数学建模经典教材战斗模型
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（4）
其解为 （5）
注意到方程（3）的初始条件，有 （6）
由（5）式确定的相轨线是双曲线族，如右图 ，箭头表示随时间的增 加，的变化趋势，可以看出，如果，轨线将与y轨相交，这就是说存 在，使，即当甲方兵力为零时乙方兵力为正值，表明乙方获胜，同理可 知，时甲方获胜，而当k=0时双方战平。
进一步分析某一方譬如乙方取胜的条件，由（6）式并注意到a,b的含 义，乙方获胜的条件可表为
到4月24日，美军的战斗减员为111人，非战斗减员为21人，平均每日战
斗减员约为3人，美军投入战斗的部队约为15万。
伊拉克方面没有伤亡报告，估计约为300人/天，投入的兵力号称100
万，但我们知道，实际约为40万左右。
同时，由于作战的时间不长，美国支援的部队没有赶上战斗；所以不考
虑支援。
将这些代入模型（3）：
（7） （7）式说明双方初始兵力之比以平方关系影响着战争的结局，例如 若乙方兵力增加到原来的2倍（甲方不变），则影响战争结局的能力增 加到4倍，或者说，若甲方的战斗力譬如射击率增加到原来的4倍（均不 变），那么为了与此相抗衡，乙方只须将初始兵力增加到原来的2倍，
由于这个原因正规战争模型称为平方律模型。
第一阶段 3月19日到4月25日，这个阶段可看成正规战争，尽管也有游击战，但主 要的还是正规战。下表是美军的美军伤亡人数。
表1、美军伤亡人数 3.22 3.26 3.28 4.2 4.5 4.7 4.10 4.12 4.14 4.16 4.19 4.24
2 27 29 41 60 81 101 107 117 123 128 132
（27）的解为：
n=cy2-2bx
（28）
n=cy02-2bx0=192.3
（29）
n=192.3>0,所以，美军获胜。这似乎也是一场没有悬念的战争。
问题:美军什么时候可以结束战争?
由(28):
(30)
怎样理解战争结束呢?
一是敌人全部被消灭,此时:,美军损失1004人,时间大于一年8个月.
二是敌人被消灭大部,考虑60%,这样的话,大约1年时间可以解决, 美军
第六节 战斗模型：高阶线性模型
人类会厌倦睡觉，厌倦爱情； 会厌倦唱歌；厌倦跳舞； 但是战争，却永不停歇。
——荷马〈伊利亚特〉 很早以前荷马的这句话，一直被人类所证实。 战争是一个古老的而又很新的事情，许多人想逃避却又不得不面 对。 决定一场战争胜负的因素是很多的，也是很复杂的，不是一个简单 的数学模型所能解决的。毛主席说：决定战争胜负的是人，而不是一两 件新式武器。哲人说：人心的向背决定战争的胜负。但人心是模糊的， 很难说清楚。这里，我们不想讨论战争胜负的原因。只是从数学的角度 来探讨决定一场战争胜负的一些因素。 早在第一次世界大战期间，F.W.Lanchester就指出了几个预测战争结 局的数学模型，其中有描述传统的正规战争的，也有考虑稍微复杂的游 击战争的，以及双方分别使用正规部队和游击部队的所谓混合战争的， 后来人们对这些模型作了改进和进一步的解释，用以分析历史上一些著 名的战争，如二次世界大战中的美日硫黄岛之战和1975年结束的越南战 争。 Lanchester提出的模型是非常简单的，他只考虑双方兵力的多少和战 斗力的强弱，兵力因战斗减员和非战斗减员而减少，又由后备力量的增 援而增加；战斗力即杀伤对方的能力，则与射击率（单位时间的射击次 数）、射击命中率以及战争的类型（正规战、游击战）等有关，这些模 型当然没有考虑交战双方的政治、经济、社会等因素，而仅靠战场上兵 力的优劣是很难估计战争胜负的，所以我们认为用这些模型判断整个战 争的结局是不可能的，但是对于局部战役来说还有参考价值。更重要的 是，建模的思路和方法为我们借助数学模型讨论社会科学领域中的实际 问题提供了可以借鉴的示例。
第二阶段
伊拉克战争的第二阶段应该是从第一阶段结束以后开始，但是，由于美 军刚开始以解放者自居，大部分伊拉克人在战争刚结束时也是如此认 为。所以在这不到一年的时间里，和美军对抗的可能有不同阶层的人， 详细来分析是很难的。我们将他们简化：
交战的一方为美军y，约12万部队；另一方为游击队或恐怖分子或伊斯
兰圣战者x，不知道有多少，大致在数千人和数万人之间，为方便建模，取
损失601人.
