3.6矢量的函数之导数

[ ( [ (
)
)
( ) ] ( ) ( )]
u = u k g k 时，根据有限 一般地， 一般地，当自变量 v 有任意增量
微分关于增量的线性性质
可得
F i v l F ′(v; u ) = F ′ v; u k g k = u k F ′(v; g k ) = u k gi k v F i v l F i v l = gi g k u = gi g j u v k v j
l ij i j
( )Leabharlann Baidu
v
k
g =
k
Tij (vl ) vk
g g gk =
i j
T i j v l v
k
( )g g
i
j
gk =
T ′(v ) 共有 8 种分量： 种分量：
T (vl ) T′ = , vk
ij ijk
T′
ij k
T v = , k v
ij l
( )
T′
i jk
=
T i j v l v k
u = u gk
k
的三个分量的三元函数， 函数 = f (v) 仅为 v 的三个分量的三元函数，即
= f (v ) = f (v l )
括号中， 括号中，vl 仅表示 l 取值范围内的三个自变量 v1，v2，v3。 f (v) 对于增量为基矢量 gk 时的有限微分
1 f ′(v; g k ) = lim [ f (v + hg k ) f (v )] h →0 h 1 = lim f v l gl + hδ kl gl f v l gl h →0 h 1 = lim f v l + hδ kl f v l h →0 h
( ),
′ Tijk =
T′
j ik
Tij v l v
k
( ),
j
′ij k = T
l
Tij (vl ) vk
,
′i jk T
Ti j (vl ) = , vk
Ti v = , k v
( )
T ′ik = j
T i j (vl ) vk
其并矢式为
T ′(v ) =
T (v ) T (v ) gj = gj j v v j
( )
矢量 f ′(v )的分量 f i′ 为
f (v ) f v l f i′ = = i v v i
证明
( ) (i = 1,
2, 3)
f i′ 因坐标转换而变化，它满足矢量分量的坐标转换关系 因坐标转换而变化，
′ 利用复合函数求导规则， 利用复合函数求导规则，对 f v i v j
f f v i f β ki ′v k ′ f i k ′ i f = i = i = i β k ′δ j ′ = β j ′ i j′ j′ j′ v v v v v v v
(
)
( )
( ) (
)
( )
F i v l F ′(v ) = gi g j v j
其四种分量形式为
( )
Fi v l F i v l F i (vl ) Fi (vl ) Fij′ = F ′ij = , F ′i j = , F ′i j = , j j v v v j v j
( )
( )
当基矢量转换时，上式满足二阶张量分量的转换关系： 当基矢量转换时，上式满足二阶张量分量的转换关系：
T ′(v; u ) = T ′(v ) u
T , v , T ′(v ) 的并矢式分别为
T = T ij gi g j = Tij g i g j = T i j gi g j = Ti j g i g j
v = v k g k = vk g k
dT T ij v l T ij (vl ) T ′(v ) = gi g j g k = gi g j g k = k dv v vk T (v ) gg =
f i f= i g, v
F i F = i g , v
T i T = i g v
分别为矢量、 阶张量。 分别为矢量、二阶张量和 (n+1) 阶张量。
而
f = f , f = g i v
i
F T = (F ) , F = g v i
i
T T = g v i
i
张量函数的梯度与微分之间的关系： 张量函数的梯度与微分之间的关系：
w = F (v ) = F v l = F i v l gi
l i l 的分量。 式中 F (v ) 是 F (v ) 的分量。当 v 的增量为基矢量 gk 时，F(v)
( )
( )
的有限微分为
F ′(v; g k ) = lim
1 [F (v + hgk ) F (v )] h →0 h 1 i l = lim F v gl + hδ kl gl gi F i v l gl gi h →0 h F i v l 1 i l = lim F v + hδ kl F i v l gi = gi h →0 h vk
