正弦稳态电路的功率、 复功率 、最大功率传输

U2 XL
0
i
容性负载
+ u -
C
PC=UIcos(-90)=0
发出无功
QC =UIsin (-90)= -UI I 2 X C
U2 XC
0
8
电压、电流的有 UR _
•
U
P UI cos URI
•
+
U_
R+ UX_ jX
U X Q UI sin UX I
不明显。因此一般将cos 提高到0.9左右即可。
21
§9-6 最大功率传输
I
有
源 网 络
负 等效电路 载
Zeq
+
•
U OC
ZL
-
Zeq= Req + jXeq， ZL= RL + jXL
Z=Zeq+ZL= (Req+RL) + j(Xeq+XL)
问：Zeq给定，ZL取何值时获得最大功率？
I
U OC
C
P
U
2
(tanφ1
tanφ2 )
+R
U
_
L
C IL
10 103 (tg53.13 tg25.84) 557 F
314 2202
未并电容时：
I
IL
U
P
cos1
10 103 220 0.6
75.8A
并联电容后：
I
P
10 103
50.5A
U cos2 220 0.9
20
若要使功率因数从0.9再提高到0.95 , 试问还应增
•
•
•
•
I UR
称U R 为U 的有功分量
电压三角形
•
•
称U X 为U 的无功分量
•
I
+
•
U_
•
IG
•
IB
•
IG
•
IB
• P UI cosφ UIG U Q UI sinφ UIB
•
•
G jB
•
I
称 IG 为I的有功分量
电流三角形
•
•
称 I B 为I的无功分量
9
|Z|
|Y|
U
I
X B UX IB
p UIcos (1＋cos2 t) 不可逆分量
0
t
UIsin sin2 t 可逆分量
瞬时功率的不可逆分量表明电源提供的能量有一
部分被电路所消耗；可逆分量表明有一部分能量在
电源与二端网络之间来回交换，这是由电路中所含
储能元件的性质决定的。
3
2. 平均功率P
P 1
T p(t)dt 1
T
[UI cos UI cos(t )]dt
的功率因数。
解
+
U_
I
IC
DC
ID
ID
PD UcosφD
1000 220 0.8
5.68A
cosφD 0.8 φD 36.87o
设U 2200o V，则
ID 5.68 36.87o A IC 2200o jC j2.08A
I ID IC 4.54 j1.33 4.73 16.33o A
S UI* U(YU)* UU*Y * Y *U 2
2. 功率守恒
复功率守恒
IU1
S UI* (U1 U2 )I* S1 S2
U_
Z1
U_2
Z2
S P jQ (P1 P2 ) j(Q1 Q2 )
P P1 P2
Q Q1 Q2
有功功率守恒 无功功率守恒
S UI S1 S2 (U1 U2 )I 视在功率不守恒
Q > 0，吸收无功；Q < 0，发出无功
Q UI sin φ I 2 Z sin XI 2
表明电路所吸收或发出的无功功率实际上是电路 中的电抗吸收或发出的无功功率。
6
4.视在功率S
S UI 单位：VA(伏安)
S 表示电气设备的最大容量，反映了电气设备在 额定运行情况下最大的负荷能力。
功率
Pmax
(Req | Z eq
|
Z eq
|
cos
Z
U
2 OC
| cosZ )2 ( X eq | Zeq
| sin Z )2
例电路如图所示，求：1)ZL=5时，消耗的功率； 2）ZL为纯电阻，ZL=？可获得最大功率； 3）ZL可任意改变，获得的最大功率？
j5 I
解 1)ZL=5，
5 +
U_ 10∠0o V
I1
L 1 | Z |2 R2 1 502 302 40 0.127H
314
314
解法3
| Z | U 50 50Ω I1
cos P 30 0.6
UI 501
R Z cos 50 0.6 30
XL | Z | sin 500.8 40Ω L 0.127H
12
