(完整版)布朗运动以及维纳过程学习难点总结

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1、引言
布朗运动的数学模型就是维纳过程。

布朗运动就是指悬浮粒子受到碰撞一直在做着不
规则的运动。

我们现在用来表示运动中一个微小粒子从时刻到时刻的位移
)(t W 0=t 0>t 的横坐标，并令。

根据的理论，我们可以知道微粒之所以做这种运动，
0)0(=W Einstein 是因为在每一瞬间，粒子都会受到其他粒子对它的冲撞，而每次冲撞时粒子所受到的瞬时冲力的大小和方向都不同，又粒子的冲撞是永不停息的，所以粒子一直在做着无规则的运
动。

故粒子在时间段上的位移，我们可把它看成是多个小位移的总和。

我们根据中心
],(t s 极限定理，假设位移服从正态分布，那么在不相重叠的时间段内，粒子碰撞)()(s W t W -时受到的冲力的方向和大小都可认为是互不影响的，这就说明位移具有独立的增量。

)(t W 此时微粒在某一个时段上位移的概率分布，我们便能认为其仅仅与这一时间段的区间长度有关，而与初始时刻没有关系，也就是说具有平稳增量。

)(t W 2.维纳过程
2.1独立增量过程
维纳过程是典型的随机过程，属于所谓的独立增量过程，在随机过程的理论和应用中起着很重要的作用。

现在我们就来介绍独立增量过程。

定义：是二阶矩过程， 那么我们就称为随机过程}0),({≥t t X t s s X t X <≤-0),()(在区间上的增量。

若对任意的和任意的，个增量
],(t s n )(+∈N n n t t t <<<≤ 100n )
()(,),()(),()(11201----n n t X t X t X t X t X t X 是相互独立的，那么我们就称为独立增量过程。

}0),({≥t t X 我们可以证明出在的条件下，独立增量过程的有限维分布函数族可由增量
0)0(=X 的分布所确定。

)0(),()(t s s X t X <≤- 如果对和与的分布是相同的，R h ∈)()(,0h s X h t X h t h s +-++<+≤)()(s X t X -我们就称增量具有平稳性。

那么这个时候，增量的分布函数只与时间差
)()(s X t X -有关，而与和无关(令便可得出)。

值得注意的是，我们称独立增
)0(t s s t <≤-t s s h -=量过程是齐次的，此时的增量具有平稳性。

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2.2 维纳过程的定义
给定二阶矩过程{}，若满足0),(≥t t W (i) 具有独立增量；
(ii) 对t>,有增量
∀0≥s ；
0)),(,0(~)()(2>--σσ且s t N s W t W (iii) ，0)0(=W 则称此过程是维纳过程。

由（ii ）我们可得出维纳过程增量的分布只依赖于时间差，故维纳过程是齐次的独立
增量过程，并且也服从正态过程。

事实上对任意个时刻（记
)1(≥n n n t t t <<<<...021），把写成
00=t )(k t W )],()([)(11
-=-=∑i k
i i k t W t W t W ,
,,2,1n k ⋅⋅⋅= 我们由（i ）—（iii ）知，它们都是独立的正态随机变量的和，由维正态变量的性
n 质可得出是维正态变量，即是正态过程。

所以其
))(,),(),((21n t W t W t W ⋅⋅⋅n }0),({≥t t W 分布依赖于它的期望函数和自协方差函数。

由（ii ），（iii ）可知，,故维纳过程的期望与方差函数为
),0(~)(2
t N t W σ，，
0)]([=t W E t t D w 2)(σ= 上式中叫做维纳过程的参数，我们通过做实验得出数据值可估计出其大小。

得自协2
σ方差函数为
},min{),(),(2t s t s R t s C W W σ==0
,≥t s 2.3维纳过程的特点
（i ）它是一个(马尔科夫)过程。

故未来推测所需的数据信息就是该过程的当前数Markov 据值；
（ii ）维纳过程具有独立增量。

即该过程在任意一个时间区间上变化的概率分布，与其在其他的时间区间上变化的概率无关；
（iii ）在任何有限时间上，维纳过程的变化服从正态分布，其方差随时间区间长度的增长而呈线性增加。

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其中：，表示时刻和时刻的股票价格，表示均值为，方差为
t S 1-t S t 1-t ),0(~2
σεN t 0的独立正态分布。

股票价格模型我们一般情况下用维纳过程来表达，而随机游走模型
2σ所解释的股价波动走势，从本质上来说，其实就是一个漂移率为的扩散过程。

0 如果我们令 是股价关于时间的函数，那么得随机游走模型：
S
)()(t dZ t dS σ=（2）
上式中表示标准维纳过程。

然而，事实上它仅解释了股价的波动率，仅仅是我们
)(t Z 理想情形下的模型。

漂移率为也就是说，在未来任何一个时刻，股价的均值等于其当前值。

如果我们设0时间区间长度为年，在前一年的股价条件不发生变化的情形下，那么该年度的股价就等1于前一年度的股价均值，在此种情况下，持股人就很难做到持股时间大于年，这显然与1现实生活中的情况不相符。

况且我们有充分理由认为，由于上市公司在不断的经营扩大，所赚取的利润也在不断的增长，所以从长远来看，公司的股价应该呈现出逐渐增长的走势，故漂移率是不可能为零的。

那么我们通过一个一般化的维纳过程就能来解释股票的价格行为（当然该一般化的维纳过程的期望漂移率和方差率是定值），然而由于持股人想要来自股票的期望百分比收益不依赖于股票价格，因此假设期望漂移率为一个常数也是不合乎常理的。

现在我们假设期
望漂移率为股票价格的比例，并且其为一个定值，也就是说股价的期望漂移率为，S α恒等于一个自然数，在几何条件下，它的解释就是股票的期望收益率。

在此假设下，经
α过时间后，的增长均值为，即，其中表示期望算子。

当方
t ∆S t S ∆αt S S E ∆=∆α)()(⋅E 差率为时，则微分形式的模型：
0 Sdt
dS α=可得，式中的表示股票的最初价格，由此可看出，当方差率为时，股
t
e S S α0=0S 0价的利率为，以连续复利的方式增长。

α然而现实生活中，股价的方差率一般是不可能为零的，因此合乎常理的假设应该是股票的百分比收益率的方差不发生变化。

若我们令股价比例变化的方差率为，经过后，
2
σt ∆股价比例变化的方差为，那么事实上股价真正变化的方差为，所以得到股
t ∆2
σt S ∆22
σ价波动走势的模型：
SdZ Sdt dS σα+=（3）
上式中表示标准维纳过程。

我们用随机分析的理论来说，这就是过程。

其中，
Z Λ
O IT 称作漂移系数，称作扩散系数。

方程能够在一定程度上描述股票价格行为。

我
S αS σ)3(们常把称为股价波动率，把称为股价的预期收益率。

σα下面我们先来介绍一下随机分析理论中的引理：
Λ
O IT。