得{r,2,3,6,7,10}Ωv1(v13).现用r和s∈{8,9,11,12}\{r}分别给v1v13和vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0,从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=3,正如情形3.1.2,矛盾.假设|{2,3,4}∩cφ(v1)|=3.由于|L(vv1)|≥1,所以存在p∈L(vv1).现用p给vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0.从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=3,正如情形3.1.2,矛盾.在H中,假设d6(v)≤3.不妨设d(v1)=5.若|{2,3,4}∩cφ(v1)|≥1,因而|L(vv1)|≥1,所以存在p∈L(vv1).现用p给vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0.从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=3,正如情形3.1.2,矛盾.否则,|{2,3,4}∩cφ(v1)|=0.不妨设φ(v1v1j)=j+4,其中j=1,2,3,4.若存在q∈C\{cφ(v)∪cφ(v1)},用q给vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0,从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=3,正如情形3.1.2,矛盾.否则,不妨设cφ(v11)={5,6,7,8,9},cφ(v12)={5,6,7,8,10},cφ(v13)={5,6,7,8,11}和cφ(v14)={5,6,7,8,12}. 若存在r∈{1,2,3,4},使得{r,6,7,8,9}Ωv1(v11),那么用r和5分别给v1v11和vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0.从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=3,正如情形3.1.2,矛盾.否则,在φ下,Ωv1(v11)={{1,6,7,8,9},{2,6,7,8,9},{3,6,7,8,9},{4,6,7,8,9}}.现用10和11分别给v1v11和vv1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0.从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=3,正如情形3.1.2,矛盾.情形3.2 假设dH(u1)=5,且d(uj)=6,其中j=2,3,4.情形3.2.1 假设|cφ(u)∩cφ(v)|=0.不妨设φ(uuj)=j+4,j=1,2,3,4.若存在p∈C\{cφ(v)∪cφ(u)},用p给uv着色可得G 的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,在φ下,{{p}∪cφ(v)}∈Ω(v),或{{p}∪cφ(u)}∈Ω(u).显然,C\{cφ(v)∪cφ(u)}={9,10,11,12}.假设|Av∩{9,10,11,12}|=4. 不妨设cφ(v1)={1,2,3,4,9},cφ(v2)={1,2,3,4,10},cφ(v3)={1,2,3,4,11}和cφ(v4)={1,2,3,4,12}.若存在q∈{5,6,7,8},使得{q,2,3,4,9}Ωv(v1),那么先用q给vv1重新着色.进一步,若用1给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(u1)={1,5,6,7,8}.现用10给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,在φ下,Ωv(v1)={{2,3,4,5,9},{2,3,4,6,9},{2,3,4,7,9},{2,3,4,8,9}}.先用10给vv1重新着色.进一步,若用11给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(u1)={5,6,7,8,11}.现用12给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.假设|Av∩{9,10,11,12}|=3. 因而|Au∩{9,10,11,12}|=1. 不妨设cφ(v1)={1,2,3,4,9},cφ(v2)={1,2,3,4,10},cφ(v3)={1,2,3,4,11}和cφ(u1)={5,6,7,8,12}.由于|L(uu1)|≥3,所以存在q∈L(uu1).若用q给uu1重新着色,用5给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(v4)={1,2,3,4,5}.由于|Ωv(v1)|=4,所以存在r∈{5,6,7,8,12},使得{r,2,3,4,9}Ωv(v1).现用r给vv1重新着色,用10给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.情形3.2.2 假设|cφ(u)∩cφ(v)|=1. 不妨设φ(uu1)=1和φ(uuj)=j+3,其中j=2,3,4.若存在p∈C\{cφ(v)∪cφ(u)},用p给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,在φ下,{{p}∪cφ(v)}∈Ω(v)或{{p}∪cφ(u)}∈Ω(u).显然,C\{cφ(v)∪cφ(u)}={8,9,10,11,12}. 不妨设cφ(v1)={1,2,3,4,8},cφ(v2)={1,2,3,4,9},cφ(v3)={1,2,3,4,10},cφ(v4)={1,2,3,4,11}和cφ(u1)={1,5,6,7,12}. 若存在q∈{5,6,7,12},使得{q,1,3,4,9}Ωv(v2),那么用q给vv2重新着色,用2给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,在φ下,Ωv(v2)={{1,3,4,5,9},{1,3,4,6,9},{1,3,4,7,9},{1,3,4,9,12}}.现用10给vv2重新着色,用11给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.情形3.2.3 假设2≤|cφ(u)∩cφ(v)|≤3.显然,存在p∈C\{cφ(v)∪cφ(u)},用p给uv 着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.情形3.2.4 假设|cφ(u)∩cφ(v)|=4.设φ(uuj)=j,其中j=1,2,3,4.假设|{2,3,4}∩cφ(u1)|≥1.由于|L(uu1)|≥1,所以存在p∈L(uu1).现用p给uu1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0.从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=3,正如情形3.2.3,矛盾.假设|{2,3,4}∩cφ(u1)|=0.设u1j∈NH(u1)\{u},其中j=1,2,3,4.不妨设φ(u1u1j)=j+4,其中j=1,2,3,4.若存在q∈C\{cφ(u)∪cφ(u1)},用q给uu1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0,从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=3,正如情形3.2.3,矛盾.否则,不妨设cφ(u11)={5,6,7,8,9},cφ(u12)={5,6,7,8,10},cφ(u13)={5,6,7,8,11}和cφ(u14)={5,6,7,8,12}.若存在r∈{1,2,3,4},使得{r,6,7,8,9}Ωu1(u11),那么用r和5分别给u1u11和uu1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0.从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=3,正如情形3.2.3,矛盾.否则,在φ下,Ωu1(u11)={{1,6,7,8,9},{2,6,7,8,9},{3,6,7,8,9},{4,6,7,8,9}}.现用10和11分别给u1u11和uu1重新着色可得H的一个12-邻点可区别边着色φ0.从而|cφ0(u)∩cφ0(v)|=3,正如情形3.2.3,矛盾.情形3.3 假设dH(u1)=dH(u2)=5且dH(u3)=dH(u4)=6.情形3.3.1 假设|cφ(u)∩cφ(v)|=0.不妨设φ(uuj)=j+4,j=1,2,3,4.若存在p∈C\{cφ(v)∪cφ(u)},用p给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,在φ下,{{p}∪cφ(v)}∈Ω(v),或{{p}∪cφ(u)}∈Ω(u).显然,C\{cφ(v)∪cφ(u)}={9,10,11,12}.假设|Av∩{9,10,11,12}|=4. 不妨设cφ(v1)={1,2,3,4,9},cφ(v2)={1,2,3,4,10},cφ(v3)={1,2,3,4,11}和cφ(v4)={1,2,3,4,12}.若存在q∈{5,6,7,8},使得{q,2,3,4,9}/∈Ωv(v1),那么先用q给vv1重新着色.进一步,若用1给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(u1)={1,5,6,7,8}或cφ(u2)={1,5,6,7,8}.不妨设cφ(u1)={1,5,6,7,8}.若用10给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(u2)={5,6,7,8,10}.