点可区别边色数和点可区别全色数的两个上界
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Ａｂｓ ｒ ｃ ｔ ａ ｔ： Ｉ ｗａｓｐｒ ｖｅ ｈａ ｖｅ ｙ ｇ ａ ｔ ｔ ｏ ｄ ｔ ｔｅ ｒ ｒ ｐｈ ｗｉｈ ｖｅ ｉｅ ｎｄ ｗ ｉｈ ｍ ａ ｍ ｕｍ ｇ ｅ Ａ ≥ ２ ｈａ ｅ ｔ ｘ ｄ ｓｉｇｕｉｈｎｇ ｔ ｒ ｃ ｓ ａ ｔ ｘｉ ｄｅ ｒ ｅ ｓ ａ ｖ ｒｅ ｉｔｎ ｓｉ
ｄ ｓｉｇ ｉ ｉｇｔｔｌ ｏｏ ｉｇｗｉ ｔ ｓ ２ Ａ（ ｉｔ ｕｓ ｎ ａ ｌｒ ｔ ａ ｔ ｎ ｎ一１ ｃ ｌｒ． ｎ ｈ ｏ ｃ ｎ ｈ ｍｏ ） ｏｏ ｓ
Ｋｅ ｙｗｏｒ ｄｓ： ｅ ｅ ｏｌ ｉ ｄｇ ｃ ｏｒｎｇ； ｔ ｔ ｌ ｏｌ ｉ ｏ ａ ｃ ｏｒｎｇ； ｖｅ ｅ ｄ ｓｉ ｕｉｈ ｎ ｅ ｇｅ ｈ ｏｍ ａｉ ｎ ｔ ｒ ｘ ｉｔｎｇ ｓ ｉ ｇ ｄ ｃ ｒ ｔｃ ｕｍｂｅ ｒ； ｖ ｒｅ ｄｉｔｎ ｉｈｉ ｔ ｔ ｌ ｅ ｘ ｔ ｓｉ ｇｕ ｓ ｎｇ ｏ ａ ｃ ｏ ａ ｉ ｕｍ ｂ ｒ ｐｒ ｂａ ｌｓｉ ｅｈｏ ｈｒ ｍ ｔｃｎ ｅ； ｏ ｂｉｉｔｃｍ ｔ ｄ
｛ ＝０ ， ，＝０ 且 ＝｛ ｝ Ａ ＝｛ ， ｝， ＞０ ＝ ｛＞０ ） ）， ｙ ｝， 即只需 证 尸 （ ｒ ＞０ ＋Ｐ （＞Ｏ＜Ｉ ） ｒＹ ） 即可 ． 又根 据 Ｍａｋ ｖ ｒｏ
wenku.baidu.com
引理 １］ （ 一矩量原理 ） 【 ９ 第 如果 Ｅ Ｘ） ， （ ≤ｔ 则
（ ≤ ，＞０ ） ．
并令 ＝ ∑ ，， 注意到 即是不满足正常
边染 色 的相邻边 对 的数量 ． （ ） 在两个 点 “ ｖ 令 Ｉ存 Ｉ ，，
ｙ ：
称ｍｎ ｌ ｋ Ｖ Ｔ ｝ ｉｋ ￣ — Ｄ Ｃ 为Ｇ的点可区别全色数， ｛ａ 记
为 （ ． Ｇ）
令 ｎ（ ） 示 Ｇ 的 ｄ度 顶 点 的 个 数 ， ｋ（ ） ａＧ 表 令 ＴＧ ＝
，
） ．
，
事 １ ∑ ｒｉ≤ ｒ Ｊ 实１ 一 ＰＡＩＰ ｎ ． Ｊ （） ＼ Ｊ
ｉ１ ＝ ＼ ｉ１ ＝ ／
因为 ， （ ） （ ＝
）÷ 通过 ＝ ， 期望的 线性性
＝
／ ‘ ‘
Ｍａ ｋ ｖ 不 等 式 Ｉ 对 任 意 的正 随 机 变量 ， ｒｏ ９ ］ 有
Ｔｗｏ Ｕｐｐｅ ｕｎ ｏ ｈｅＶｅ ｔｘ— ｓｉ ｕｉｈｉ — ｒＢｏ ｄｓｆ ｒｔ ｒ ｅ Ｄｉｔｎｇ ｓ ｎｇ Ｅｄｇ ｅＣｈｒ ｍ ａ ｉ ｏ ｔｃ Ｎｕｍ ｂｅ ｓａ ｒｅ Ｄｉｔｎｇ ｓ ｉ — ｔ ｌＣｈｒ ｍ ａ ｉ ｕ ｂｅ ｓ ｒ ｎｄ Ｖｅ ｔｘ— ｓｉ ｕｉｈ ｎｇ Ｔｏ ａ ｏ ｔｃＮ ｍ ｒ
并令Ｙ ∑ ＝
， 注意到Ｙ即是不满足任意两