但是，如果美军在伊拉克的行动引起伊拉克人民的强烈不满而导致 一场人民起义的话，会怎样呢？
伊拉克的人口大约有几千万，其中，什叶派穆斯林占将近60%，这些人 在萨达姆时代是受打击的；因此伊拉克战争开始时，他们与美军合作。但 时间一长,他们会中立或同情其他反抗美军的人;而其他40%则大部会采取不
（8） 忽略并设，在初始条件下（8）式为
（9） 与正规战争模型中方程（3）的解法类似，方程（9）的解为
（10） （11） （10）式确定的相轨线是直线族，如右下图，像分析正规战争模型 一样，可知时乙方胜，时甲方胜，时战平。
乙方获胜的条件wk.baidu.com可以表为 （12）
伊拉克战争
下面我们用这个模型来分析一下伊拉克战争。 从去年3月19日开始的伊拉克战争，可以分为两个阶段：第一个阶段：3 月19日到4月25日，这可看成正规战争；第二个阶段，应是从那以后到现 在。
同方式与美军对抗。 我们来设想一下，如果有多于60万的伊拉克人起义，而美军不增加兵力
的话，由（29），有n<0。也就是说，美军会失败。 另外，即使伊拉克人不起义，如果美国继续现有的压制政策，那么游击
队的伤亡就会得到源源不断的补充。 不妨设游击队的数目大致不变，即dx/dt=0。于是，方程（27）变为 （30） 解为： ；。
平均战斗死亡人数。
（25）的解为：
K=ay2-bx2
（26）
将初始值代入，得：K=-43800000
由于这个数据远远小于0，因此美军获胜是毫无疑问的。
现在讨论这个问题的意义在于甲方获胜所付出的代价有多少？
为此，在（26）中令y=0，得
x=147986
也就是说，美军要付出死亡150000-147986=2014人的代价。
游击战争模型 双方都用游击部队作战。 甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为的隐蔽区域内活动，乙方 士兵不是向甲方士兵开火，而是这个隐蔽区域射击，并且不知道杀伤情 况，这时甲方战斗减员率不仅与乙方兵力有关，而且随着甲方兵力的增 加而增加，因为在一个有限区域内，士兵越多，被杀伤的就越多，这样 可以简单地假设，且乙方战斗有效系数c可表为，其中仍为射击率，而 命中率等于乙方一次射击的有效面积与甲方活动面积之比。 类似地有。于是在这个模型中方程（1）化为
这表明美军的伤亡呈线性，时间一长，显然，美军 无法承受。那么，他的方法只能有三：一、放弃， 就象当初放弃越南一样。这大概不会采用；二、增 加兵力，加大打击力度，让伊拉克人在高压下彻底 放弃抵抗；这大概会死伤惨重，国际舆论会一片哗 然。三、调整现有政策，给伊拉克人民适当自由， 分裂抵抗力量。欺骗国际舆论，将抵抗分子描叙为 恐怖分子。
x=1万人。
到今年5月上旬，美军死亡人数约为580人（5月初美军实际死亡人数
713，减去去年4月25日之前死去的132）。游击队的死亡人数无法统计，因
为一方说是恐怖分子，另一方说是无辜平民。为便于统计，设他们的伤亡
率为美军的十倍。据此，建立Lanchester微分方程：
（27）
这里，x0=1万，y0=12万，b=1.63/日，c=1.3583/日。
正规战争模型 设想一下中世纪的欧洲战场或者第一次世界大战的战场：作战的双 方摆好队型，堂堂正正开战。
我们假设： 甲乙双方都用正规部队作战，我们只须分析甲方的战 斗减员率。
甲方士兵公开活动，处于乙方每一个士兵的监视和杀伤范围之内， 一旦甲方某个士兵被杀伤，乙方的火力立即集中在其余士兵身上，所以 甲方的战斗减员率只与乙方兵力有关，可以简单地设f与y成正比，即 f=ay，a表示乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率（单位时间的杀伤 数），称乙方的战斗有效系数，a可以进一步分解为，其中是乙方的射 击率（每个士兵单位时间的射击次数），是每次射击的命中率。
但为什么美军的实际战斗减员只有111人，不到估计的6%呢？这有两个
