2-4动力有限元法-清华大学于玉贞-2015解析

K i i2 M i
Ci 2ii M i
两组特征方程式
21
2-4 土体动力分析有限单元法
2．阻尼矩阵 瑞利阻尼公式
i
二、特殊处理
α、β如何确定
C M K
j j
1 1 2 2 j i
土坝
地基 基岩 地震波
微分方程
初始条件 边界条件
为简便，以下将“相对”二字省略
坐标：x, y, z 相对位移：u, v, w 相对速度：u, v, w 相对加速度：u, v , w 介质密度：ρ 剪切模量：G 泊松比：ν
动力反应微分方程： 如以位移为基本未知量，则是表示 位移场随时间变化规律的微分方程。 几何物理量
e
整体刚度矩阵 K K e
土坝 地基 基岩 地震波
整体质量矩阵 M M e
e
整体阻尼矩阵
C C e
e
整体地震动 E Ee 荷载系数列阵 e 线性加速度法 基于逐步积分的 整体动力基本方程求解：
Wilson-θ法
Newmark-β法
[ N ] [ N ]u dv
T e T e e
T e T
阻尼力：
e
b－单位体积的阻尼系数
e
u b u dv u

T

b[ N ]T [ N ]ue dv u
b[ N ] [ N ]u dv
e e
土坝 地基
地震动荷载： {l}=[1 0 0]T
u
e

T
ug l dv u [ N ] ug l dv u
T e e

T
u
T e e
g N dv
基岩
地震波
以上三项之和为外力在单元体上所作的虚功W：
u

T e
T T [ N ] [ N ] u dv b [ N ] [ N ] u dv u N dv e e g e e e
T e e
T
D B ue dv
单元体：W＝ΔE
u
[ N ] [ N ]u dv b[ N ] [ N ]u dv u
T e T T e e e e e