现用11给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,在φ下,Ωv(v1)={{2,3,4,5,9},{2,3,4,6,9},{2,3,4,7,9},{2,3,4,8,9}}.类似的,Ωv(v2)={{1,3,4,5,10},{1,3,4,6,10},{1,3,4,7,10},{1,3,4,8,10}}.先用10和11分别给vv1和vv2重新着色.进一步,若用2给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(u1)={2,5,6,7,8}或cφ(u2)={2,5,6,7,8}. 不妨设cφ(u1)={2,5,6,7,8}. 若用 9给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(u2)={5,6,7,8,9}.现用12给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.假设|Av∩{9,10,11,12}|=3. 因而|Au∩{9,10,11,12}|≥1. 不妨设cφ(v1)={1,2,3,4,9},cφ(v2)={1,2,3,4,10},cφ(v3)={1,2,3,4,11}和cφ(u1)={5,6,7,8,12}.由于|L(uu1)|≥3,所以存在q∈L(uu1).若用q给uu1重新着色,用5给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(u2)={q,5,6,7,8}或cφ(v4)={1,2,3,4,5}.若cφ(v4)={1,2,3,4,5},显然,存在r∈{5,6,7,8,12},使得{r,2,3,4,9}Ωv(v1),那么先用r给vv1重新着色.进一步,若用10给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(u2)={5,6,7,8,10}.现用11给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.若cφ(u2)={q,5,6,7,8},由于|L(uu2)|≥3,所以存在s∈L(uu2)\cφ(u1).现用s给uu2重新着色,用12给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.假设|Av∩{9,10,11,12}|=2. 因而|Au∩{9,10,11,12}|=2. 不妨设cφ(v1)={1,2,3,4,9},cφ(v2)={1,2,3,4,10},cφ(u1)={5,6,7,8,11}和c(u2)={5,6,7,8,12}. 由于|L(uu1)|≥3,所以存在q∈L(uu1)\cφ(u2).现用q给uu1重新着色,用12给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.情形3.3.2 假设|cφ(u)∩cφ(v)|=1.不妨设φ(uu1)=1和φ(uuj)=j+3,其中j=2,3,4.若存在p∈C\{cφ(v)∪cφ(u)},用p 给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,在φ下,{{p}∪cφ(v)}∈Ω(v),或{{p}∪cφ(u)}∈Ω(u).显然,C\{cφ(v)∪cφ(u)}={8,9,10,11,12}.假设|Av∩{8,9,10,11,12}|=4.因而|Au∩{8,9,10,11,12}|≥1.不妨设cφ(v1)={1,2,3,4,8},cφ(v2)={1,2,3,4,9},cφ(v3)={1,2,3,4,10},cφ(v4)={1,2,3,4,11}和cφ(u1)={1,5,6,7,12}.若存在q∈{5,6,7,12},使得{q,1,3,4,9}Ωv(v2),那么先用q给vv2重新着色.进一步,若用2给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(u2)={1,2,5,6,7}.现用10给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,在φ下,Ωv(v2)={{1,3,4,5,9},{1,3,4,6,9},{1,3,4,7,9},{1,3,4,9,12}}.先用10给vv2重新着色.进一步,若用8给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(u2)={1,5,6,7,8}.现用11给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.假设|Av∩{8,9,10,11,12}|=3.因而|Au∩{8,9,10,11,12}|=2.不妨设cφ(v1)={1,2,3,4,8},cφ(v2)={1,2,3,4,9},cφ(v3)={1,2,3,4,10},cφ(u1)={1,5,6,7,11}和cφ(u2)={1,5,6,7,12}.由于|L(uu2)|≥3,所以存在q∈L(uu2)\cφ(u1).现用q给uu2重新着色,用11给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.情形3.3.3 假设|cφ(u)∩cφ(v)|=2.不妨设φ(uu1)=1,φ(uu2)=2,φ(uu3)=5 和φ(uu4)=6. 若存在p∈C\{cφ(v)∪cφ(u)},用p给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,在φ下,{{p}∪cφ(v)}∈Ω(v)或{{p}∪cφ(u)}∈Ω(u).显然,C\{cφ(v)∪cφ(u)}={7,8,9,10,11,12}.不妨设cφ(v1)={1,2,3,4,7},cφ(v2)={1,2,3,4,8},cφ(v3)={1,2,3,4,9},cφ(v4)={1,2,3,4,10},c φ(u1)={1,2,5,6,11}和cφ(u2)={1,2,5,6,12}. 由于|L(uu1)|≥3,所以存在q∈L(uu1)\cφ(u2).现用q给uu1重新着色,用12给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.情形3.3.4 假设|cφ(u)∩cφ(v)|=3.显然,存在p∈C\{cφ(v)∪cφ(u)},用p给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.情形3.3.5 假设|cφ(u)∩cφ(v)|=4.与情形3.2.4类似,矛盾.情形3.4 假设d(uj)=5,其中j=1,2,3,且d(u4)=6.情形3.4.1 假设|cφ(u)∩cφ(v)|=0.不妨设φ(uuj)=j+4,j=1,2,3,4.若存在p∈C\{cφ(v)∪cφ(u)},用p给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,在φ下,{{p}∪cφ(v)}∈Ω(v)或{{p}∪cφ(u)}∈Ω(u).显然,C\{cφ(v)∪cφ(u)}={9,10,11,12}.假设|Av∩{9,10,11,12}|=4. 不妨设cφ(v1)={1,2,3,4,9},cφ(v2)={1,2,3,4,10},cφ(v3)={1,2,3,4,11}和cφ(v4)={1,2,3,4,12}.若存在q∈{5,6,7,8},使得{q,2,3,4,9}Ωv(v1),那么先用q给vv1重新着色.进一步,若用1给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(u1)={1,5,6,7,8}或cφ(u2)={1,5,6,7,8}或cφ(u3)={1,5,6,7,8}.不妨设cφ(u1)={1,5,6,7,8}.若用10给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(u2)={5,6,7,8,10}或cφ(u3)={5,6,7,8,10}.不妨设cφ(u2)={5,6,7,8,10}.若用11给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(u3)={5,6,7,8,11}.现用12给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,在φ下,Ωv(v1)={{2,3,4,5,9},{2,3,4,6,9},{2,3,4,7,9},{2,3,4,8,9}}.类似的,Ωv(v2)={{1,3,4,5,10},{1,3,4,6,10},{1,3,4,7,10},{1,3,4,8,10}},Ωv(v3)={{1,2,4,5,1 1},{1,2,4,6,11},{1,2,4,7,11},{1,2,4,8,11}}和Ωv(v4)={{1,2,3,5,12},{1,2,3,6,12},{1,2,3,7,12},{1,2,3,8,12}}.先用10,11,12和9分别给vv1,vv2,vv3和vv4重新着色.进一步,若用1给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(u1)={1,5,6,7,8}或cφ(u2)={1,5,6,7,8}或cφ(u3)={1,5,6,7,8}. 不妨设cφ(u1)={1,5,6,7,8}.若用2给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(u2)={2,5,6,7,8}或cφ(u3)={2,5,6,7,8}. 不妨设cφ(u2)={2,5,6,7,8}. 若用 3给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(u3)={3,5,6,7,8}.现用4给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.假设|Av∩{9,10,11,12}|=3. 因而|Au∩{9,10,11,12}|≥1. 不妨设cφ(v1)={1,2,3,4,9},cφ(v2)={1,2,3,4,10},cφ(v3)={1,2,3,4,11}和cφ(u1)={5,6,7,8,12}.由于|L(uu1)|≥3,所以存在q∈L(uu1).若用q给uu1重新着色,用5给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(u2)={q,5,6,7,8}或cφ(u3)={q,5,6,7,8}或cφ(v4)={1,2,3,4,5}. 