数学趣题

奇妙的乘法 在九九乘法口诀表中，计算与 9 相乘的时候，有个奇妙的现象：将自己的双 手平放在桌面上，共有 10 个手指。当计算 4 9 时，只要从左至右数手指，将第 4 个手指弯起，它左边的手指数是 3，就是乘积结果的十位数，他右边的手指数 6 就是乘积结果的个位数。 验证一下是不是对的？你能够解释其中的道理吗？
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河东狮吼 某公司的办公大楼在市中心， 而公司总裁温斯顿的家在郊区一个小镇的附近。 他每次下班以后都是乘同一次市郊火车回那小镇。小镇车站离家还有一段距离，
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他的司机总是在同一时刻从家里开轿车去小镇车站接他回家。 由于火车与轿车都 十分准时，因此火车与轿车每次都是在同一时刻到站。 有一次，司机比以往迟了半小时出发。温斯顿到站后，找不到他的车子，又 怕回去晚了遭老婆骂，便急匆匆没着公路步行往家里走，途中遇到他的轿车正风 驰电掣而来，他立即招手示意停车，上车后马上掉头往家开。回到家中，果不出 所料，他老婆大发雷霆： “„„你比以往足足晚回了 22 分钟„„” 。请问温斯顿 步行了多长时间。
关于数的进制和火柴游戏 把若干根火柴棍，分成几堆，每堆的火柴的数目是任意的，直到全部火柴棍 分完为止。参加这个游戏的两个人，不妨用 A 和 B 来代表。他们轮流地在这些火 柴堆里去拿取火柴棍， 但要满足某些取火柴的条件。 设 A 是先取火柴的一个参加
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者，他必须在这若干堆火柴里的任意一堆里去拿取火柴，至少要拿一根，多则甚 至可以把整堆火柴棍完全拿掉。不过，他只能在某一堆里去拿，而不准同时在两 堆或两堆以上的火柴堆里去取。A 取完后，便轮到 B 去取了，B 也必须按上面的 规定去拿取火柴棍。如此反复，最后谁拿到了火柴棍，谁就算取得了胜利。 这个看来似乎很简单的游戏，却含有非常巧妙的数学原理。如果两人都不懂 其中的巧妙的数学原理，那么胜负就只能凭运气了。若有一人懂得其中的原理， 则胜利常常是属于他的。若两个人都懂得这个原理，则一般来讲胜负就在游戏前 ——刚把火柴分成几堆时便已经决定了。 这就是说是先取者胜还是后取者胜已经 在游戏还没正式开始时就确定了。 分析：当火柴的堆数为二时，即 n , m 这种情况，如果 n m 就是一个不利位置， 如果 n m 是一个有利位置。 对二进制的形式进行分析， 例如 1,1 , 2, 2 , 1, 2, 3 这三个不利位置排成下面的三 个形式： 01 1 1 2 10 10 20 10 11 22
图9
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两枚硬币 有两枚一模一样的硬币，其中一枚保持不动，而另一枚围着它转动，转动时 始终靠着且没有滑动。当第二枚硬币围绕着第一枚硬币转完一圈的时候，它自转 了几圈？
图 10
燃香计时 有两根粗细一样的香，它们烧完的时间都是一个小时，用什么方法能确定一 段长为 45 分钟的时间？
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自然数中的瑰宝 公元前 300 多年，古希腊伟大的数学家欧几里得在他编著的《几何原本》中 有这样一段奇妙的记载： 在自然数中， 我们把恰好等自身的全部真因子之和的数， 叫做“完全数” ，如 6、28、496、8128 这 4 个数就是完全数（至今仅找到 30 个 完全数） 。它们还有更为令人惊叹的特征： (1) 6 2 1 2 2 ; 28 2 2 2 3 2 4 ; 496 2 4 2 5 2 6 2 7 ; (2) 6 1 2 3; 28 1 2
鸡兔同笼问题 头有 45 个，脚有 130 只，算出鸡、兔各几何？ 假设鸡、兔训练有素，一声哨响，鸡都抬起一只脚，兔则全部抬起前腿，则
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还可以看到 65 只脚， 65 减去 45 多出 20 只脚是兔子多出来的， 所以兔子 20 只， 鸡有 25 只。
为什么不够分？ 小英和小兰是同学，在某个星期天各自拿了 30 个鸡蛋去赶集。小英的爸爸 交代说： “30 个鸡蛋都是挑选出来的特别大的，2 只要卖 1 元钱，共卖 15 元。 ” 小兰的爸爸叮嘱说： “30 个鸡蛋都很小，3 只卖 1 元钱就可以了，共卖 10 元。 ” 到了集市，小英把蛋给了小兰，让她代卖。一个顾客问了价格后，买去了全 部 60 个蛋，按每 5 个蛋 2 元计算共付了 24 元。 当小英与小兰分钱时，发现少了 1 元？买主的计算方法错在哪里呢？
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关于魔术方阵
图4
图5
洛书（图 4）中每个圆圈都代表一个 1，则产生图 5 所示的魔术方阵。
图6 1275 年宋朝大数学家杨辉写的《续古摘奇算经》 “九子斜排，上下对易，左 右相更，四维挺进，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足” 。
关于斐波那契数列 斐波那契是意大利数学家，他写了一本数学书，在书中提出了一个很有名的 “关于兔子生兔子的数学问题” 。假定一对小兔子经过一个月以后就能够长成为 一对大兔子，而一对大兔子经过一个月后就能够生出一对小兔子。 1，1，2，3，5，8，13，„„