g N dv u B D B ue dv e T T
T
二、特殊处理
α、β如何确定
T
C M K
T
T i
i2
i M i
T i
i K i
i C i 2i i M i
T
T i
T i C i i M K i 2i i i2 M i M i
单元刚度矩阵 单元质量矩阵 单元阻尼矩阵 单元地震动 荷载系数列阵
K e B D B dv
T e
土坝 地基 基岩 地震波
M e N N dv
T e
C e b N N dv
T e
Ee N dv
等参元
[N]：形函数矩阵 [B]：应变矩阵
[D]：弹性矩阵
[S]＝[D][B]：应力矩阵
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2-4 土体动力分析有限单元法
2. 基本方程 利用虚功原理建立单元动力基本方程； 只考虑水平向地震动荷载 任意结点虚位移
一、基本格式
土坝 地基
u e
基岩
地震波
单元体内虚位移为 u N ue 虚功原理： W ＝ ΔE
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2-4 土体动力分析有限单元法
一、基本格式
1. 基本概念
2. 基本方程
二、特殊处理
1. 质量矩阵 2. 阻尼矩阵 3. 边界条件
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2-4 土体动力分析有限单元法
二、特殊处理 1. 质量矩阵
协调质量矩阵 M e N N dv
T e T 集中质量矩阵 M eL dv e
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2-4 土体动力分析有限单元法
1. 基本概念
土坝
一、基本格式
地基
基岩
地震波
4、单元动力平衡方程建立：利用虚功原理、最小势能原理或变分法 等，建立单元体的动力平衡关系； 5、整体动力平衡方程建立：将所有单元体的动力平衡关系进行集成， 建立土工结构物和地基的整体动力平衡关系，并考虑边界条件进行修正； 6、线性代数方程组求解：将历时分成若干时段，逐步求解线性方程 组，可解得基本未知量及其它参量。
任取两振型i，j ，相应的特征值分别为ωi、ωj和 λi 、λj，可得：
i j 2 j i 1 1 2 2 j i
2 2 j j ii 2 j i
各阶阻尼比可通过求取特征值来确定，也可根据试验或经验确定
e
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2-4 土体动力分析有限单元法
2. 基本方程 单元动力基本方程 整体动力基本方程
一、基本格式
[ M ]e u e [ C ]e u e [ K ]e u e u g E e
M u C u K u u g E
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2-4 土体动力分析有限单元法
1. 基本概念
土坝
一、基本格式
地基
基岩
地震波
总应力法 方法分类 有效应力法 按两相体理论计算超静孔隙水压力 按经验性公式计算超静孔隙水压力
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2-4 土体动力分析有限单元法
2. 基本方程
一、基本格式
土坝 地基 基岩 地震波
结点信息
坐标：{x}e 相对位移：{u}e 相对速度：{u}e 相对加速度：{u}e
z o
y
x
6
2-4 土体动力分析有限单元法
1. 基本概念
一、基本格式
土坝
动力方程－位移时空分布的微分方程：
地基
2u 2 ( G ) G 2u u g t x 2 2 ( G ) G 2 t y 2w 2 2 ( G ) G w t z 2G 拉梅常数： 1 2
几何条件
基岩
地震波
动力平衡方程 应力应变关系（虎克定律） 只考虑水平向 地震动荷载
z o
y x
u w 体应变： x y z
2 2 2 拉普拉斯算子： 2 2 2 x y z
2
解析解：要求每一点均满足微分方程和定 解条件，仅适用于结构、荷载和边界条件 极其简单的情况
单元内信息 坐标：{x} 位移：{u} 速度：{u} 加速度：{u}
应变：{ε} 应力：{σ}
以结点信息表示单元体内信息：
坐标： x N xe
位移： 速度：
加速度：
应变： 应力：
u N ue u N ue u N ue Bue D Bue S ue
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复杂的情况：有效途径之一是有限单元法
2-4 土体动力分析有限单元法
1. 基本概念
土坝
一、基本格式
地基
基岩
地震波
1、土工结构物空间离散化：将土工结构物和地基分割成在有限个结 点处连接起来的单元的离散体—网格，网格尺寸小于波长的1/12； 2、单元参量近似：对每个单元体，以结点处的某参量（如位移）为 基本未知量，单元体内的参量用结点处参量的某种组合来描述； 3、单元力学特性分析：单元内的其它参量（如应变、应力、速度、 加速度等）用基本参量表示，并代入到相关的公式；
2. 阻尼矩阵
（1）阻尼对动力反应影响很大 （2）结构的阻尼系数确定困难
二、特殊处理
（3）常根据理论与经验相结合的办法求取－如瑞利公式
C M K
优点： （1）简单 （2）使得有阻尼和无阻尼的振型一致 （3）积累了丰富经验
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2-4 土体动力分析有限单元法
2．阻尼矩阵 瑞利阻尼公式
1
土动力学与 土工抗震工程
于玉贞 清华大学水利水电工程系 岩土工程研究所
2
土坝
结构 特性 地基 特性
地震波
地基
基岩
地震 特性
抗震措施 安全评价 地基及土工结构物 动力分析
适用于水平成层地基或土工结构物
结构简化
剪切层 集中质量系 有限单元
求解区域
时域：如逐步积分法 频域：利用傅立叶变换 振型叠加法
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2-4 土体动力分析有限单元法
2. 基本方程 虚位移在单元体内引起的虚应变：
一、基本格式
土坝 地基 基岩 地震波
Bu


e T
e
单元体的应变能的增量ΔE 为
dv u
e

T e
B D Bue dv u
T
B
W ：外力在单元体上所作的虚功 ΔE ：单元体的应变能的增量
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2-4 土体动力分析有限单元法
2. 基本方程 外力在单元体上所作的虚功W包括：
一、基本格式
惯性力： Ωe－单元的体积
u
e

T
u dv u
e

T e
T e
[ N ]T [ N ]ue dv u
[ψ] 为函数ψi的矩阵，ψi在分配给结点 i的区域不为0，其它区域为0
质量插值函数与荷载的插值函数一 致，单元的动能和势能互相协调； 精度较高
分配给结点的区域不能互相交错 －对角阵 简单，对有些问题，如梁、板、壳等， 因可省去转动惯性项，运动方程的自由 度数量可显著减少 采用高次单元时，求取集中质量矩阵较 困难，并可能大大影响精度