对数函数基础运算法则及例题,答案

对数函数的定义：

函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞． 对数的四则运算法则：

若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则

(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a

a a M M N N

=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1log = 对数函数的图像及性质

例1．已知x =4

9时，不等式 log a (x 2 – x – 2)＞log a (–x 2 +2x + 3)成立， 求使此不等式成立的x 的取值范围.

解：∵x =49使原不等式成立. ∴log a [249)49(2--]＞log a )34

92)49(1[2+⋅+⋅ 即log a 1613＞log a 1639. 而1613＜16

39. 所以y = log a x 为减函数，故0＜a ＜1. ∴原不等式可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-<-->++->--322032022222x x x x x x x x ， 解得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧<<-<<->-<2513121x x x x 或.

故使不等式成立的x 的取值范围是)25,

2( 例2．求证：函数f (x ) =x x -1log 2

在(0, 1)上是增函数. 解：设0＜x 1＜x 2＜1，

则f (x 2) – f (x 1) = 212

221log log 11x x x x ---21221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 21122x x x x --⋅ ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴12x x ＞1，2111x x --＞1. 则2

112211log x x x x --⋅＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数

例3．已知f (x ) = log a (a – a x ) (a ＞1).

（1）求f (x )的定义域和值域； （2）判证并证明f (x )的单调性.

解：（1）由a ＞1，a – a x ＞0，而a ＞a x ，则x ＜1. 故f (x )的定义域为( -∞,1)， 而a x ＜a ，可知0＜a – a x ＜a ， 又a ＞1. 则log a (a – a x )＜lg a a = 1.

取f (x )＜1，故函数f (x )的值域为(–∞, 1).

（2）设x 1＞x 2＞1，又a ＞1， ∴1x a ＞2x a ，∴1x a a -＜a-2x a ，

∴log a (a –1x a )＜log a (a –2x a )，

即f (x 1)＜ f (x 2)，故f (x )在(1, +∞)上为减函数.