LS高一数学函数值域求法及例题
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函数值域 (最值) 的 常用 方法
姓名:
、基本函数的值域:
一次函数y kx
0的值域为R .
正,余弦函数的值域为 1,1,正,余切函数的值域为
、其它函数值域
、观察法(根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数)
2、求函数y --------------- 的值域.
Vxl 1
二、 配方法(当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时, 可利用配方法求值域) 1、 求函数y 2 , x 2 4x (x 0,4)的值域.
说明:在求解值域(最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域 的限制.
2、 若x 2y 4, x 0, y 0,试求xy 的最大值。
三、 反表示法(分子、分母只含有一次项的函数,也可用于其它易反解出自变量的函数类型)
对于存在反函数且易于求得其反函数的函数, 可以利用“原函数的定义域和值域分别为 其反函数的值域和定义域”这一性质,先求出其反函数,进而通过求其反函数的定义域的方 法求原函数的值域。
1、 求函数y 的值域.
x 1 2 / 二次函数y ax 2 bx c a 0,当 a
0时的值域为 4ac b 2 4a 当a 0时的值域为 4ac b 2
4a
反比例函数 k 0的值域为y 指数函数y a x a 0且a 1的值域为 对数函数y log a x a 0且a 1的值域为R .
R . 1、求y x 2 4 2的值域.
2、求函数y罕4的值域.
X 1
四、判别式法(分子、分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为
A(y)x2 B(y)x C(y) 0的形式,再利用判别式加以判断)
2x2 4x 7
1、求函数y 竺上的值域.
x 2x 3
2、求函数y 2% 1的值域.
x 2x 2
五、换元法(通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是无理函数、三角函数
(用三角代换)等)
1、求函数y 2x 3 ,13 4x的值域.
六、数形结合法(对于一些能够准确画出函数图像的函数来说,可以先画出其函数图像,然后利用函数图像求其值域)
1、求函数y x 1 x 3的值域。
七、不等式法(能利用几个重要不等式及推论来求得最值.(如:a2 b2 2ab,a b 2. ab ),利用此法求
函数的值域,要合理地添项和拆项,添项和拆项的原则是要使最终的乘积结
果中不含自变量,同时,利用此法时应注意取""成立的条件.)
1、求函数y x 1(x 0)的值域.
x
注意:在使用此法时一定要注意a b 2 .0b的前提条件是a>0, b>0,且能取到b.
八、部分分式法(分离常数法)(分式且分子、分母中有相似的项,通过该方法可将原函数转化为为y k f(x)(k为常数)的形式)
X2 X
1、求函数y 耳一—的值域.
x x 1
九、单调性法(利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域)
十、利用导数求函数的值域(若函数f在(a、b)内可导,可以利用导数求得f在(a、b)
内的极值,然后再计算f在a,b点的极限值。从而求得f的值域)
十^一、最值法(对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,
并与边界值f(a)、f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域)
十二、构造法(根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合)
十三、比例法(对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值
求函数的值域
①y 3x 1,x€ {1,2, 3, 4, 5}.(观察法)
②y x2 4x 6,x€ 1,5 .(配方法:形如y ax2 bx c)
③y 2x . x 1 .(换元法:形如y ax b . cx d )
④y —.(分离常数法:形如y竺卫)
x 1 ax b
2 2 b
⑤y需・.(判别式法:形如y 來2 % C1)
x 1 a2x b2x c2
变式1.求下列函数的值域
① y 2x2 4x 3 .② y x . x 1 .
2x2 4x 7
2
x2 2x 3
0)
⑤ y x 3 x 7 .⑥ y 3x 9 (x
4x
0)