原因：一是战争中获胜的一方并不需要把对方全部杀死，往往只需战斗进
行到一定程度，使对方心理上觉得获胜无望时，就会放弃抵抗。伊拉克战
争如此，我国的解放战争中的三大战役也是如此。在（26）中，考虑到伊
方的实际死亡人数：约1万1千人，则
x=149891
一般战争模型
用和表示甲乙交战双方时刻的兵力，不妨视为双方的士兵人数， 假设 1、每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力，用和表示。
2、第一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素引起）与本方的兵 力成正比。
3、每一方的增援率是给定的函数，用和表示。 由此可以写出关于和的微分方程为
（1） 下面针对不同的战争类型讨论战斗减员率f、g的具体表示形式，并 分析影响战争结局的因素。
类似地有，且甲方的战斗有效系数是甲方的射击率和命中率，于是 在这个模型中方程（1）化为
（2） 在分析战争结局时忽略非战斗减员一项（与战斗减员相比，这项很 小），并且假设双方都没有增援，记双方的初始兵力分别是，方程 （2）简化为
（3） 不直接求解方程（3），而在相平面上讨论相轨线的变化规律更容易 判断双方的胜负，由方程（3）可得
也就是说，到4月25日，美军的战斗减员的理论值为109人。这个结果
和实际的战斗减员数111人吻合得非常好。
另一个原因美军使用了许多非战斗手段，恩威并致，使伊拉克的军队放
弃抵抗。从而使战争提前结束。
伊拉克战争的结果使许多人大吃一惊：原来可以这么快打跨一个地方强 国。据说利比亚因此而放弃了与西方的对抗。此是后话，
(25)
这里，x0=150000，y0=400000；a=3/400000，b=300/150000=0.002。
关于a，b的说明：因为伤亡的人数和总的人数相比十分小，所以，在计
算参数时基本将参战人数看成不变。另外，在战争刚开始时，美军采用大
量高科技武器，使得己方的伤亡基本为0；为便于计算，估计时，采用的是
其解为 （5）
注意到方程（3）的初始条件，有 （6）
由（5）式确定的相轨线是双曲线族，如右图 ，箭头表示随时间的增 加，的变化趋势，可以看出，如果，轨线将与y轨相交，这就是说存 在，使，即当甲方兵力为零时乙方兵力为正值，表明乙方获胜，同理可 知，时甲方获胜，而当k=0时双方战平。
进一步分析某一方譬如乙方取胜的条件，由（6）式并注意到a,b的含 义，乙方获胜的条件可表为
到4月24日，美军的战斗减员为111人，非战斗减员为21人，平均每日战
斗减员约为3人，美军投入战斗的部队约为15万。
伊拉克方面没有伤亡报告，估计约为300人/天，投入的兵力号称100
万，但我们知道，实际约为40万左右。
同时，由于作战的时间不长，美国支援的部队没有赶上战斗；所以不考
虑支援。
将这些代入模型（3）：
（7） （7）式说明双方初始兵力之比以平方关系影响着战争的结局，例如 若乙方兵力增加到原来的2倍（甲方不变），则影响战争结局的能力增 加到4倍，或者说，若甲方的战斗力譬如射击率增加到原来的4倍（均不 变），那么为了与此相抗衡，乙方只须将初始兵力增加到原来的2倍，
由于这个原因正规战争模型称为平方律模型。
第一阶段 3月19日到4月25日，这个阶段可看成正规战争，尽管也有游击战，但主 要的还是正规战。下表是美军的美军伤亡人数。
表1、美军伤亡人数 3.22 3.26 3.28 4.2 4.5 4.7 4.10 4.12 4.14 4.16 4.19 4.24
2 27 29 41 60 81 101 107 117 123 128 132
（27）的解为：
n=cy2-2bx
（28）
n=cy02-2bx0=192.3
（29）
n=192.3>0,所以，美军获胜。这似乎也是一场没有悬念的战争。
问题:美军什么时候可以结束战争?
由(28):
(30)
怎样理解战争结束呢?
一是敌人全部被消灭,此时:,美军损失1004人,时间大于一年8个月.