点点可 区别 的点 对 的数量 ． 现 只要证 （ ＝０ 且Ｙ：０＞０， 根据事 实 １ ） 又 可得 Ｐ （ ＝Ｏ ， ０ ≥１ ［ Ｊ Ｊ 且）＝ ） 一 Ｐ （ ） 一， ｏ ＞０（ ４ ＝ ＞０＋ （＝ ） 】＞ 】 令
区 别 的 边 色数 ， ≤ ｎ （ 一１ ， ｎ≥ ３， （ Ｇ） Ａ ｎ ） 当 △≥ １ ， 点 可 区 别 的 全 色数 ｚ Ｇ） ２ Ａ ｎ ） 时 其 ， ≤ ｎ （ 一１ ． （ 关 键 词 ：边 染 色 ； 令染 色 ；点 可 Ｉ 边 色 数 ；点 可 区别 全 色数 ；慨 率 方 法 别 中 图分 类 号 ：Ｏ１７５ ５． 文 献 标 志 码 ：Ａ 文章 编 号 ：ｌ ７—５ ０ ２ １） １０ ７ —４ ６ ２６ １ （０ １０ —０ ５０
第２ ６卷
第 １ 期
天 津科 技 大 学 学报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｉｎ ｉ ｉ ｅ ｓ ｙｏ ｃｅ ｃ ＆ Ｔｅ ｈ ｏｏ ｙ ｏ ｒ ａ ｏ ａ ｊｎＵｎ ｖ ｒ ｉ ｆ ｉｎ ｅ Ｔ ｔ Ｓ ｃ ｎ ｌｇ
Ｖｌ －６ Ｎ ｏ．１ ０ ２ ｌ
Ｆｅ ２Ｏ１ｌ ｂ．
２ １年 ２Ｊ ０１ Ｊ
Ｖｕ ∈ （ “≠ｖ Ｃ（ ） ， Ｇ）（ ）， “ ≠Ｃ（）， ｖ
（） Ｉ 对每两 条相邻 的边 Ｐ ｇ 令 ，，
如 ’
＝
一样
其中 Ｃｕ＝厂 ｝ ｛（ ）Ｅ ６， Ｅ ６｝ 贝 厂 （ ｛（ Ｕｆｕ ｌ （）Ｖ （）， ） ） ｖｖ Ｕ
称 为 Ｇ的一 个 ｋ 点 可 区别 全染 色 ， 一 简记 为 ｋ Ｖ Ｔ — Ｄ Ｃ．
该 引 理 多 用 于 是 正 整 数 值 且 Ｅ ） ， 有 （ ＜１ 则
尸， ＝０＞０ ． （ ） ．
不 等 式 ：Ｐ （ ｒＸ￣Ｏ ≤Ｅ Ｘ）， 以 只 需 证 Ｅ Ｘ） ） （ 所 （ ＋
（ ） 即可 ． ｙ＜１
由概 率论知识 可 知
厂 、 厂 ｔ ／ 、
首先 ， 计算
・
７ ・ ６
天津科 技大 学学报 第 ２ 卷 第 １ ６ 期 （ 正常 ） 边染 色 ， 须使 以下两 点成立 ： 必 （） 常边染 色 ， １正
（） 意两个点 点可 区别 ． ２任 为此 ， 义如 下指标 变量 ： 定
度 ， ＸＡＧ ： Ｇ ， 则 ｖ ） （ ） 或者 （ ） （ ＋１ ＇ Ｇ ＝ Ｇ） ．
Ａ Ｎ ｉ ｇ ｑ ａ ｇ， Ｍ ＥＮ Ｇ ｉ ｎ — ｏ Ｍ ｎ — ｉｎ Ｘ ａ ｇｂ
（ ｏｌ ｅ ｆ ｃ ｎ ｅＴａｊ ｎｖ ｒｉ ｆ ｃｅｃ ＆ Ｔｃ ｎ ｌｇ ，ｉｎｉ ０ ４ ７Ｃ ｉａ Ｃ ｌ ｇ ｉ ｃ ，ｉｎｉ Ｕ ｉｅｓｙｏ ｉｎｅ ｅ ｏＳ ｅ ｎ ｔ Ｓ ｅｈ ｏｏ ｙＴａｊ ３ ０ ５ ，ｈｎ ） ｎ