若cφ(v4)={1,2,3,4,5},显然,存在r∈{5,6,7,8,12},使得{r,2,3,4,9}Ωv(v1),那么先用r给vv1重新着色.进一步,若用10给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(u2)={5,6,7,8,10}或cφ(u3)={5,6,7,8,10}.不妨设cφ(u2)={5,6,7,8,10}.若用11给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(u3)={5,6,7,8,11}.显然存在s∈{6,7}\{r},不妨设s=7.由于|L(uu3)|≥3,所以存在t∈L(uu3)\{cφ(u1)∪cφ(u2)}.现用t给uu3重新着色,用7给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.若cφ(u2)={q,5,6,7,8}或cφ(u3)={q,5,6,7,8},不妨设cφ(u2)={q,5,6,7,8}.由于|L(uu2)|≥3,所以存在r∈L(uu2)\cφ(u1).若用r给uu2重新着色,用12给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(u3)={r,5,7,8,12}.由于|L(uu3)|≥2,所以存在s∈L(uu3).显然,scφ(u1),6cφ(u3)和12cφ(u2).因而用s给uu3重新着色,用12给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.假设|Av∩{9,10,11,12}|=2.因而|Au∩{9,10,11,12}|≥2.不妨设cφ(v1)={1,2,3,4,9},cφ(v2)={1,2,3,4,10},cφ(u1)={5,6,7,8,11}和cφ(u2)={5,6,7,8,12}. 由于|L(uu1)|≥3,所以存在q∈L(uu1)\cφ(u2).若用q给uu1重新着色,用12给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(u3)={q,6,7,8,12}.由于|L(uu2)|≥3,所以存在r∈L(uu2)\{cφ(u1)∪cφ(u3)}.现用r给uu2重新着色,用11给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾. 假设|Av∩{9,10,11,12}|=1.因而|Au∩{9,10,11,12}|=3.不妨设cφ(v1)={1,2,3,4,9},cφ(u1)={5,6,7,8,10},cφ(u2)={5,6,7,8,11}和cφ(u3)={5,6,7,8,12}. 由于|L(uu1)|≥3,所以存在q∈L(uu1)\{cφ(u2)∪cφ(u3)}.现用q给uu1重新着色,用11给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.情形3.4.2 假设|cφ(u)∩cφ(v)|=1.不妨设φ(uu1)=1,φ(uuj)=j+3,j=2,3,4.若存在p∈C\{cφ(v)∪cφ(u)},用p给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,在φ下,{{p}∪cφ(v)}∈Ω(v)或{{p}∪cφ(u)}∈Ω(u).显然,C\{cφ(v)∪cφ(u)}={8,9,10,11,12}.假设|Av∩{8,9,10,11,12}|=4.因而|Au∩{8,9,10,11,12}|≥1.不妨设cφ(v1)={1,2,3,4,8},cφ(v2)={1,2,3,4,9},cφ(v3)={1,2,3,4,10},cφ(v4)={1,2,3,4,11}和cφ(u1)={1,5,6,7,12}.若存在q∈{5,6,7,12},使得{q,1,3,4,9}Ωv(v2),那么先用q 给vv2重新着色.进一步,若用2给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾. 否则,cφ(u2)={1,2,5,6,7}或cφ(u3)={1,2,5,6,7}. 不妨设cφ(u2)={1,2,5,6,7}.若用8给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(u3)={1,5,6,7,8}.现用10给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,在φ下,Ωv(v2)={{1,3,4,5,9},{1,3,4,6,9},{1,3,4,7,9},{1,3,4,9,12}}.类似的,Ωv(v3)={{1,2,4,5,10},{1,2,4,6,10},{1,2,4,7,10},{1,2,4,10,12}}和Ωv(v4)={{1,2,3,5,11},{1,2,3,6,11},{1,2,3,7,11},{1,2,3,11,12}}.先用10,11和9分别给vv2,vv3和vv4重新着色.进一步,若用2给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(u2)={1,2,5,6,7}或cφ(u3)={1,2,5,6,7}. 不妨设cφ(u2)={1,2,5,6,7}.若用 3给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(u3)={1,3,5,6,7}.现用4给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.假设|Av∩{8,9,10,11,12}|=3.因而|Au∩{8,9,10,11,12}|≥2.不妨设cφ(v1)={1,2,3,4,8},cφ(v2)={1,2,3,4,9},cφ(v3)={1,2,3,4,10},cφ(u1)={1,5,6,7,11}和cφ(u2)={1,5,6,7,12}.由于|L(uu1)|≥3,所以存在q∈L(uu1)\cφ(u2).若用q给uu1重新着色,用12给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(u3)={q,5,6,7,12}.由于|L(uu2)|≥3,所以存在r∈L(uu2)\{cφ(u1)∪cφ(u3)}.现用r给uu2重新着色,用11给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾. 假设|Av∩{8,9,10,11,12}|=2.因而|Au∩{8,9,10,11,12}|=3.不妨设cφ(v1)={1,2,3,4,8},cφ(v2)={1,2,3,4,9},cφ(u1)={1,5,6,7,10},cφ(u2)={1,5,6,7,11}和cφ(u3)={1,5,6,7,12}. 由于|L(uu2)|≥3,所以存在q∈L(uu2)\{cφ(u1)∪cφ(u3)}. 现用q给uu2重新着色,用12给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.情形3.4.3 假设|cφ(u)∩cφ(v)|=2.不妨设φ(uu1)=1,φ(uu2)=2,φ(uu3)=5 和φ(uu4)=6. 若存在p∈C\{cφ(v)∪cφ(u)},用p给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,在φ下,{{p}∪cφ(v)}∈Ω(v)或{{p}∪cφ(u)}∈Ω(u).显然,C\{cφ(v)∪cφ(u)}={7,8,9,10,11,12}.假设|Av∩{7,8,9,10,11,12}|=4.因而|Au∩{7,8,9,10,11,12}|≥2.不妨设cφ(v1)={1,2,3,4,7},cφ(v2)={1,2,3,4,8},cφ(v3)={1,2,3,4,9},cφ(v4)={1,2,3,4,10},c φ(u1)={1,2,5,6,11}和cφ(u2)={1,2,5,6,12}.由于|L(uu1)|≥3,所以存在q∈L(uu1)\cφ(u2).若用q给uu1重新着色,用12给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,cφ(u3)={q,2,5,6,12}.由于|L(uu2)|≥3,所以存在r∈L(uu2)\{cφ(u1)∪cφ(u3)}.现用r给uu2重新着色,用11给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.假设|Av∩{7,8,9,10,11,12}|=3.因而|Au∩{7,8,9,10,11,12}|=3.不妨设cφ(v1)={1,2,3,4,7},cφ(v2)={1,2,3,4,8},cφ(v3)={1,2,3,4,9},cφ(u1)={1,2,5,6,10},c φ(u2)={1,2,5,6,11}和cφ(u3)={1,2,5,6,12}.由于|L(uu3)|≥3,所以存在q∈L(uu3)\{cφ(u1)∪cφ(u2)}.现用q给uu3重新着色,用10给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.情形3.4.4 假设|cφ(u)∩cφ(v)|=3.不妨设φ(uuj)=j,其中j=1,2,3.设φ(uu4)=5.若存在p∈C\{cφ(v)∪cφ(u)},用p给uv着色可得G的一个12-邻点可区别边着色,矛盾.否则,在φ下,{{p}∪cφ(v)}∈Ω(v)或{{p}∪cφ(u)}∈Ω(u). 显然,C\{cφ(v)∪cφ(u)}={6,7,8,9,10,11,12}. 不妨设cφ(v1)={1,2,3,4,6},cφ(v2)={1,2,3,4,7},cφ(v3)={1,2,3,4,8},cφ(v4)={1,2,3,4,9},cφ( u1)={1,2,3,5,10},cφ(u2)={1,2,3,5,11}和cφ(u3)={1,2,3,5,12}.由于|L(uu1)|≥3,所以存在q∈L(uu1)\{cφ(u2)∪cφ(u3)}.现用q给uu1重新着色,用11给uv着色可得G的一个12邻点可区别边着色,矛盾.情形3.4.5 假设|cφ(u)∩cφ(v)|=4.与情形3.2.4类似,矛盾.情形3.5 假设d(uj)=5,其中j=1,2,3,4.