二是敌人被消灭大部,考虑60%,这样的话,大约1年时间可以解决, 美军
第六节 战斗模型：高阶线性模型
人类会厌倦睡觉，厌倦爱情； 会厌倦唱歌；厌倦跳舞； 但是战争，却永不停歇。
——荷马〈伊利亚特〉 很早以前荷马的这句话，一直被人类所证实。 战争是一个古老的而又很新的事情，许多人想逃避却又不得不面 对。 决定一场战争胜负的因素是很多的，也是很复杂的，不是一个简单 的数学模型所能解决的。毛主席说：决定战争胜负的是人，而不是一两 件新式武器。哲人说：人心的向背决定战争的胜负。但人心是模糊的， 很难说清楚。这里，我们不想讨论战争胜负的原因。只是从数学的角度 来探讨决定一场战争胜负的一些因素。 早在第一次世界大战期间，F.W.Lanchester就指出了几个预测战争结 局的数学模型，其中有描述传统的正规战争的，也有考虑稍微复杂的游 击战争的，以及双方分别使用正规部队和游击部队的所谓混合战争的， 后来人们对这些模型作了改进和进一步的解释，用以分析历史上一些著 名的战争，如二次世界大战中的美日硫黄岛之战和1975年结束的越南战 争。 Lanchester提出的模型是非常简单的，他只考虑双方兵力的多少和战 斗力的强弱，兵力因战斗减员和非战斗减员而减少，又由后备力量的增 援而增加；战斗力即杀伤对方的能力，则与射击率（单位时间的射击次 数）、射击命中率以及战争的类型（正规战、游击战）等有关，这些模 型当然没有考虑交战双方的政治、经济、社会等因素，而仅靠战场上兵 力的优劣是很难估计战争胜负的，所以我们认为用这些模型判断整个战 争的结局是不可能的，但是对于局部战役来说还有参考价值。更重要的 是，建模的思路和方法为我们借助数学模型讨论社会科学领域中的实际 问题提供了可以借鉴的示例。
第二阶段
伊拉克战争的第二阶段应该是从第一阶段结束以后开始，但是，由于美 军刚开始以解放者自居，大部分伊拉克人在战争刚结束时也是如此认 为。所以在这不到一年的时间里，和美军对抗的可能有不同阶层的人， 详细来分析是很难的。我们将他们简化：
交战的一方为美军y，约12万部队；另一方为游击队或恐怖分子或伊斯
兰圣战者x，不知道有多少，大致在数千人和数万人之间，为方便建模，取
损失601人.
但是，如果美军在伊拉克的行动引起伊拉克人民的强烈不满而导致 一场人民起义的话，会怎样呢？
伊拉克的人口大约有几千万，其中，什叶派穆斯林占将近60%，这些人 在萨达姆时代是受打击的；因此伊拉克战争开始时，他们与美军合作。但 时间一长,他们会中立或同情其他反抗美军的人;而其他40%则大部会采取不
（8） 忽略并设，在初始条件下（8）式为
（9） 与正规战争模型中方程（3）的解法类似，方程（9）的解为
（10） （11） （10）式确定的相轨线是直线族，如右下图，像分析正规战争模型 一样，可知时乙方胜，时甲方胜，时战平。
乙方获胜的条件wk.baidu.com可以表为 （12）
伊拉克战争
下面我们用这个模型来分析一下伊拉克战争。 从去年3月19日开始的伊拉克战争，可以分为两个阶段：第一个阶段：3 月19日到4月25日，这可看成正规战争；第二个阶段，应是从那以后到现 在。
同方式与美军对抗。 我们来设想一下，如果有多于60万的伊拉克人起义，而美军不增加兵力
的话，由（29），有n<0。也就是说，美军会失败。 另外，即使伊拉克人不起义，如果美国继续现有的压制政策，那么游击
队的伤亡就会得到源源不断的补充。 不妨设游击队的数目大致不变，即dx/dt=0。于是，方程（27）变为 （30） 解为： ；。
平均战斗死亡人数。
（25）的解为：
K=ay2-bx2
（26）
将初始值代入，得：K=-43800000
由于这个数据远远小于0，因此美军获胜是毫无疑问的。
现在讨论这个问题的意义在于甲方获胜所付出的代价有多少？
为此，在（26）中令y=0，得
x=147986
也就是说，美军要付出死亡150000-147986=2014人的代价。