２ ｄ（ ｎ ｎ—ｎ ２
１
确 定一 般 图的点可 区别 边 （ ） 数 的上 界 ， 全 色 对于 特殊 图的点 可 区别 边 （ 色 数 的确 定 ， 全） 具有 非常 重要
收稿 日期 ：２ １ － ７ ２ ；修 回 日期 ：２ １一 — ６ ０ ０ ０— ０ ００ ｌ ２ １
基 金项 目 ：天 津 科 技 大 学 科 学 研 究 基 金 资 助 项 目 （０ ９ ２ ２ ２００２） 作者 简 介 ：安 明 强 （ ９２ ），男 ，甘 肃 灭 水 人 ，讲 师 ，ａｍｑ ｕ ｔｄ ． １８ 一 ｎ ＠ｔｓｅｕｃ ． ｎ
定义 ２ Ｊ 设 Ｇ是 阶数至少 是 ２ 的简单连通 图 ， ｌ ４ 后是 正 整 数 ， － 若 厂是从 ＶＧ） （ 到 ｛ ２…，｝ （ ＵＥ Ｇ） １ ， ｋ 的一 ， 个映射 ， 使得
Ｖ ｖ （ ）厂“ ≠＿ ｖ ｆ “ ≠． “） 厂Ｖ ； ｕ ｅＥ Ｇ ， （） 厂 ）， （） 厂 １≠ｈ ） ＿ （ （， （ Ｖ ｖＵ Ｅ （ ） ≠Ｗ ， （ｖ≠．（ ） ｕ ，ｗ Ｇ （ ｖ ） ｆ ｕ） ｆｕ ； ｗ
上 界．
数． Ｊ ）ｍ ｛， 『 Ｇ，≤ｋ ｝ （） 令／Ｇ＝ ｉｌ：≥ ） ≤△， Ｇ称为 （ ｎ［ （ ｆ ｌ ｃ
图 Ｇ的组合 度 ， 然 、 ） （ ） 显 Ｇ ≥Ｈ Ｇ ． 猜 想 ｊ 设 Ｇ是 ｖｅ 图 ， （ ） 图 Ｇ的组 合 ｄｃ Ｇ 为
定义 １１ 设 Ｇ是 阶数 至少 是 ２的简 单连 通 图 ， 【 Ｊ
ｌ ｌ 、 ／ ｔ
』 果和 ｃ） （ ｝ ｌ ”满足 （＝Ｖ ，如 “ｃ）
０ ， 否则
ｍ｛ ＋≥（ ｄＡ则 ｉ １ Ｇ ≤≤｝ 有 ｎ ） ｆ ｊ ， 《 ’
猜 想 ２５ 对 简单 图 Ｇ， （） ， （） 【 】 Ｉ ＧＩ 有 Ｇ ≤ ≥２
（ ≤ ｋ （ ＋１ Ｇ） ｒＧ） ．
ｍｅｈ ｄ ｔ ｔ ｏ ．Ｉ ｗａ ａｓ ｒ ｖ ｄ ｔ ａ ｖ ｒ ｒ ｐ ｗｉ ， ≥ ３ ｖ ｒｉｅ ａ ｄ ｓ ｌｏ ｐ ｏ ｅ ｈ ｔ ｅ ｅ ｇ ａ ｈ ｙ ｔ ｚ ｈ ｅｔｃ ｓ ｎ ｗｉ ｍａ ｉ ｍ ｄ ｇ ｅ Ａ ≥ １ ｈ ｓ ｅ ｔ ｘ ｔ ｈ ｘ ｍｕ ｅ ｒｅ ａ ａ ｖ ｒ ｅ
已 成 为 目前 困 际 上 比 较 热 门 的研 究 领 域 之 一 ．
Ｈａａ ［用 概 率 方 法 研 究 并 确 定 了 图 的邻 点 可 区别 ｔｍｉ ６ 边 色数 的 卜 为 △＋ ０ 刘信 生 等 用 概 率方 法 研 究 界 ３ ０． ｊ 并 确 定 了邻 点 可 区别 的 无 圈 边 色 数 的上 界 为 ３ Ａ． ２
究 图 的染 色 问题 ， 到 了 国 内外学 术 界 的普 遍 关 注 ， 受