( )
f (v ) f ′(v; u ) = f ′ v; u g k = u f ′(v; g k ) = u v k f v l i = g u i v
( ) ( )
k
k
k
比较
f ′(v; u ) = f ′(v ) u
df (v ) f v l i f ′(v ) = = g i dv v
可得
df (v ) f 是矢量， 上式从另一方面证明了 f ′(v ) = 是矢量，其分量 i dv v f i 符合矢量的协变分量的转换关系， 符合矢量的协变分量的转换关系，而 i g 具有对于坐标的 v
不变性
(
)
( ( )) 求导
f i f gi f ′(v ) = i g = v vi f j′ f g j′ = j′ g = v v j′
3.6.4
张量函数的梯度、 张量函数的梯度、散度和旋度
研究自变量为矢量的张量函数（非场函数）。 研究自变量为矢量的张量函数（非场函数）。 3.6.4.1 张量函数的梯度
定义矢量算子 nabla） （ ）
i = i g v
称为导数算子。 称为导数算子。标量函数 f 、矢量函数 F 和 n 阶张量函数 T 导数算子 的梯度
张量分析 及连续介质力学
3.6 矢量的函数之导数
3.6.1 矢量的标量函数
矢量 v 的标量函数 = f (v) 对于增量 u 的有限微分与其 导数的关系为
f ′(v; u ) = f ′(v ) u
式中
df f ′(v ) = dv
v = v gl ,
l
为常矢量， 设基矢量 gk 为常矢量，自变量 v 与增量 u 的分解式为
Fi′ β ik Fk Fk v s Fk v s v l ′ ′ Fi′j′ = j′ = = β ik = β ik = β ik β lj′ Fkl , ′ ′ ′ ′ j′ j′ l j′ v v v v v
′ F ′i j′ = β ki′ β lj′ F ′kl , F ′i j′ = β ik β l j′ F ′kl , ′ ′
T i T = i g v
F F i F i i F = g i = i = i g = F v v v
记作
dF F i divF = F = tr = i = F dv v
3.6.4.3 张量函数的旋度
的张量函数和矢量函数，定义旋度 设 T ， F 分别为矢量 v 的张量函数和矢量函数，定义旋度
3.6.2 矢量的矢量函数
矢量 v 的矢量函数 w = F (v) 对于增量 u 的有限微分与其 导数的关系为
F ′(v; u ) = F ′(v ) u
式中
dF F ′(v ) = dv
为常矢量， 设基矢量 gk 为常矢量，自变量 v 分解式为
v = v l gl
v 的函数 F(v) 仅取决于分量 vl ，可以写作
(
)
[ ( )]
[ ( )]
F ′i′j′ = β ki′ β l j′ F ′kl
并矢形式为
F (v ) F (v ) F (v ) F (v ) F ′(v ) = gj = gj = g j′ = g j′ j j′ v v j v v j′
3.6.3 矢量的二阶张量函数
矢量 v 的二阶张量函数 H=T(v) 的有限微分与导数的关系式为
T × T = g × i = : (T ) v
或
T i T × = i × g = (T ) : v
i
F curlF = × F = g × i = : (F ) = : (F ) v F = i × g i = (F × ) v
i
dT = (T ) dv = dv (T )
3.6.4.2 张量函数的散度
dF = (F ) dv = dv (F )
df = ( f ) dv = dv (f )
的张量函数和矢量函数，定义散度 设 T ， F 分别为矢量 v 的张量函数和矢量函数，定义散度
T T = g i v
i
或
[( [(
) ( )]
) ( )]
式中 v l + hδ kl 表示诸自变量 vl (l=1，2，3) 中，只有 vk 有增 ， ， 量h，其余均不变。根据偏导数的定义，有 ，其余均不变。根据偏导数的定义，
(
)
f v l f (v ) f ′(v; g k ) = = k v v k
即当自变量的增量为常基矢量时， 即当自变量的增量为常基矢量时，标量函数的有限微分是函 数对于该基矢量所对应的那个分量的偏导数。 数对于该基矢量所对应的那个分量的偏导数。 根据有限微分对于增量为线性的性质及以上性质， 根据有限微分对于增量为线性的性质及以上性质，可得