游击战争模型 双方都用游击部队作战。 甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为的隐蔽区域内活动，乙方 士兵不是向甲方士兵开火，而是这个隐蔽区域射击，并且不知道杀伤情 况，这时甲方战斗减员率不仅与乙方兵力有关，而且随着甲方兵力的增 加而增加，因为在一个有限区域内，士兵越多，被杀伤的就越多，这样 可以简单地假设，且乙方战斗有效系数c可表为，其中仍为射击率，而 命中率等于乙方一次射击的有效面积与甲方活动面积之比。 类似地有。于是在这个模型中方程（1）化为
这表明美军的伤亡呈线性，时间一长，显然，美军 无法承受。那么，他的方法只能有三：一、放弃， 就象当初放弃越南一样。这大概不会采用；二、增 加兵力，加大打击力度，让伊拉克人在高压下彻底 放弃抵抗；这大概会死伤惨重，国际舆论会一片哗 然。三、调整现有政策，给伊拉克人民适当自由， 分裂抵抗力量。欺骗国际舆论，将抵抗分子描叙为 恐怖分子。
x=1万人。
到今年5月上旬，美军死亡人数约为580人（5月初美军实际死亡人数
713，减去去年4月25日之前死去的132）。游击队的死亡人数无法统计，因
为一方说是恐怖分子，另一方说是无辜平民。为便于统计，设他们的伤亡
率为美军的十倍。据此，建立Lanchester微分方程：
（27）
这里，x0=1万，y0=12万，b=1.63/日，c=1.3583/日。
正规战争模型 设想一下中世纪的欧洲战场或者第一次世界大战的战场：作战的双 方摆好队型，堂堂正正开战。
我们假设： 甲乙双方都用正规部队作战，我们只须分析甲方的战 斗减员率。
甲方士兵公开活动，处于乙方每一个士兵的监视和杀伤范围之内， 一旦甲方某个士兵被杀伤，乙方的火力立即集中在其余士兵身上，所以 甲方的战斗减员率只与乙方兵力有关，可以简单地设f与y成正比，即 f=ay，a表示乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率（单位时间的杀伤 数），称乙方的战斗有效系数，a可以进一步分解为，其中是乙方的射 击率（每个士兵单位时间的射击次数），是每次射击的命中率。
但为什么美军的实际战斗减员只有111人，不到估计的6%呢？这有两个
原因：一是战争中获胜的一方并不需要把对方全部杀死，往往只需战斗进
行到一定程度，使对方心理上觉得获胜无望时，就会放弃抵抗。伊拉克战
争如此，我国的解放战争中的三大战役也是如此。在（26）中，考虑到伊
方的实际死亡人数：约1万1千人，则
x=149891
一般战争模型
用和表示甲乙交战双方时刻的兵力，不妨视为双方的士兵人数， 假设 1、每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力，用和表示。
2、第一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素引起）与本方的兵 力成正比。
3、每一方的增援率是给定的函数，用和表示。 由此可以写出关于和的微分方程为
（1） 下面针对不同的战争类型讨论战斗减员率f、g的具体表示形式，并 分析影响战争结局的因素。
类似地有，且甲方的战斗有效系数是甲方的射击率和命中率，于是 在这个模型中方程（1）化为
（2） 在分析战争结局时忽略非战斗减员一项（与战斗减员相比，这项很 小），并且假设双方都没有增援，记双方的初始兵力分别是，方程 （2）简化为
（3） 不直接求解方程（3），而在相平面上讨论相轨线的变化规律更容易 判断双方的胜负，由方程（3）可得
也就是说，到4月25日，美军的战斗减员的理论值为109人。这个结果
和实际的战斗减员数111人吻合得非常好。
另一个原因美军使用了许多非战斗手段，恩威并致，使伊拉克的军队放
弃抵抗。从而使战争提前结束。
伊拉克战争的结果使许多人大吃一惊：原来可以这么快打跨一个地方强 国。据说利比亚因此而放弃了与西方的对抗。此是后话，
(25)
这里，x0=150000，y0=400000；a=3/400000，b=300/150000=0.002。
关于a，b的说明：因为伤亡的人数和总的人数相比十分小，所以，在计
算参数时基本将参战人数看成不变。另外，在战争刚开始时，美军采用大
量高科技武器，使得己方的伤亡基本为0；为便于计算，估计时，采用的是