个 映 射 ， 得 Ｖ ｖ，Ａ Ｅ （ （≠ｗ ，厂“） （ｗ 使 ｕ Ｉ Ｇ） Ｗ ） ｌ ｖ≠ｆ ｕ ）； （
Ｖ ｖ （ ） ｖ ， （） Ｃ ｖ ， ． ∈ＶＧ （ ≠ ） Ｃｕ ≠ （ 其中 Ｃｕ＝ 厂 ｖ ） （ ｔ（ ） ） Ｉ
本 文 所 考 虑 的 均 为连 通 的 、 限 的 、 向的 简 有 兀
ｋ是 正整 数 ， 厂是 从 Ｖ Ｇ ＵＥ Ｇ 到 ｛ ２…，｝ 若 （ ） （ ） １ ， ｋ 的一 ，
单 冈． 文献 ［— ］ 罔 的点 可 区别 边 染 色 （ １ ３对 或称 强 边 染 色） 问题 进 行 讨 论 ， 到 了 许多 重 要 的结 果 ． 忠 辅 得 张 等 Ｉ 研究 图 的点 可 区 别 全染 色 ， 到 了某 些 特 殊 图 ４ Ｉ 得 的具 体 的点 可 区别 全 色数 ． 年来 ， 概 率 方 法 来研 近 用
１ （ ） Ｖ （ ） ， ｆ称 为 Ｇ的一 个 ｋ一 可 区别 ， Ｇ， ＠ Ｇ｝ 则 ∈ Ｈ 点
边染色 ， 简记为 ｋ Ｖ Ｅ 称 ｍｎｋＧ — Ｄ Ｃ． ｉ｛ｌ存在 Ｖ Ｅ ｝ 一 Ｄ Ｃ
为 Ｇ 的 点 可 区别 边 色 数 （ 称 为 强 边 色 数 ） 记 为 或 ， （ ）（ Ｇ 或 （ ） ． Ｇ） 显 然 ， 个 图 Ｇ具有 点 可 区别 的边染 色 当且仅 当 一 图 Ｇ是没 有 孤 立边 ， 最 多 有一 个 孤立 点 的 图． 样 且 这 的 图称 为 ｖ ｅ 图． ｄｃ
ｅ ｇ ｏｏ ｉｇ ｗｉ ｔｍｏ ｔ Ａ（ ｄ ｅｃ ｌｒ ｔ ａ ｓ ｎ ｎ一１ ｃ ｌｒ ｙ ｕ ｉｇ ｔｅ ｆ ｓ ｍｅ ｔｐ ｉｃｐｅａ ｄ Ｍａｋ ｖＳｉｅ ｕ ｌｙ ｏ ｒ ｂ ｂｌ ｔｃ ｎ ｈ ） ｏｏｓｂ ｓｎ ｈ ｉ ｔｍｏ ｎ ｒｎ ｉｌ ｎ ｒ ｏ ’ ｎ ｑ ａｉ ｆｐ ｏ ａ ｉｓｉ ｒ ｔ ｉ
受 文 献 ［ ］ ６ ７ 的启 发 ， 鉴 文 献 ［】 概 率 方 法 改 进 图 借 ８用
的星色 数上 界 的经 验 ， 针对 点 可 区别边 染 色 和点 可 区
设 Ｇ是 一 个 ｖｅ ， Ｇ 表示 Ｇ的 ｋ度顶 点 个 ｄｃ图 ／（ ） ７
ｌ， 、 ｒ ，
别 全染 色 ， 试应 用 概 率 方 法 ， 别 得 到 了其 色数 的 尝 分
Ｐ （ ≥ ， ≤ ｒＸ １
ｆ
质， 有
） ＝
．
Ｚ
Ｅ Ｘｅ） ｎ （ ￣ ＂
，
ｇ
＝
该 不等式 多用 于 是正 整数值且 Ｅ Ｘ） ， （ ＜１ 则有
…胙 ＥＧ） Ｐ ㈦ （
（ ≥１≤皇 ：Ｅ ） 即 Ｐ （ ） （ ｒＸ＞Ｏ ）
，
（） ．
ｎ （ ）一 ｄ ｄ一１ ，１
点 可 区别 边 色数 和 点 可 区别 全 色数 的 两个 上 界
安 明强 ，孟 祥 波
（ 津 科 技 大学 理学 院 ，天 津 ３ ０ ５ ） 天 ０４７