由于G是最大度为6的连通图,所以在G中存在一个6-顶点w,和一条最短路p=w0,w1,···,wt,其中w0=u,wt=w.设ws是这条路上的第一个6-顶点.根据情形1,2和3.1–3.4可知d(wk)=5且s≥3,其中k=0,1,···,s−1.因此找到了一个5-顶点ws−1和一个6-顶点ws相邻.令H=G−ws−2ws−1.正如前面已讨论,矛盾.因此这个定理成立.推论2.1 设G是一个最大度为6的图,则.证由引理1.1和定理2.1可得.参考文献【相关文献】[1]Zhang Zhongfu,Liu Linzhong,Wang Jianfang.Adjacent strong edge coloring ofgraphs[J].Appl.Math.Lett.,2002,15(5):623–626.[2]Hatami H.∆+300 is a bound on the adjacent vertex distinguishing edge chromatic number[J]bin.Theory Ser.B.,2006,95(2):246–256.[3]Akbari S,Bidkhori H,Nosrati N.r-Strong edge colorings ofgraphs[J].Disc.Math.,2006,306(23):3005–3010.[4]Zhang Lianzhu,Wang Weifan,Lih K W.An improved upper bound on the adjacent vertexdistinguishing chromatic index of a graph[J].Disc.Appl.Math.,2014,162(C):348–354.[5]Balister P N,Gyri J,Lehel R H,Schelp R H.Adjacent vertex distinguish edge-coloring[J].SIAM J.Disc.Math.,2007,21(1):237–250.[6]Hocquard H,Montassier M.Adjacent vertex-distinguishing edge coloring of graphs with maximum degree ∆[J]b.Optim.,2013,26(1):152–160.[7]Wang Yiqiao,Wang Weifan,Huo Jingjing.Some bounds on the neighbor-distinguishing index of graphs[J].Disc.Math.,2015,338(11):2006–2013.。
点可区别全色数的一个上界
点可区别全色数的一个上界1谈及全色数全色数是指色彩编码中容纳的16进制色彩值的最大上界，它可以灵活地表现出任意十六进制颜色，如：#ff00ff。
一般情况下，它表示由红、绿、蓝三种原色组合成一种新的颜色，组合的结果就是：红色的色素的值，绿的色素的值和蓝的色素的值都会被表示出来，从而达到组合出一种新的色彩的效果。
与其比较，另一種编码方式叫做RGB，它的色素的值则是由RGB红色、绿色和蓝色组合而成，但与全色数相比，它的可容纳的色彩编码远比不了全色数，所以可以说：全色数是它们之间色彩编码上的最大值。
换句话说，当你进行网页设计时，使用全色数将会是一个有效的选择。
因为它可以显示出更多有效的颜色，同时能够提供更丰富多彩的视觉体验。
2全色数有什么区别这里讨论的全色数之间有什么区别呢？首先是16进制的色彩值上的差异。
即便使用相同的色彩，但每个16进制色彩值也有可能不同。
比如可以用0xffffff表示白色，也可以用0xfffffe表示白色。
另外，全色数还可以用来统一标准化色彩。
这样做的目的是为了保证在多种应用场景下，色值都能够保持一致，不受影响。
比如在网页设计中，避免因为浏览器厂商解读色彩编码而导致的颜色表现不统一或受影响。
此外，使用全色数还可以把色彩更精确地表现出来。
在实际设计中，作为视觉层面的功能完善，色彩的表现是非常重要的。
例如在UI 设计中，能够准确运用色彩，就能够提升视觉上的价值，从而提升整体设计水准。
3结论总结而言，全色数比一般编码方式容纳的色彩更丰富，能够更精准地编码颜色以及表现出来，从而满足在多种场景下，色彩的更丰富表现。
可以说，全色数是网页设计以及视觉设计中非常重要的一部分，它能够在一些特定的场景实现更为精确的色彩表现。
完全二部图K_(11,n)(11≤n≤88)的点可区别E-全染色
第２１卷 第１期２０２２年 ３月 广州大学学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕａｎｇｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｖｏｌ．２１ Ｎｏ．１Ｍａｒ． ２０２２ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１１７６１０６４，６１１６３０３７） 作者简介：汉大玮（１９９７—），女，硕士研究生．Ｅ ｍａｉｌ：ｈａｎｄａｗｅｉ２０２０＠１６３．ｃｏｍ 通信作者．Ｅ ｍａｉｌ：ｃｈｅｎｘｅ＠ｎｗｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ 引文格式：汉大玮，陈祥恩．完全二部图Ｋ１１，ｎ（１１≤ｎ≤８８）的点可区别Ｅ 全染色［Ｊ］．广州大学学报（自然科学版），２０２２，２１（１）：１０ １７．文章编号：１６７１ ４２２９（２０２２）０１ ００１０ ０８完全二部图Ｋ１１，ｎ（１１≤ｎ≤８８）的点可区别Ｅ 全染色汉大玮，陈祥恩（西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州 ７３００７０）摘 要：设图Ｇ是简单图，如果给图Ｇ中相邻的２个顶点染有不同的颜色，并且让这２个顶点的每条关联边和关联边的端点染不相同颜色的一个全染色称为图Ｇ的一个全染色ｆ。
如果满足条件对 ｕ，ｖ∈Ｖ（Ｇ），ｕ≠ｖ，存在Ｃ（ｕ）≠Ｃ（ｖ），那么ｆ叫做图Ｇ的一个Ｅ 全染色，简称为ＶＤＥＴ染色。
文章利用反证法和分析法，讨论完全二部图Ｋ１１，ｎ（１１≤ｎ≤８８）的点可区别Ｅ 全染色问题，并利用构造染色法，给出完全二部图Ｋ１１，ｎ（１１≤ｎ≤８８）的最优点可区别Ｅ 全染色染色方案。
关键词：Ｅ 全染色；ＶＤＥＴ染色；ＶＤＥＴ染色色数；完全二部图中图分类号：Ｏ１５７．５ 文献标志码：ＡＶｅｒｔｅｘ ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｉｎｇＥ ｔｏｔａｌｃｏｌｏｒｉｎｇｏｆａｃｏｍｐｌｅｔｅｂｉｐａｒｔｉｔｅｄｉａｇｒａｍＫ１１，ｎ（１１≤ｎ≤８８）ＨＡＮＤａ ｗｅｉ，ＣＨＥＮＸｉａｎｇ ｅｎ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＮｏｒｔｈｗｅｓｔＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ７３００７０，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＬｅｔｕｓｓａｙＧｉｓａｓｉｍｐｌｅｇｒａｐｈ．ＴｈｅｃｏｌｏｒｉｎｇｆｏｆｄｉａｇｒａｍＧｉｓｃａｌｌｅｄａｎＥ ｔｏｔａｌｃｏｍｐｌｅｔｅｃｏｌｏｒｉｎｇｉｆｔｗｏａｄｊａｃｅｎｔｔｏｐｐｏｉｎｔｓｉｎｇｒａｐｈＧａｒｅｄｙｅｄｄｉｆｆｅｒｅｎｔｃｏｌｏｒｓ，ａｎｄｄｏｔｅａｃｈａｓｓｏｃｉａｔｅｄｅｄｇｅａｄｉｆｆｅｒｅｎｔｃｏｌｏｒｆｒｏｍｉｔｓｅｎｄ．ＦｏｒａｎＥ ｃｏｍｐｌｅｔｅｓｔａｉｎｃｏｌｏｒｉｎｇｏｆｇｒａｐｈＧ，ｉｆＣ（ｕ）≠Ｃ（ｖ）ｆｏｒａｎｙｔｗｏｄｉｆｆｅｒｅｎｔｖｅｒｔｉｃｅｓｕａｎｄｖｏｆＶ（Ｇ），ｗｅｓｈａｌｌａｂｂｒｅｖｉａｔｅｔｈｅ“ＶＤＥＴ”．Ｂｙｕｓｉｎｇａｎａｌｙｔｉｃａｌｍｅｔｈｏｄａｎｄｐｒｏｏｆｂｙｃｏｎｔｒａｄｉｃｔｉｏｎ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｄｉｓｃｕｓｓｅｓｔｈｅｖｅｒｔｅｘ ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｉｎｇＥ ｔｏｔａｌ（ＶＤＥＴ）ｃｏｌｏｒｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｏｆａｃｏｍｐｌｅｔｅｂｉｐａｒｔｉｔｅｇｒａｐｈＫ１１，ｎ（１１≤ｎ≤８８），ａｎｄｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓｔａｉｎｉｎｇｍｅｔｈｏｄｗａｓｕｓｅｄｔｏｇｉｖｅｔｈｅｂｅｓｔｓｔａｉｎｉｎｇｓｃｈｅｍｅｏｆｏｐｔｉｍａｌＶＤＥＴｃｏｌｏｒｉｎｇｏｆａｃｏｍｐｌｅｔｅｂｉｐａｒｔｉｔｅｇｒａｐｈＫ１１，ｎ（１１≤ｎ≤８８）．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｅ ｔｏｔａｌｃｏｌｏｒｉｎｇ；ｖｅｒｔｅｘ ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｉｎｇＥ ｔｏｔａｌｃｏｌｏｒｉｎｇ；ｔｈｅｖｅｒｔｅｘ ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｉｎｇＥ ｔｏｔａｌｃｏｌｏｒｉｎｇｎｕｍｂｅｒ；ｃｏｍｐｌｅｔｅｂｉｐａｒｔｉｔｅｇｒａｐｈ 在图论研究中，图的染色问题具有极其重要的研究意义和应用价值，二部图的一系列点可区别是否正常边染色、点染色以及一系列未必正常全染色等好多问题，图论的研究者仍然追求解决这一系列有趣的难题。
广义Mycielski图的邻强边色数和邻点可区别全色数的两个上界
广义Mycielski图的邻强边色数和邻点可区别全色数的两个上
界
广义Mycielski图的邻强边色数和邻点可区别全色数的两个上界
对简单图G,|V(G)|=p,n是自然数,Mn(G)被称为图G的广义Mycielski图,如果V(Mn(G))={v01,v02,…,v0p;v11,v12,…,v1p;…;vn1,vn2,…,vnp},E(Mn( G))=E(G)∪{vijv(i+1)k|v0jv0k∈E(G),1≤j,k≤p, i=0,1,…,n-1}.文中针对简单图G与它的广义Mycielski图之间的关系,给出了G的广义Mycielski图的邻强边色数和邻点可区别全色数的两个上界.
