条件概率、全概率公式与贝叶斯公式

条件概率、全概率公式与贝叶斯公式

一、背景

一个随机事件的概率,确切地说,是指在某些给定的条件下,事件

发生的可能性大小的度量.但如果给定的条件发生变化之后,该事件的概率一般也随之变化.于是,人们自然提出:如果增加某个条件之后,事件的概率会怎样变化的?它与原来的概率之间有什么关系?显然这类现象是常有的.

[例1] 设有一群共人,其中个女性,个是色盲患者. 个色盲患者中女性占个. 如果={从中任选一个是色盲}, ={从中任选一个是女性},此时, .如果对选取规则附加条件:只在女性中任选一位,换一句话说,发生之后,发生的概率(暂且记为) 自然是.

[例2] 将一枚硬币抛掷,观察其出现正反面的情况.设事件为“两次掷出同一面”,事件为“至少有一次为正面H”.现在来求已知事件已经发生的条件下事件发生的概率.

这里,样本空间.易知此属于古典概型问题.已知事件已发生,有了这一信息,知道不可能发生,即知试验所有可能结果所成的集合就是.中共有3个元素,其中只有属于.于是,在发生的条件下,发生的概率为

对于例1,已知

容易验证在发生的条件下,发生的概率

对于例2,已知

容易验证发生的条件下,发生的概率

对一般古典概型, 容易验证:只要,则在发生的条件下, 发生的概率,

总是成立的.

在几何概率场合,如果向平面上单位正方形内等可能任投一点,则当发生的条件下, 这时发生的概率为

由此可知对上述的两个等可能性的概率模型,总有成立.

其实,还可以验证, 这个关系式对频率也是成立的.于是,从这些共性中得到启发,引入下面的一般定义.

二、条件概率

若是一个概率空间,,若,则对于任意的,称

为已知事件发生的条件下, 事件发生的条件概率.

[例3] 一盒子中装有4只产品,其中有3只是一等品,1只是二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样,设事件为“第二次取到的是一等品”,事件为“第一次取到的是一等品”,试求条件概率

解:易知此属古典概型问题.将产品编号：1,2,3号为一等品,4号为二等品.以表示第一次、第二次分别取到第号、第号产品.试验E (取产品两次,记录其号码)的样本空间为

={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3)}

={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4)}

={(1,2),(1,3), (2,1),(2,3), (3,1),(3,2)}

由条件概率公式得,

[例4] 一个家庭中有两个小孩,已知其中有一个是女孩,问这时另一个小孩也是女孩的概率?(假定一个小孩是女孩还是男孩是等可能的)

解:据题意样本空间为

={(男,女),(男,男),(女,女),(女,男)}

={已知有一个是女孩}={(男,女),(女,女),(女,男)}

={另一个小孩也是女孩}={(女,女)}

于是,所求概率为

三、条件概率的性质

(1)非负性:对任意的

(2)规范性:

(3)可列可加性:若为一列两两不相交的事件,有

证明:(1) 因为所以

(2)由于,所以

(3)由于两两不相交,所以也必然两两不相交,所以

四、乘法公式

由条件概率的定义知: 设,则.于是,

这就是概率的乘法公式.

如果,同样有

设且则

证明因为,依条件概率的定义,上式的右边

五、乘法公式的应用例子

[例5] 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下时未打破, 第二次落下时打破的概率为7/10, 若前两次时未打破, 第三次落下时打破的概率为9/10,试求透镜落下三次而未打破的概率.

解:以表示事件“透镜第次落下时打破”,以表示事件“透镜三次落下而未打破”. 因为,故有

[例6] 设袋中装有只红球,只白球.每次自袋中任取一只球,观察其颜色后放回,并再放入只与所取出的那个球同色的球.若在袋中连续取球四次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.

解:以表示事件“第次取到红球”,分别表示事件第三、四次取到白球.所求概率为

[例7] (卜里耶模型)罐中有只黑球,只红球,随机地取一只之后,把原球放回,并加进与抽出的球同色之球只,再摸第二次,这样下去共摸次.问前次出现黑球,后面次出现红球概率是多少?

解:以表示事件“第k次取到黑球”,

表示事件“第次取到红球”,则

由一般乘法公式,

1. 在例7中,最后答案与黑球和红球出现的次数有关,而与出现的顺序无关.

2.卜里耶模型被卜里耶用来描述传染病的数学模型.

当时,它是有放回的摸球模型.

当时,它是不放回的摸球模型.

思考题: 在卜里耶模型中,取次,问正好出现次红球概率是多少?

[例8] 一批产品共100件,对其进行抽样调查,整批产品看作不合格的规定是:在被检查的5件产品中至少有一件是废品.如果在该批产品中有5%是废品,试问该批产品被拒绝接收的概率是多少?

解:设表示被检查的第件产品是正品.表示该批产品被接收.则且

因此, 该批产品被拒绝接收的概率是0.23。

作业:

P55 EX 29,30,31

六、全概率公式

设是两个事件,那么可以表示为

显然,,如果则

[例1] 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,问从2号箱取出的红球的概率是多少?

解:令:最后从2号箱中取出的是红球;

:从1号箱中取出的是红球.

则

由上面的公式,

上例采用的方法是概率论中颇为常用的方法,为了求复杂事件的概率,往往可以把它分解成若干个互不相容的简单事件之并,然后利用条件概率和乘法公式,求出这些简单事件的概率,最后利用概率可加性,得到最终结果,这一方法的一般化就是所谓的全概率公式.