摘 要 ：应 用 概 率 方 法 中的 第一 矩 量 原 理 和 Ｍａｋ ｖ 不 等 式 ， 明 了对 于最 大度 为 △ 的 ／阶 图 Ｇ， △≥ ２时 ， 点 可 ｒｏ 证 ７ 当 共
ｄ ｓｉｇ ｉ ｉｇｔｔｌ ｏｏ ｉｇｗｉ ｔ ｓ ２ Ａ（ ｉｔ ｕｓ ｎ ａ ｌｒ ｔ ａ ｔ ｎ ｎ一１ ｃ ｌｒ． ｎ ｈ ｏ ｃ ｎ ｈ ｍｏ ） ｏｏ ｓ
Ｋｅ ｙｗｏｒ ｄｓ： ｅ ｅ ｏｌ ｉ ｄｇ ｃ ｏｒｎｇ； ｔ ｔ ｌ ｏｌ ｉ ｏ ａ ｃ ｏｒｎｇ； ｖｅ ｅ ｄ ｓｉ ｕｉｈ ｎ ｅ ｇｅ ｈ ｏｍ ａｉ ｎ ｔ ｒ ｘ ｉｔｎｇ ｓ ｉ ｇ ｄ ｃ ｒ ｔｃ ｕｍｂｅ ｒ； ｖ ｒｅ ｄｉｔｎ ｉｈｉ ｔ ｔ ｌ ｅ ｘ ｔ ｓｉ ｇｕ ｓ ｎｇ ｏ ａ ｃ ｏ ａ ｉ ｕｍ ｂ ｒ ｐｒ ｂａ ｌｓｉ ｅｈｏ ｈｒ ｍ ｔｃｎ ｅ； ｏ ｂｉｉｔｃｍ ｔ ｄ
｛ ＝０ ， ，＝０ 且 ＝｛ ｝ Ａ ＝｛ ， ｝， ＞０ ＝ ｛＞０ ） ）， ｙ ｝， 即只需 证 尸 （ ｒ ＞０ ＋Ｐ （＞Ｏ＜Ｉ ） ｒＹ ） 即可 ． 又根 据 Ｍａｋ ｖ ｒｏ
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引理 １］ （ 一矩量原理 ） 【 ９ 第 如果 Ｅ Ｘ） ， （ ≤ｔ 则
（ ≤ ，＞０ ） ．
并令 ＝ ∑ ，， 注意到 即是不满足正常
边染 色 的相邻边 对 的数量 ． （ ） 在两个 点 “ ｖ 令 Ｉ存 Ｉ ，，
ｙ ：
称ｍｎ ｌ ｋ Ｖ Ｔ ｝ ｉｋ ￣ — Ｄ Ｃ 为Ｇ的点可区别全色数， ｛ａ 记
为 （ ． Ｇ）
令 ｎ（ ） 示 Ｇ 的 ｄ度 顶 点 的 个 数 ， ｋ（ ） ａＧ 表 令 ＴＧ ＝
，
） ．
，
事 １ ∑ ｒｉ≤ ｒ Ｊ 实１ 一 ＰＡＩＰ ｎ ． Ｊ （） ＼ Ｊ
ｉ１ ＝ ＼ ｉ１ ＝ ／
因为 ， （ ） （ ＝
）÷ 通过 ＝ ， 期望的 线性性
＝
／ ‘ ‘
Ｍａ ｋ ｖ 不 等 式 Ｉ 对 任 意 的正 随 机 变量 ， ｒｏ ９ ］ 有
Ｔｗｏ Ｕｐｐｅ ｕｎ ｏ ｈｅＶｅ ｔｘ— ｓｉ ｕｉｈｉ — ｒＢｏ ｄｓｆ ｒｔ ｒ ｅ Ｄｉｔｎｇ ｓ ｎｇ Ｅｄｇ ｅＣｈｒ ｍ ａ ｉ ｏ ｔｃ Ｎｕｍ ｂｅ ｓａ ｒｅ Ｄｉｔｎｇ ｓ ｉ — ｔ ｌＣｈｒ ｍ ａ ｉ ｕ ｂｅ ｓ ｒ ｎｄ Ｖｅ ｔｘ— ｓｉ ｕｉｈ ｎｇ Ｔｏ ａ ｏ ｔｃＮ ｍ ｒ
并令Ｙ ∑ ＝
， 注意到Ｙ即是不满足任意两
点点可 区别 的点 对 的数量 ． 现 只要证 （ ＝０ 且Ｙ：０＞０， 根据事 实 １ ） 又 可得 Ｐ （ ＝Ｏ ， ０ ≥１ ［ Ｊ Ｊ 且）＝ ） 一 Ｐ （ ） 一， ｏ ＞０（ ４ ＝ ＞０＋ （＝ ） 】＞ 】 令