§9-5 复功率
(Req RL )2 ( X eq X L )2
22
I
Zeq +
•
U OC -
I
U OC
(Req RL )2 ( X eq X L )2
ZL
P
RLI 2
(Req
RLU
2 OC
RL )2 ( X eq
X L )2
讨论：ZL=RL+jXL获得最大功率的条件？
1）讨论 ZL=RL+jXL可任意改变的情况
加多少并联电容，此时电路的总电流是多大？
cos φ1 0.9 φ1 25.84o cos φ2 0.95 φ2 18.19o
C
P
U
2
(tgφ1
tgφ2
)
103μ
F
10 103
I
47.8A
220 0.95
cos 提高后，线路上总电流减少，但继续提 高cos 所需电容很大，增加成本，总电流减小却
=u-i 称为功率因数角。
对于无源网络，功率因数角 就等于其阻抗角。 当无源网络不含受控源时，| |≤90°，电路吸收有功 功率；当无源网络含有受控源时，有可能会出现| |
> 90°，此时电路发出有功功率 。
5
3.无功功率Q
Q UI sin φ 单位：var (乏)
Q 反映了电源与电路之间能量交换的最大速率， 其大小决定了电源与电路之间能量交换的规模。
Pmax
U
2 OC
4Req
102 5W 45
27
• 下次课内容： • 第10章 含有耦合电感的电路
10-1 ~ 10-3
作业：9-10，9-22，9-27
28
① 先假设RL不变，XL可变。
当XL = -Xeq时，Z＝Req+RL，P达到最大。
Pmax
RLU
2 OC
(Req RL )2
23
② 再讨论RL也改变时，P 的最大值。
当XL = -Xeq时，Z＝Req+RL
P
RLU
2 OC
(Req RL )2
当RL= Req 时，
Pmax
U
2 OC
4Req
ZL获得最大功率的条件：
14
3. 功率因数的提高
功率因数：
cos P
S
功率因数反映了用电设备的有功功率占供电设备 视在功率的比重。
一般用电设备多为感性负载（可等效为电阻和电 感的串联电路），导致电路的功率因数较低。
异步电机 空载 cos =0.2~0.3
满载 cos =0.7~0.85
日光灯
cos =0.45~0.6
P S cos
之间 Q S sin
关系
S P2 Q2
S Q
P 功率三角形
7
R、L、C元件的有功功率和无功功率： i
+ u
R PR =UIcos0 =UI=I2R=U2/R
-
QR =UIsin0 =0
i
感性负载
+ u -
L
PL=UIcos90 =0
吸收无功
QL =UIsin90 =UI
I2XL
R S UI 501 50VA
L Q S 2 P2 502 302
40var
P 30 R I 2 1 30
XL
Q I2
40 1
40
L X L 40 0.127H
100
11
解法2
R
P I2
30 12
30Ω
| Z | U 50 50Ω 又 | Z | R2 (L)2
第二种分解方法
1
第一种分解法： p(t) UI[cos φ cos(2t φ)]
p UIcos 恒定分量
0
t
UIcos(2t－ ) 正弦分量
p 有时为正, 有时为负： p > 0，电路吸收功率 p < 0，电路发出功率
表明电源和二端网络之间存在能量交换的现象。
2
第二种分解法：
p(t) UI cos φ(1 cos 2t) UI sin sin 2t
15
功率因数低带来的问题：
1)不能充分利用供电设备的容量。
P =S，传送P 的大小取决于 的大小。
2)线路上的电压损失和功率损耗大。
I=P/(U) 当电源向负载传送相同的功率P时，越低，I越大，
因此线路上的电压损失和功率损耗也越大。
解决办法： 1）高压传输 2）改进自身设备 3）并联电容，提高功率因数。
R
G
UR
IG
相似三角形
S
Q
P
5. 正弦交流电路功率的测量
同名端 ﹡ i2
电压 线圈
i
*
W *
﹡
+
~U ~ I
**
i1