作者：李沐春强会英张忠辅LI Mu-chun QIANG Hui-ying ZHANG Zhong-fu 作者单位：兰州交通大学,数理与软件工程学院,甘肃,兰州,730070 刊名：大学数学PKU英文刊名：COLLEGE MATHEMATICS 年，卷(期)：2009 25(2) 分类号：O157.5 关键词：广义Mycielski图邻强边色数邻点可区别全色数。
图的D(2)-点可区别及点可区别正常边染色的开题报告
图的D（2）-点可区别及点可区别正常边染色的开题报告一、研究背景图论是现代数学中比较重要的一个分支，在计算机科学、通讯工程、电子工程中都有广泛的应用。
其中，对于图的着色问题一直是研究的焦点之一。
图的着色问题可分为点着色和边着色两种。
点着色问题要求不同颜色的点不能相邻，而边着色问题则是要求同色边不能相邻。
D（2）-点可区别及点可区别正常边染色的研究源于对“无色二维（棋盘）图杂交”问题的探索，以及对棋盘生成函数的研究。
在传统的棋盘着色问题中，每个格子只能涂一种颜色，且相邻的格子颜色不能相同。
然而，在一些特殊情况下，我们允许某个颜色出现在多个格子上，只要它们不在同一行或同一列。
这就是D（2）-点可区别正常边着色的问题。
二、研究内容本篇开题报告的研究内容主要包括D（2）-点可区别及点可区别正常边着色的基本概念、性质、算法和应用。
1. D（2）-点可区别及点可区别正常边着色的基本概念对于D（2）-点可区别的棋盘，我们允许同一颜色在不同格子出现，只要它们不在同一行或同一列。
这些颜色被视为不同的颜色，从而使得颜色个数不再是4个（黑、白、红、蓝），而是更多。
对于点可区别正常边着色问题，我们要在保持边连续的情况下，着色使相邻的边不同。
其中“正常”的含义指的是不考虑图的自同构。
点可区别的含义是可以以其邻居的颜色来区分一个节点。
2. D（2）-点可区别及点可区别正常边着色的性质D（2）-点可区别和点可区别正常边的着色问题具有许多特殊性质。
例如，对于一个n ×n的棋盘，它的D（2）-点可区别数为D225（即莫比乌斯反演的D函数值，满足D(n,n)=D(n)=∑_d|nμ(d)2^(n/d)）。
而对于点可区别正常边着色问题，对于所有的正则图都存在一个唯一的最小边着色方案。
3. D（2）-点可区别及点可区别正常边着色问题的算法针对D（2）-点可区别及点可区别正常边着色问题，需要设计有效的算法来求解。
其中，NP难度的问题通常采用近似算法或启发式算法来解决。
两类冠图的邻和可区别全染色
两类冠图的邻和可区别全染色杨笑蕊; 强会英; 李雨虹【期刊名称】《《兰州交通大学学报》》【年(卷),期】2019(038)005【总页数】4页(P114-117)【关键词】冠图; 邻和可区别全染色; 邻和可区别全色数【作者】杨笑蕊; 强会英; 李雨虹【作者单位】兰州交通大学数理学院兰州 730070【正文语种】中文【中图分类】O157.5图染色问题是图论研究中的一个重要问题,它涵盖内容丰富,主要包括边染色、点染色和全染色等.自张忠辅教授提出图的邻点可区别边染色,邻点可区别全染色以及点可区别全染色等概念之后,越来越多的学者对图的可区别染色产生了浓厚的兴趣,并展开了深入研究[1-5].2013年,Flandrin等[6]首次提出了图的邻和可区别染色的概念,并给出了邻和可区别边染色的定义.随后,Monika等在文献[7]中给出了邻和可区别全染色的定义,有关邻和可区别全染色的相关研究,可参考文献[8-10].邻和可区别染色是在邻点可区别染色的基础上要求相邻点的颜色求和不同,目前对于邻和可区别全染色的研究结论还相对较少.本文研究了两类冠图Cm∘Pn和Cm∘Cn的邻和可区别全染色方法,得到了它们的邻和可区别全色数,对研究其它图类的邻和可区别全色数具有重要意义.下文中记号V(G),E(G),Δ(G)分别表示简单图G的顶点集,边集和最大度,[k]={1,2,…,k}表示k种颜色的集合.1 预备知识定义1.1[11] 给定图G的一个k全染色φ:V(G)∪E(G)→[k],且∀x∈V(G),用Cφ(x)表示点x以及与点x关联的所有边的颜色集合,若φ满足:∀u v∈E(G),Cφ(u)≠Cφ(v),则φ为G的一个邻点可区别全染色.简记为:k-AVDTC.k的最小值称为图G的邻点可区别全色数,记作:χat(G).定义1.2[7] 设Ψ是图G的一个k-全染色,且∀x∈V(G),令c(x)是CΨ(x)中所有元素之和,若Ψ满足:∀uv∈E(G),有c(u)≠c(v),则称G存在一个k-邻和可区别全染色Ψ,简记为:k-NSDTC.k的最小值称为图G的邻和可区别全色数,记作:定义1.3 简单图G和H的冠图G∘H是指复制1个G和|V(G)|个H,将G中第i个点和第i个H中的每个点相连接得到的图,其中1≤i≤|V(G)|.显然,任意一个简单图的邻和可区别全色数一定存在,因此有以下引理成立:引理1.1[7] 若简单图G有两个相邻的最大度顶点,则2 论证结论定理2.1 若Cm是m(m≥3)阶的圈,Pn是n(n≥3)阶的路,则有证明设冠图Cm∘Pn的顶点集为V(Cm∘Pn)={ui|1≤i≤m}∪{vij|1≤i≤m,1≤j≤n},边集为E(Cm∘Pn)={uiui+1|1≤i≤m-1}∪{u1um}∪{uivij|1≤i≤m,1≤j≤n}∪{vijvi,j+1|1≤i≤m,1≤j≤n-1}.由图Cm∘Pn的结构知,圈Cm的m个顶点均为Cm∘Pn中的最大度点,且Δ(Cm∘Pn)=n+2,故由引理1.1可知:(1)为证结论成立,构造的Cm∘Pn的一个(n+4)-全着色φ分情况如下:情形1 当m≡0(mod2)时,令φ为:1≤i≤m,1≤j≤n-1;φ(umu1)=n+4,1≤i≤m-1.φ(uivij)=j,1≤i≤m,1≤j≤n;φ(vijvi,j+1)=j+3,1≤i≤m,1≤j≤n-1.此时,各点的色集合为Cφ(ui)=Cφ(vi1)={1,2,4},1≤i≤m;Cφ(vij)={j,j+1,j+2,j+3};Cφ(vin)={1,n,n+2},1≤i≤m,2≤j≤n-1;那么各点色集合中的所有元素之和为:c(vij)=4 j+6,2≤j≤n-1,c(vi1)=7,c(vin)=2n+3,1≤i≤m.显然,在圈Cm中,任意的ui与其邻点uj(j≠i)和可区别;在路Pn中,任意的vij(2≤j≤n-2)与其邻点vi,j+1也是和可区别的.此外,由2≤j≤n-1可得:14≤c(vij)≤4n+2,则c(vi2)=14,c(vi,n-1)=4n+2.故vi1和vi2,vin和vi,n-1也是和可区别的.又已知n≥3,因此将点ui与其邻点色集合的所有元素之和做差取绝对值可得:1≤i≤m,2≤j≤n-1.因此点ui与其邻点是和可区别的,同理可得其余所有点也是邻和可区别的.情形2 当m≡1(mod2)时,只需对情形1中的染法进行以下修正:φ(um)=n+3,φ(umu1)=n+2,φ(umvmn)=n+1,其余元素x均按情形1中染法着色即可.那么,仅u1、um、vmn三个点的色集合发生变化,其余各点色集合保持不变.而点u1、um、vmn的色集合分别为:Cφ(u1)={1,2,…,n+1,n+2,n+3};Cφ(um)={1,2,…,n-1,n+1,n+2,n+3,n+4};Cφ(vmn)={1,n+1,n+2}.那么点u1、um、vmn的色集合中的所有元素之和为:因此分别将点u1、um、vmn与其邻点色集合的所有元素之和做差取绝对值可得: |c(u1)-c(u2)|=3,|c(u1)-c(um)|=|c(vmn)-c(vm,n-1)|=2n-2>0,2≤j≤n-1(n≥3).因此,点u1、um和vmn与其邻点和可区别.又因其余点的色集合均保持不变,故冠图Cm∘Pn是邻和可区别的,定理得证.定理2.2 若Cm是m(m≥3)阶的圈,Cn是n(n≥3)阶的圈,则有证明由冠图的结构可知图Cm∘Cn是通过连接图Cm∘Pn的点vi1、vin(1≤i≤m)得到的,故只需确定vi1vin(1≤i≤m)的颜色即可.而对vi1vin进行着色后,只有c(vi1)与cin(1≤i≤m)发生改变,同时,由引理1.1可知:因此,构造Cm∘Cn的一个(n+4)-全着色Ψ如下:情形1 当m≡0(mod2)时,情形1.1 当n=4时,令Ψ(vi1vin)=n+4(1≤i≤m),其余元素x均令Ψ(x)=φ(x)(φ(x)为定理2.1中的染色方法),则有:⟹将点vi1和vin分别与其邻点色集合的所有元素之和做差取绝对值可得:|c(vi2)-c(vi1)|=|c(vi,n-1)-c(vin)|=1>0;|c(vin)-c(vi1)|=|c(vi1)-c(vin)|=4>0;1≤i≤m.