区 别 的 边 色数 ， ≤ ｎ （ 一１ ， ｎ≥ ３， （ Ｇ） Ａ ｎ ） 当 △≥ １ ， 点 可 区 别 的 全 色数 ｚ Ｇ） ２ Ａ ｎ ） 时 其 ， ≤ ｎ （ 一１ ． （ 关 键 词 ：边 染 色 ； 令染 色 ；点 可 Ｉ 边 色 数 ；点 可 区别 全 色数 ；慨 率 方 法 别 中 图分 类 号 ：Ｏ１７５ ５． 文 献 标 志 码 ：Ａ 文章 编 号 ：ｌ ７—５ ０ ２ １） １０ ７ —４ ６ ２６ １ （０ １０ —０ ５０
第２ ６卷
第 １ 期
天 津科 技 大 学 学报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｉｎ ｉ ｉ ｅ ｓ ｙｏ ｃｅ ｃ ＆ Ｔｅ ｈ ｏｏ ｙ ｏ ｒ ａ ｏ ａ ｊｎＵｎ ｖ ｒ ｉ ｆ ｉｎ ｅ Ｔ ｔ Ｓ ｃ ｎ ｌｇ
Ｖｌ －６ Ｎ ｏ．１ ０ ２ ｌ
Ｆｅ ２Ｏ１ｌ ｂ．
２ １年 ２Ｊ ０１ Ｊ
Ｖｕ ∈ （ “≠ｖ Ｃ（ ） ， Ｇ）（ ）， “ ≠Ｃ（）， ｖ
（） Ｉ 对每两 条相邻 的边 Ｐ ｇ 令 ，，
如 ’
＝
一样
其中 Ｃｕ＝厂 ｝ ｛（ ）Ｅ ６， Ｅ ６｝ 贝 厂 （ ｛（ Ｕｆｕ ｌ （）Ｖ （）， ） ） ｖｖ Ｕ
称 为 Ｇ的一 个 ｋ 点 可 区别 全染 色 ， 一 简记 为 ｋ Ｖ Ｔ — Ｄ Ｃ．
该 引 理 多 用 于 是 正 整 数 值 且 Ｅ ） ， 有 （ ＜１ 则
尸， ＝０＞０ ． （ ） ．
不 等 式 ：Ｐ （ ｒＸ￣Ｏ ≤Ｅ Ｘ）， 以 只 需 证 Ｅ Ｘ） ） （ 所 （ ＋
（ ） 即可 ． ｙ＜１
由概 率论知识 可 知
厂 、 厂 ｔ ／ 、
首先 ， 计算
・
７ ・ ６
天津科 技大 学学报 第 ２ 卷 第 １ ６ 期 （ 正常 ） 边染 色 ， 须使 以下两 点成立 ： 必 （） 常边染 色 ， １正
（） 意两个点 点可 区别 ． ２任 为此 ， 义如 下指标 变量 ： 定
度 ， ＸＡＧ ： Ｇ ， 则 ｖ ） （ ） 或者 （ ） （ ＋１ ＇ Ｇ ＝ Ｇ） ．
Ａ Ｎ ｉ ｇ ｑ ａ ｇ， Ｍ ＥＮ Ｇ ｉ ｎ — ｏ Ｍ ｎ — ｉｎ Ｘ ａ ｇｂ
（ ｏｌ ｅ ｆ ｃ ｎ ｅＴａｊ ｎｖ ｒｉ ｆ ｃｅｃ ＆ Ｔｃ ｎ ｌｇ ，ｉｎｉ ０ ４ ７Ｃ ｉａ Ｃ ｌ ｇ ｉ ｃ ，ｉｎｉ Ｕ ｉｅｓｙｏ ｉｎｅ ｅ ｏＳ ｅ ｎ ｔ Ｓ ｅｈ ｏｏ ｙＴａｊ ３ ０ ５ ，ｈｎ ） ｎ
２ ｄ（ ｎ ｎ—ｎ ２
１
确 定一 般 图的点可 区别 边 （ ） 数 的上 界 ， 全 色 对于 特殊 图的点 可 区别 边 （ 色 数 的确 定 ， 全） 具有 非常 重要