电流 u
R
线圈 -
Z
单相功率表
R>>L W : P UI cos
10
例 三表法测线圈参数。 已知电源 f=50Hz，且测得
•
I A
+
U V
_
* *W
Z
U=50V，I=1A，P=30W。 解法1
RL= Req XL = -Xeq
ZL= Zeq*
—— 共轭匹配
24
2）讨论阻抗模|ZL|可变，阻抗角 不变的情况。
I
Zeq +
•
U OC -
I
U OC
ZL
(Req RL )2 ( X eq X L )2
ZL ZL Z ZL cosZ j ZL sin Z
P Re[Z L ] I 2
T0
T0
UI cos φ
P UI cosφ 单位：W（瓦）
P表示电路实际消耗的功率，也称为有功功率。
P UI cos φ I 2 Z cos RI 2
表明电路所吸收的有功功率实际上是电路中的电 阻消耗的功率。
4
cos 称为功率因数，记为：
纯电阻负载： =1 纯电抗负载： =0
一般负载：0≤≤1
§9-4 正弦稳态电路的功率
I
+
无源
U
线性
-
网络
u(t) 2U cost i(t) 2I cos(t φ)
φ u i
1. 瞬时功率p(t)
p(t) u(t)i(t) 2U cost 2I cos(t φ)
UI[cos φ cos(2t φ)] 第一种分解方法
UI cos φ(1 cos 2t) UI sin sin 2t
1. 复功率
为了用相量 U和 I计算功率，引入“复功率”。
I
+
U
_
负 载
S defUI* 单位：V·A
S UI u i UIφ Sφ
UIcosφ jUIsinφ P jQ
复功率是一个复数，它的模是视在功率，辐角是 功率因数角，实部是有功功率，虚部是无功功率。
13
复功率的计算：
S UI* ZI I* ZI 2
ZL
I 100o 0.894(26.6o )A 5 j5 5
P I 2 RL 0.8942 5 4W
26
j5 I
5 +
U_ 10∠0o V
2)当 ZL RL 5 2时，7.获07得 最大 功率
ZL
Pmax
|
Z eq
|U
2 OC
(Req
|
Z eq
|) 2
X
2 eq
4.14W
3)当ZL 5 时j5，获得最大功率
|
ZL
|
cos
Z
U
2 OC
(Req | Z L | cosZ )2 ( X eq | Z L | sin Z )2
dP d | ZL
|
(|
Z eq
|2
|
ZL
|2
)
cos
Z
U
2 OC
[(Req | Z L | cosZ )2 ( X eq | Z L | sin Z )2 ]2
0
25
当|ZL| = |Zeq|时，P达到最大，称为模匹配。
cosφ cos[0o (16.33o )] 0.96
19
例2已知：f=50Hz, U=220V, P=10kW, cos1=0.6，要 使功率因数提高到0.9, 求并联电容C，并联前后电路
的总电流各为多大？
I
IC
解 cos φ1 0.6 φ1 53.13o
cosφ2 0.9 φ2 25.84o
16
分析 特点
I
+R U _L
IC
IL C
1 2 I
U
IC
IL
并联电容后，负载的电压和电流不变，吸收的有功
功率和无功功率也不变，即负载工作状态不变。但
电源向负载输送的无功减少了，减少的这部分无功
由电容“产生”来补偿，使感性负载吸收的无功不
变，而电路的功率因数提高了。
17
补偿电容大小的确定：
IC IL sin 1 I sin 2
I
P
U cos2
,
IL
P
U cos1
IC
P U
(tan1
tan2 )
CU
1 2 I
U
IC
IL
C
P
U
2
(tan1
tan2 )
无功 补偿
欠：<1 全: =1(电容设备投资增加,经济效果不明显)
过: <1(又由高变低，但电路性质不同)
18
例1 已知电动机的额定功率PD=1000W，电源电压
U=220，f =50Hz，C =30F，cosD=0.8，求负载电路