因此,点vi1和vin与其邻点和可区别,又已知其余点的色集合与定理2.1的情形1中相同,故冠图Cm∘Cn是邻和可区别的.情形1.2 当n≠4时,令Ψ(vi1vin)=n+3(1≤i≤m),其余元素x均令Ψ(x)=φ(x)(φ(x)同上),则有:⟹将点vi1和vin分别与其邻点色集合的所有元素之和做差取绝对值可得:|c(vi2)-c(vi1)|=|c(vi,n-1)-c(vin)|=|n-4|>0;|c(vin)-c(vi1)|=|c(vi1)-c(vin)|=|2n-4|>0;1≤i≤m.因此,点vi1和vin与其邻点和可区别,而其余点与其邻点也是和可区别的,故冠图Cm∘Cn是邻和可区别的.情形2 当m≡1(mod2)时,分如下两种情况讨论:情形2.1 当n=4或7时,令Ψ(vi1vin)=n+4(1≤i≤m),其余元素x均令Ψ(x)=φ(x)(φ(x)同上),则有:将点vi1和vin分别与其邻点色集合的所有元素之和做差取绝对值可得:2≤i≤m-1.|c(vi1)-c(vi2)|=n-3>0;|c(vin)-c(vi,n-1)|=|n-5|>0;|c(vi1)-c(vin)|=|c(vin)-c(vi1)|=2n-4>0;|c(vm1)-c(vm2)|=n-3>0;|c(vmn)-c(vm,n-1)|=|n-6|>0;|c(vm1)-c(vmn)|=|c(vmn)-c(vm1)|=2n-3>0;1≤i≤m-1.易见,在此染法下,各个点均是邻和可区别的.情形2.2 当n≠4且n≠7时,令Ψ(vi1vin)=n+3(1≤i≤m-1),Ψ(vm1vmn)=n,其余元素x均令Ψ(x)=φ(x)(φ(x)同上),则有:2≤i≤m-1.|c(vi1)-c(vi2)|=|c(vin)-c(vi,n-1)|=|n-4|>0;|c(vi1)-c(vin)|=|c(vin)-c(vi1)|=2n-4>0;|c(vm1)-c(vm2)|=|n-7|>0;|c(vmn)-c(vm,n-1)|=n-2>0;|c(vm1)-c(vmn)|=|c(vmn)-c(vm1)|=2n-3>0;1≤i≤m-1.综上所述,冠图Cm∘Cn是邻和可区别的,定理得证.【相关文献】[1] 强会英.奇阶完全图若干子图的点可区别全染色[J].兰州交通大学学报,2011,30(6):154-156.[2] 顾忠栋,强会英.路的平方及立方的邻点强可区别E-全染色[J].兰州交通大学学报,2016,35(6):126-130.[3] 景金强,李沐春.若干冠图的Smarandachely邻点V-全染色[J].兰州交通大学学报,2016,35(1):147-150.[4] 胡志涛,王治文,陈祥恩.完全二部图K4,n的点强可区别全染色[J].西南大学学报(自然科学版),2013,35(3):64-68.[5] ZHANG Z F,CHENG H,YAO B,et al.On the adjacent-vertex-strongly-distinguishing total coloring of graphs[J].Science in China,2008,51(3):427-436.[6] FLANDRIN E,MARCZYK A,PRZYBYLO J,et al.Neighbor sum distinguishingindex[J].Graphs and Combininatorics,2013,29:1329- 1336.[7] M, M.On the total-neighbor-distinguishing index by sums[J].Graphs & combinatorics,2015,31(3):771-782.[8] LI H,DING L,LIU B,et al.Neighbor sum distinguishing total colorings of planargraphs[J].Journal of Combinatorial Optimization,2015,30(3):675-688.[9] 姚京京,徐常青.最大度为3或4的图的邻和可区别全染色[J].山东大学学报(理学版),2015,50(2):9-13.[10] CHENG X,HUANG D,WANG G,et al.Neighbor sum distinguishing total colorings ofplanar graphs with maximum degree[J].Discrete Applied Mathematics,2015,190-191(C):34-41.[11] 张忠辅,陈祥恩,李敬文,等.关于图的邻点可区别全染色[J].中国科学,2004,34(5):574-583.。
D(β)-点可区别I-全染色的上界研究
１ 基 本 概 念
定 义 ］ Ｇ（ Ｖ， Ｅ）是 阶至少 为 ３的连通 图 ， 、 是正 整数 ， 厂 是 从 Ｅ（ Ｇ）到 ｛ １ ， ２ ， …， ）的一 个 映射 。
．
对 Ｖ ∈ Ｅ（ Ｇ ） ， 称． 厂 （ ｅ ） 为边 ｅ 的颜 色 。 对任 意 Ｖ Ｓ ｔ ： ∈ Ｖ（ Ｇ） ， 令ｓ （ ｚ ） 表示 与 ｚ关联 的边 的颜 色所 构成 的集
相 同的颜 色 。
如果 图 Ｇ的全染 色 只满 足条 件 （ ｅ ） ， 这样 的全 染 色称为 图 Ｇ的 ＶＩ 一 全染色； 如 果 图 Ｇ的全染 色满 足条件
率 方法得到 了较好结果 ： 若 图 Ｇ没有孤立 边 ， 最大度 △＞ １ Ｏ 加， 则邻点可 区别 的边 色数 。 （ Ｇ ） ≤ Ａ＋３ ０ ０ Ｃ ¨ ］ 。 下 面 ，笔 者用 概率 方法 得 到 了邻 点 可 区别 Ｉ 一 全 色 数 的一 个 较 小上 界 ，并 研 究 了若 干 Ｃ ａ ｒ ｔ ｅ ｓ ｉ ａ ｎ积 图 的
合， 称 为点 Ｘ的色集 合 。 若 ，是 图 Ｇ 的正 常 边染 色 ，且 当 、 ∈ Ｖ（ Ｇ） ， ０＜ ｄ （ ｕ ， ）≤ 口时 ，有 Ｓ（ “ ）≠
５ （ ） ，则称 厂是 图 Ｇ 的 口一 Ｄ（ １ ｆ ） 一 点 可 区别 正常边 染 色 （ 简记 为 —Ｄ（ １ ｆ ） 一Ｖ ＤＰ ＥＣ） 。 ７ （ Ｇ）一 ｍｉ ｎ ｛ ａ Ｉ Ｇ有 ａ— Ｄ（ １ ｆ ） 一Ｖ ＤＰ ＥＣ） 称 为 图 Ｇ 的 Ｄ（ ） 一 点 可 区别 正 常边 色数 。
［ 关键词 ］Ｄ （ 一 点可区别 Ｉ ＿ 全染色 ；Ｄ （ ）一 点可 区别 Ｉ － 全色数 ；上界 ［ 中图分 类号］Ｏ １ ５ ７ ． ５ ［ 文献标 志码］Ａ ［ 文章编号］１ ６ ７ ３ —１ ４ ０ ９《 ２ ０ １ ３ ）２ ２ —０ ０ ０ １ — ０ ５
图的D(2)-点可区别边色数的一个上界
图的D(2)-点可区别边色数的一个上界
王树勋;田京京
【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2008(044)003
【摘要】用图的概率方法中的赋权局部引理得到最大度不小于5的图的D(2)-点可区别边色数的一个上界是4(2d4-d3-4d2+5d-1)/d-1,这里d是图G的最大度.【总页数】3页(P24-26)
【作者】王树勋;田京京
【作者单位】陕西理工学院数学系,陕西汉中,723001;陕西理工学院数学系,陕西汉中,723001
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
【相关文献】
1.图的距离不大于2的点可区别的边色数的一个新的上界 [J], 刘德刚
2.图的点可区别星边色数的一个上界 [J], 刘信生;路伟华
3.图的点可区别无圈边色数的一个上界 [J], 刘信生;魏自盈
4.图的点可区别边色数的一个上界 [J], 崔俊峰
5.最大度为6的图G的邻点可区别边色数的一个上界 [J], 吴燕青
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Euler图C_m⊙C_n的niche数
Euler图C_m⊙C_n的niche数
唐廷载
【期刊名称】《西安电子科技大学学报》
【年(卷),期】1996(000)0S1
【摘要】研究了图C_m⊙C_n 的 niche 数,证明所有 Euler 图C_m⊙C_n 的niche 数n(C_m⊙C_n)都不超过1,且当(m,n)不属于
{(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,8),(5,9)}时,C_m⊙C_n 都是 niche 图.