收稿 日期 ：２ １ － ７ ２ ；修 回 日期 ：２ １一 — ６ ０ ０ ０— ０ ００ ｌ ２ １
基 金项 目 ：天 津 科 技 大 学 科 学 研 究 基 金 资 助 项 目 （０ ９ ２ ２ ２００２） 作者 简 介 ：安 明 强 （ ９２ ），男 ，甘 肃 灭 水 人 ，讲 师 ，ａｍｑ ｕ ｔｄ ． １８ 一 ｎ ＠ｔｓｅｕｃ ． ｎ
定义 ２ Ｊ 设 Ｇ是 阶数至少 是 ２ 的简单连通 图 ， ｌ ４ 后是 正 整 数 ， － 若 厂是从 ＶＧ） （ 到 ｛ ２…，｝ （ ＵＥ Ｇ） １ ， ｋ 的一 ， 个映射 ， 使得
Ｖ ｖ （ ）厂“ ≠＿ ｖ ｆ “ ≠． “） 厂Ｖ ； ｕ ｅＥ Ｇ ， （） 厂 ）， （） 厂 １≠ｈ ） ＿ （ （， （ Ｖ ｖＵ Ｅ （ ） ≠Ｗ ， （ｖ≠．（ ） ｕ ，ｗ Ｇ （ ｖ ） ｆ ｕ） ｆｕ ； ｗ
上 界．
数． Ｊ ）ｍ ｛， 『 Ｇ，≤ｋ ｝ （） 令／Ｇ＝ ｉｌ：≥ ） ≤△， Ｇ称为 （ ｎ［ （ ｆ ｌ ｃ
图 Ｇ的组合 度 ， 然 、 ） （ ） 显 Ｇ ≥Ｈ Ｇ ． 猜 想 ｊ 设 Ｇ是 ｖｅ 图 ， （ ） 图 Ｇ的组 合 ｄｃ Ｇ 为
定义 １１ 设 Ｇ是 阶数 至少 是 ２的简 单连 通 图 ， 【 Ｊ
ｌ ｌ 、 ／ ｔ
』 果和 ｃ） （ ｝ ｌ ”满足 （＝Ｖ ，如 “ｃ）
０ ， 否则
ｍ｛ ＋≥（ ｄＡ则 ｉ １ Ｇ ≤≤｝ 有 ｎ ） ｆ ｊ ， 《 ’
猜 想 ２５ 对 简单 图 Ｇ， （） ， （） 【 】 Ｉ ＧＩ 有 Ｇ ≤ ≥２
（ ≤ ｋ （ ＋１ Ｇ） ｒＧ） ．
ｍｅｈ ｄ ｔ ｔ ｏ ．Ｉ ｗａ ａｓ ｒ ｖ ｄ ｔ ａ ｖ ｒ ｒ ｐ ｗｉ ， ≥ ３ ｖ ｒｉｅ ａ ｄ ｓ ｌｏ ｐ ｏ ｅ ｈ ｔ ｅ ｅ ｇ ａ ｈ ｙ ｔ ｚ ｈ ｅｔｃ ｓ ｎ ｗｉ ｍａ ｉ ｍ ｄ ｇ ｅ Ａ ≥ １ ｈ ｓ ｅ ｔ ｘ ｔ ｈ ｘ ｍｕ ｅ ｒｅ ａ ａ ｖ ｒ ｅ
已 成 为 目前 困 际 上 比 较 热 门 的研 究 领 域 之 一 ．
Ｈａａ ［用 概 率 方 法 研 究 并 确 定 了 图 的邻 点 可 区别 ｔｍｉ ６ 边 色数 的 卜 为 △＋ ０ 刘信 生 等 用 概 率方 法 研 究 界 ３ ０． ｊ 并 确 定 了邻 点 可 区别 的 无 圈 边 色 数 的上 界 为 ３ Ａ． ２
究 图 的染 色 问题 ， 到 了 国 内外学 术 界 的普 遍 关 注 ， 受
个 映 射 ， 得 Ｖ ｖ，Ａ Ｅ （ （≠ｗ ，厂“） （ｗ 使 ｕ Ｉ Ｇ） Ｗ ） ｌ ｖ≠ｆ ｕ ）； （
Ｖ ｖ （ ） ｖ ， （） Ｃ ｖ ， ． ∈ＶＧ （ ≠ ） Ｃｕ ≠ （ 其中 Ｃｕ＝ 厂 ｖ ） （ ｔ（ ） ） Ｉ