请吃梨子 在 4 4 的方格阵内，放了 16 个梨子，一个方格放一个。如图 7。请从方格 中取走 6 个梨子，使得方格阵中剩下的梨子每行每列都成偶数个。
图7
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足球 足球一般是用黑白两种颜色的皮子缝制而成的，如果图 8 所示。已知一个足 球上黑色皮子共有 12 块，白色皮子共有多少块？
图8
多瑙河上的薄纱头巾 风光旖旎的多瑙河上，一艘游轮正逆水而上。船上的乘客中有一对恋人亚当 斯和伊丽莎白。游轮徐徐而行，穿过 B 桥，来到 A 桥，两人尽情欣赏着美景。这 时，一阵微风，把伊丽莎白那珍贵的薄纱头巾吹落河中，顺流漂走，他们两人一 时竟未察觉。等他们发觉时，时间已过了 3 分钟。这时亚当斯纵身跳入河中，奋 力划水，顺流向下游追去。巧合的是，当他追上那薄纱头巾时，正好到达 B 桥。 假设 A 桥与 B 桥的距离是 300 米，河水的流速恒定不变，亚当斯在静水中的游 泳速度与游轮这时的静水速度一样。请问河水的流速是多少？ 橫式乘法 下面是一个横式乘法式子，其中 a , b , c 各代表 0~9 中的一个数字；一排数字 上面加一条横线表示由这排数字所拼成的那个多位数，例如 a 是 1，b 是 2，c 是 3，则 abc 就表示 123。现在有 abc cba acbba ，请指出 a , b , c 各是什么数。
耍赖的彼得 彼得在纸板上画了一个十字形， 它是由五个方格组成的。 他说谁能把数字 2， 3，4，6，8 分别填到这五个方格中，使得横行的三数之和与纵列的三数之和相 等，那么他把自己的“法拉利”赛车模型送给谁。他的邻居迈克尔想了一下，就 按要求填写出来了。但彼得说，这组数字太简单了，又换成了 1，3，5，6，7。 迈克尔还是给出了结果。彼得又说数字记错了，应该是 1，2，3，6，7。迈克尔 最终是否得到赛车模型不知道。但迈克尔是怎样填的？
铁匠的难题 铁匠遇上了一件麻烦事情，他需要一块罗大的正方形铁皮，但手头上只有如 图所示的两块小铁皮， 它们都是被剪去了一部分的圆。 虽然剪去的部分比较规则， 都是由四分之一圆弧围成的，而且这里所有的圆弧都有相同的半径，但要用这两 个以圆弧为边界的图形拼出一个以直线段为边界的正方形， 这可能吗？铁匠冥思 苦想，反复比划。突然他灵机一动想到一个方法，不但拼出了一个正方形，一点 铁皮都没剩下， 而且， 他只是在这两块铁皮上沿直线各剪了一刀。 他是怎样剪的？
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7; 496 1 2 3
3 3 3 3
31;
(3) 除 6 外， 28 1 3 ; 496 1 3 5 7 ; (4) 完全数的全部因子的倒数和都等于 2：
1 1 1 1 6: 2 1 2 3 6 1 1 1 1 1 1 28 : 2 1 2 4 14 7 28
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Байду номын сангаас
高斯的巧妙算法
1 2 3 n 1 2 n n 1
计算的由来？
图1
欧拉的七桥问题
图2
图3
德国的一个小城镇哥尼斯堡，有一条河横贯城区，河中心有两个小岛。在当 时有七座桥把这两个小岛和对岸联接起来（见图 2） 。在周末当地居民喜欢去城 里散步买，有人曾想法子从家里出发走过所有的桥回到家，他们想是否能够从某 座桥出发，使得所有的桥都只走过一次。 欧拉把问题转化成了图 3， 他考虑这个图能否使用一笔画成， 如果能够的话， 对应七桥问题也就能解决了。 欧拉先研究了一般能够一笔画成的图应该具有什么 样的性质？他发现能一笔画成的图可以分成两类， 全部点都是偶点或是两个奇点 （欧拉把进出的边总数是偶数的点叫做偶点，把进出的边总数是奇数的点叫奇 点） 。如题一个图能够用一笔画成，那么在这个图上一定有一个点开始画，称作 始点，同时也一定有终止点，称作终点。我们把图上的其他点称作过路点，因为 我们要经过它，它就是有进有出的点，也就是说如果有一个边进入这个点，那么 就一定要有一条边从这点出去，不可能有出无进。否则它就会变为起点，也不可 能有进无出，否则它就变为终点。因此，在过路点进出的边的总数应该是偶数， 即过路点是偶点。
相亲数对 能够整除 220 的全部正整数（不包括 220）之和等于 284；能够整除 284 的 全部正整数（不包括 284）之和等 220。 第一对最小的相亲数（220，284）是数学先师毕达哥拉斯发现的。第二对相 亲数是 1636 年由法国天才数学家费尔马找到的。 第三对于 1638 年被笛卡儿发现 的。第二对最小的相亲数（1184，1210）的发现者是 16 岁的孩子（19 世纪末） 。 1750 年，瑞士伟大数学家欧拉，一个人就找出了 59 个“相亲”数对。迄今 为止，已经找到大约 1200 对相亲数对。 （QQ 群：327088043）
把这几行中的数按相同的数位加起来，所得到的和就写在这一位的下方，看到， 每一位下方都是偶数。 又例如， 我们把 1, 2 , 2, 3 , 1, 3, 4 这三个有利位置按上述方法可排成下面形 式： 001 01 10 11 10 11 21 011 100 112
在这些和中总要或多或少出现奇数。 这是偶然现象还是必然现象？这确实是一个 必然现象。用这样的办法来表示游戏的开始位置时，有利位置总是在和中要出现 奇数，而不得位置则全都是偶数。