【总页数】8页(P23-30)
【作者】唐廷载
【作者单位】四川师范学院数学系南充 637002
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
【相关文献】
1.图P_m×P_n,P_m×C_n和C_m×C_n的邻点可区别全色数的注记(英文) [J], 陈祥恩;张忠辅;孙宜蓉
2.笛卡尔积图T_n×C_m的交叉数 [J], 柯小玲
3.笛卡尔乘积图C_m×C_n的符号边domatic数 [J], 董启启;陈忠;李向军;谭来军
4.笛卡尔乘积图K_2×C_n及C_3×C_n的符号边domatic数 [J], 李金强;朱智博;成纯波;姚萍萍;李向军
5.一个特殊5-阶图与圈C_n的联图的交叉数 [J], 岳为君;黄元秋;赵霆雷;唐玲因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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Ａ Ｎ ｉ ｇ ｑ ａ ｇ， Ｍ ＥＮ Ｇ ｉ ｎ — ｏ Ｍ ｎ — ｉｎ Ｘ ａ ｇｂ
（ ｏｌ ｅ ｆ ｃ ｎ ｅＴａｊ ｎｖ ｒｉ ｆ ｃｅｃ ＆ Ｔｃ ｎ ｌｇ ，ｉｎｉ ０ ４ ７Ｃ ｉａ Ｃ ｌ ｇ ｉ ｃ ，ｉｎｉ Ｕ ｉｅｓｙｏ ｉｎｅ ｅ ｏＳ ｅ ｎ ｔ Ｓ ｅｈ ｏｏ ｙＴａｊ ３ ０ ５ ，ｈｎ ） ｎ
受 文 献 ［ ］ ６ ７ 的启 发 ， 鉴 文 献 ［】 概 率 方 法 改 进 图 借 ８用
的星色 数上 界 的经 验 ， 针对 点表示 Ｇ的 ｋ度顶 点 个 ｄｃ图 ／（ ） ７
ｌ， 、 ｒ ，
别 全染 色 ， 试应 用 概 率 方 法 ， 别 得 到 了其 色数 的 尝 分
收稿 日期 ：２ １ － ７ ２ ；修 回 日期 ：２ １一 — ６ ０ ０ ０— ０ ００ ｌ ２ １
基 金项 目 ：天 津 科 技 大 学 科 学 研 究 基 金 资 助 项 目 （０ ９ ２ ２ ２００２） 作者 简 介 ：安 明 强 （ ９２ ），男 ，甘 肃 灭 水 人 ，讲 师 ，ａｍｑ ｕ ｔｄ ． １８ 一 ｎ ＠ｔｓｅｕｃ ． ｎ
本 文 所 考 虑 的 均 为连 通 的 、 限 的 、 向的 简 有 兀
ｋ是 正整 数 ， 厂是 从 Ｖ Ｇ ＵＥ Ｇ 到 ｛ ２…，｝ 若 （ ） （ ） １ ， ｋ 的一 ，
单 冈． 文献 ［— ］ 罔 的点 可 区别 边 染 色 （ １ ３对 或称 强 边 染 色） 问题 进 行 讨 论 ， 到 了 许多 重 要 的结 果 ． 忠 辅 得 张 等 Ｉ 研究 图 的点 可 区 别 全染 色 ， 到 了某 些 特 殊 图 ４ Ｉ 得 的具 体 的点 可 区别 全 色数 ． 年来 ， 概 率 方 法 来研 近 用
，
） ．
，
事 １ ∑ ｒｉ≤ ｒ Ｊ 实１ 一 ＰＡＩＰ ｎ ． Ｊ （） ＼ Ｊ
ｉ１ ＝ ＼ ｉ１ ＝ ／
因为 ， （ ） （ ＝
）÷ 通过 ＝ ， 期望的 线性性
＝
／ ‘ ‘
Ｍａ ｋ ｖ 不 等 式 Ｉ 对 任 意 的正 随 机 变量 ， ｒｏ ９ ］ 有
Ｖｕ ∈ （ “≠ｖ Ｃ（ ） ， Ｇ）（ ）， “ ≠Ｃ（）， ｖ
（） Ｉ 对每两 条相邻 的边 Ｐ ｇ 令 ，，
如 ’
＝
一样
其中 Ｃｕ＝厂 ｝ ｛（ ）Ｅ ６， Ｅ ６｝ 贝 厂 （ ｛（ Ｕｆｕ ｌ （）Ｖ （）， ） ） ｖｖ Ｕ
称 为 Ｇ的一 个 ｋ 点 可 区别 全染 色 ， 一 简记 为 ｋ Ｖ Ｔ — Ｄ Ｃ．
ｌ ｌ 、 ／ ｔ
』 果和 ｃ） （ ｝ ｌ ”满足 （＝Ｖ ，如 “ｃ）
０ ， 否则
ｍ｛ ＋≥（ ｄＡ则 ｉ １ Ｇ ≤≤｝ 有 ｎ ） ｆ ｊ ， 《 ’
猜 想 ２５ 对 简单 图 Ｇ， （） ， （） 【 】 Ｉ ＧＩ 有 Ｇ ≤ ≥２
（ ≤ ｋ （ ＋１ Ｇ） ｒＧ） ．
ｍｅｈ ｄ ｔ ｔ ｏ ．Ｉ ｗａ ａｓ ｒ ｖ ｄ ｔ ａ ｖ ｒ ｒ ｐ ｗｉ ， ≥ ３ ｖ ｒｉｅ ａ ｄ ｓ ｌｏ ｐ ｏ ｅ ｈ ｔ ｅ ｅ ｇ ａ ｈ ｙ ｔ ｚ ｈ ｅｔｃ ｓ ｎ ｗｉ ｍａ ｉ ｍ ｄ ｇ ｅ Ａ ≥ １ ｈ ｓ ｅ ｔ ｘ ｔ ｈ ｘ ｍｕ ｅ ｒｅ ａ ａ ｖ ｒ ｅ
定义 ２ Ｊ 设 Ｇ是 阶数至少 是 ２ 的简单连通 图 ， ｌ ４ 后是 正 整 数 ， － 若 厂是从 ＶＧ） （ 到 ｛ ２…，｝ （ ＵＥ Ｇ） １ ， ｋ 的一 ， 个映射 ， 使得
Ｖ ｖ （ ）厂“ ≠＿ ｖ ｆ “ ≠． “） 厂Ｖ ； ｕ ｅＥ Ｇ ， （） 厂 ）， （） 厂 １≠ｈ ） ＿ （ （， （ Ｖ ｖＵ Ｅ （ ） ≠Ｗ ， （ｖ≠．（ ） ｕ ，ｗ Ｇ （ ｖ ） ｆ ｕ） ｆｕ ； ｗ
已 成 为 目前 困 际 上 比 较 热 门 的研 究 领 域 之 一 ．
Ｈａａ ［用 概 率 方 法 研 究 并 确 定 了 图 的邻 点 可 区别 ｔｍｉ ６ 边 色数 的 卜 为 △＋ ０ 刘信 生 等 用 概 率方 法 研 究 界 ３ ０． ｊ 并 确 定 了邻 点 可 区别 的 无 圈 边 色 数 的上 界 为 ３ Ａ． ２
上 界．
数． Ｊ ）ｍ ｛， 『 Ｇ，≤ｋ ｝ （） 令／Ｇ＝ ｉｌ：≥ ） ≤△， Ｇ称为 （ ｎ［ （ ｆ ｌ ｃ