本 文 所 考 虑 的 均 为连 通 的 、 限 的 、 向的 简 有 兀
ｋ是 正整 数 ， 厂是 从 Ｖ Ｇ ＵＥ Ｇ 到 ｛ ２…，｝ 若 （ ） （ ） １ ， ｋ 的一 ，
单 冈． 文献 ［— ］ 罔 的点 可 区别 边 染 色 （ １ ３对 或称 强 边 染 色） 问题 进 行 讨 论 ， 到 了 许多 重 要 的结 果 ． 忠 辅 得 张 等 Ｉ 研究 图 的点 可 区 别 全染 色 ， 到 了某 些 特 殊 图 ４ Ｉ 得 的具 体 的点 可 区别 全 色数 ． 年来 ， 概 率 方 法 来研 近 用
１ （ ） Ｖ （ ） ， ｆ称 为 Ｇ的一 个 ｋ一 可 区别 ， Ｇ， ＠ Ｇ｝ 则 ∈ Ｈ 点
边染色 ， 简记为 ｋ Ｖ Ｅ 称 ｍｎｋＧ — Ｄ Ｃ． ｉ｛ｌ存在 Ｖ Ｅ ｝ 一 Ｄ Ｃ
为 Ｇ 的 点 可 区别 边 色 数 （ 称 为 强 边 色 数 ） 记 为 或 ， （ ）（ Ｇ 或 （ ） ． Ｇ） 显 然 ， 个 图 Ｇ具有 点 可 区别 的边染 色 当且仅 当 一 图 Ｇ是没 有 孤 立边 ， 最 多 有一 个 孤立 点 的 图． 样 且 这 的 图称 为 ｖ ｅ 图． ｄｃ
ｅ ｇ ｏｏ ｉｇ ｗｉ ｔｍｏ ｔ Ａ（ ｄ ｅｃ ｌｒ ｔ ａ ｓ ｎ ｎ一１ ｃ ｌｒ ｙ ｕ ｉｇ ｔｅ ｆ ｓ ｍｅ ｔｐ ｉｃｐｅａ ｄ Ｍａｋ ｖＳｉｅ ｕ ｌｙ ｏ ｒ ｂ ｂｌ ｔｃ ｎ ｈ ） ｏｏｓｂ ｓｎ ｈ ｉ ｔｍｏ ｎ ｒｎ ｉｌ ｎ ｒ ｏ ’ ｎ ｑ ａｉ ｆｐ ｏ ａ ｉｓｉ ｒ ｔ ｉ
受 文 献 ［ ］ ６ ７ 的启 发 ， 鉴 文 献 ［】 概 率 方 法 改 进 图 借 ８用
的星色 数上 界 的经 验 ， 针对 点 可 区别边 染 色 和点 可 区
设 Ｇ是 一 个 ｖｅ ， Ｇ 表示 Ｇ的 ｋ度顶 点 个 ｄｃ图 ／（ ） ７
ｌ， 、 ｒ ，
别 全染 色 ， 试应 用 概 率 方 法 ， 别 得 到 了其 色数 的 尝 分
Ｐ （ ≥ ， ≤ ｒＸ １
ｆ
质， 有
） ＝
．
Ｚ
Ｅ Ｘｅ） ｎ （ ￣ ＂
，
ｇ
＝
该 不等式 多用 于 是正 整数值且 Ｅ Ｘ） ， （ ＜１ 则有
…胙 ＥＧ） Ｐ ㈦ （
（ ≥１≤皇 ：Ｅ ） 即 Ｐ （ ） （ ｒＸ＞Ｏ ）
，
（） ．
ｎ （ ）一 ｄ ｄ一１ ，１
点 可 区别 边 色数 和 点 可 区别 全 色数 的 两个 上 界
安 明强 ，孟 祥 波
（ 津 科 技 大学 理学 院 ，天 津 ３ ０ ５ ） 天 ０４７
摘 要 ：应 用 概 率 方 法 中的 第一 矩 量 原 理 和 Ｍａｋ ｖ 不 等 式 ， 明 了对 于最 大度 为 △ 的 ／阶 图 Ｇ， △≥ ２时 ， 点 可 ｒｏ 证 ７ 当 共