图 Ｇ的组合 度 ， 然 、 ） （ ） 显 Ｇ ≥Ｈ Ｇ ． 猜 想 ｊ 设 Ｇ是 ｖｅ 图 ， （ ） 图 Ｇ的组 合 ｄｃ Ｇ 为
定义 １１ 设 Ｇ是 阶数 至少 是 ２的简 单连 通 图 ， 【 Ｊ
Ｔｗｏ Ｕｐｐｅ ｕｎ ｏ ｈｅＶｅ ｔｘ— ｓｉ ｕｉｈｉ — ｒＢｏ ｄｓｆ ｒｔ ｒ ｅ Ｄｉｔｎｇ ｓ ｎｇ Ｅｄｇ ｅＣｈｒ ｍ ａ ｉ ｏ ｔｃ Ｎｕｍ ｂｅ ｓａ ｒｅ Ｄｉｔｎｇ ｓ ｉ — ｔ ｌＣｈｒ ｍ ａ ｉ ｕ ｂｅ ｓ ｒ ｎｄ Ｖｅ ｔｘ— ｓｉ ｕｉｈ ｎｇ Ｔｏ ａ ｏ ｔｃＮ ｍ ｒ
该 引 理 多 用 于 是 正 整 数 值 且 Ｅ ） ， 有 （ ＜１ 则
尸， ＝０＞０ ． （ ） ．
不 等 式 ：Ｐ （ ｒＸ￣Ｏ ≤Ｅ Ｘ）， 以 只 需 证 Ｅ Ｘ） ） （ 所 （ ＋
（ ） 即可 ． ｙ＜１
由概 率论知识 可 知
厂 、 厂 ｔ ／ 、
首先 ， 计算
区 别 的 边 色数 ， ≤ ｎ （ 一１ ， ｎ≥ ３， （ Ｇ） Ａ ｎ ） 当 △≥ １ ， 点 可 区 别 的 全 色数 ｚ Ｇ） ２ Ａ ｎ ） 时 其 ， ≤ ｎ （ 一１ ． （ 关 键 词 ：边 染 色 ； 令染 色 ；点 可 Ｉ 边 色 数 ；点 可 区别 全 色数 ；慨 率 方 法 别 中 图分 类 号 ：Ｏ１７５ ５． 文 献 标 志 码 ：Ａ 文章 编 号 ：ｌ ７—５ ０ ２ １） １０ ７ —４ ６ ２６ １ （０ １０ —０ ５０
｛ ＝０ ， ，＝０ 且 ＝｛ ｝ Ａ ＝｛ ， ｝， ＞０ ＝ ｛＞０ ） ）， ｙ ｝， 即只需 证 尸 （ ｒ ＞０ ＋Ｐ （＞Ｏ＜Ｉ ） ｒＹ ） 即可 ． 又根 据 Ｍａｋ ｖ ｒｏ
引理 １］ （ 一矩量原理 ） 【 ９ 第 如果 Ｅ Ｘ） ， （ ≤ｔ 则
（ ≤ ，＞０ ） ．
・
７ ・ ６
天津科 技大 学学报 第 ２ 卷 第 １ ６ 期 （ 正常 ） 边染 色 ， 须使 以下两 点成立 ： 必 （） 常边染 色 ， １正
（） 意两个点 点可 区别 ． ２任 为此 ， 义如 下指标 变量 ： 定
度 ， ＸＡＧ ： Ｇ ， 则 ｖ ） （ ） 或者 （ ） （ ＋１ ＇ Ｇ ＝ Ｇ） ．
并令 ＝ ∑ ，， 注意到 即是不满足正常
边染 色 的相邻边 对 的数量 ． （ ） 在两个 点 “ ｖ 令 Ｉ存 Ｉ ，，
ｙ ：
称ｍｎ ｌ ｋ Ｖ Ｔ ｝ ｉｋ ￣ — Ｄ Ｃ 为Ｇ的点可区别全色数， ｛ａ 记
为 （ ． Ｇ）
令 ｎ（ ） 示 Ｇ 的 ｄ度 顶 点 的 个 数 ， ｋ（ ） ａＧ 表 令 ＴＧ ＝
究 图 的染 色 问题 ， 到 了 国 内外学 术 界 的普 遍 关 注 ， 受
个 映 射 ， 得 Ｖ ｖ，Ａ Ｅ （ （≠ｗ ，厂“） （ｗ 使 ｕ Ｉ Ｇ） Ｗ ） ｌ ｖ≠ｆ ｕ ）； （
Ｖ ｖ （ ） ｖ ， （） Ｃ ｖ ， ． ∈ＶＧ （ ≠ ） Ｃｕ ≠ （ 其中 Ｃｕ＝ 厂 ｖ ） （ ｔ（ ） ） Ｉ
ｅ ｇ ｏｏ ｉｇ ｗｉ ｔｍｏ ｔ Ａ（ ｄ ｅｃ ｌｒ ｔ ａ ｓ ｎ ｎ一１ ｃ ｌｒ ｙ ｕ ｉｇ ｔｅ ｆ ｓ ｍｅ ｔｐ ｉｃｐｅａ ｄ Ｍａｋ ｖＳｉｅ ｕ ｌｙ ｏ ｒ ｂ ｂｌ ｔｃ ｎ ｈ ） ｏｏｓｂ ｓｎ ｈ ｉ ｔｍｏ ｎ ｒｎ ｉｌ ｎ ｒ ｏ ’ ｎ ｑ ａｉ ｆｐ ｏ ａ ｉｓｉ ｒ ｔ ｉ
１ （ ） Ｖ （ ） ， ｆ称 为 Ｇ的一 个 ｋ一 可 区别 ， Ｇ， ＠ Ｇ｝ 则 ∈ Ｈ 点
边染色 ， 简记为 ｋ Ｖ Ｅ 称 ｍｎｋＧ — Ｄ Ｃ． ｉ｛ｌ存在 Ｖ Ｅ ｝ 一 Ｄ Ｃ
为 Ｇ 的 点 可 区别 边 色 数 （ 称 为 强 边 色 数 ） 记 为 或 ， （ ）（ Ｇ 或 （ ） ． Ｇ） 显 然 ， 个 图 Ｇ具有 点 可 区别 的边染 色 当且仅 当 一 图 Ｇ是没 有 孤 立边 ， 最 多 有一 个 孤立 点 的 图． 样 且 这 的 图称 为 ｖ ｅ 图． ｄｃ
ｄ ｓｉｇ ｉ ｉｇｔｔｌ ｏｏ ｉｇｗｉ ｔ ｓ ２ Ａ（ ｉｔ ｕｓ ｎ ａ ｌｒ ｔ ａ ｔ ｎ ｎ一１ ｃ ｌｒ． ｎ ｈ ｏ ｃ ｎ ｈ ｍｏ ） ｏｏ ｓ
Ｋｅ ｙｗｏｒ ｄｓ： ｅ ｅ ｏｌ ｉ ｄｇ ｃ ｏｒｎｇ； ｔ ｔ ｌ ｏｌ ｉ ｏ ａ ｃ ｏｒｎｇ； ｖｅ ｅ ｄ ｓｉ ｕｉｈ ｎ ｅ ｇｅ ｈ ｏｍ ａｉ ｎ ｔ ｒ ｘ ｉｔｎｇ ｓ ｉ ｇ ｄ ｃ ｒ ｔｃ ｕｍｂｅ ｒ； ｖ ｒｅ ｄｉｔｎ ｉｈｉ ｔ ｔ ｌ ｅ ｘ ｔ ｓｉ ｇｕ ｓ ｎｇ ｏ ａ ｃ ｏ ａ ｉ ｕｍ ｂ ｒ ｐｒ ｂａ ｌｓｉ ｅｈｏ ｈｒ ｍ ｔｃｎ ｅ； ｏ ｂｉｉｔｃｍ ｔ ｄ
２ ｄ（ ｎ ｎ—ｎ ２
１
确 定一 般 图的点可 区别 边 （ ） 数 的上 界 ， 全 色 对于 特殊 图的点 可 区别 边 （ 色 数 的确 定 ， 全） 具有 非常 重要
并令Ｙ ∑ ＝
， 注意到Ｙ即是不满足任意两
点点可 区别 的点 对 的数量 ． 现 只要证 （ ＝０ 且Ｙ：０＞０， 根据事 实 １ ） 又 可得 Ｐ （ ＝Ｏ ， ０ ≥１ ［ Ｊ Ｊ 且）＝ ） 一 Ｐ （ ） 一， ｏ ＞０（ ４ ＝ ＞０＋ （＝ ） 】＞ 】 令