本章介绍了线性方程组有解的充要条件和求解的方法

本章介绍了线性方程组有解的充要条件和求解的方法；为了在理论上深入的研究与此有关的问题，本章还引入了向量和向量空间的基本概念，介绍了向量的线性运算，讨论向量间的线性关系，向量的内积等有关概念和性质，并在此基础上，研究线性方程组解的性质和解的结构等问题。

一、一、线性方程组

1、Cramer法则

教材p64，定理2.1

2、线性方程组有解的判别定理

教材p72，定理2.3

3、线性方程组的消元解法

步骤：（1）对线性方程组的增广矩阵施以初等行变换，将其化为阶梯型矩阵

（2）如果系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等，表明方程组无解；

如果相等，则表明有解，继续对阶梯型矩阵进行初等行变换，求出

方程的解。【详见p68】

初等行变换：

（1）（1）交换两方程的位置；

（2）（2）用一个非零数乘某一方程；

（3）（3）把一方程的若干倍加到另一方程去

4、消元法与Cramer法则的异同：在条件的限制上，Cramer法则仅适用于

方程数与未知数相等并且系数行列式不为零的情况，而消元法对此没有限制。即便是满足Cramer法则的要求，用消元法可以区分方程组无解还是有无穷多解，而Cremer法则却不能区分

二、二、向量及向量间的线性关系

（一）向量的定义

1、向量、行向量、列向量【教材p77，定义2.1】

2、零向量【教材p78,定义2.2】

3、向量的相等【教材p78,定义2.3】

4、向量的加法、减法【教材p78,定义2.3】

5、数乘向量【教材p78,定义2.5】

6、n维向量空间【教材p78,定义2.6】

7、n维向量空间的子空间【教材p78,定义2.7】

（二）向量间的线性关系

1、线性组合

（1）一个向量可表为一个向量组的线性组合，或称此向量可由此向量组线性表出【教材p80,定义2.8

（2）一个向量可表为一向量组的线性组合的充要条件：由它们做系数及常数项组成的线性方程组有解【教材p81】

（3）几个结论

a、n维零向量是任一n维向量组的线性组合

b、任一n维向量可由n 维基本单位向量组线性表示

c、向量组中的任一向量可由此向量组线性表示

2、向量组的线性相关与线性无关

（1）向量组的线性相关与线性无关的定义【教材p82:定义2.9,2.10】

(2)几个充要条件

Ⅰ向量组线性相关的充要条件由它们做系数组成的齐次线性方程组有非零解【教材p83】

Ⅱ向量组线性无关的充要条件由它们做系数组成的齐次线性方程组仅有零解【教材p83】

Ⅲ一个向量组线性相关的充要条件是由它们做系数组成的齐次线性方程组的系数行列式等于零【教材p83】

Ⅳ一个向量组线性无关的充要条件是由它们做系数组成的齐次线性方程组的系数行列式不等于零【教材p83】：

Ⅴ一个向量组线性相关的充要条件是此向量组中至少有一个向量可以表为其余向量的线性组合【教材p85：定理2.6】

Ⅵ一个向量组线性无关的充要条件是此向量组中每一个向量都不能表为其余向量的线性组合【教材p86：定理2.6 的推论】

Ⅶ若一向量可由一向量组线性表出，则表示法唯一的充要条件是此向量组线性无关

三、向量组

（一）向量组的极大无关组

1、向量组的极大无关组的定义【教材p89:定义2.11】

2、两向量组的等价【教材p90:定义2.12】

相关结论：

3、向量组和它的极大无关组等价

4、向量组的任意两个极大无关组之间等价

5、如果向量组s ααα,,,21 可由向量组t βββ,,,21 线性表出，并且s>t ，则向量组s ααα,,,21 线性相关。

6、如果向量组s ααα,,,21 线性无关，并且可由向量组t βββ,,,21 线性表出，则 s ≤t

7、两等价的并且都线性无关的向量组所含向量个数相同

8、一向量组的任意两个极大无关组所含的向量个数相同

由结论8，一向量组的极大无关组所含向量的个数是此向量组的一个重要特征，为了描述此特征，我们引入向量组的秩的概念：

（二）向量组的秩

1、定义：向量组的秩就是其极大无关组所含向量的个数

2、规定：由零向量组成的向量组的秩为零

3、一向量组线性无关的充要条件它的秩等于它所含向量的个数

4、若两向量组等价，则它们的秩相等

5、矩阵的行秩与列秩的定义，分别为行向量组的秩与列向量组的秩

6、初等变换不改变矩阵的行秩与列秩

7、矩阵的行秩与列秩相等且即为矩阵的秩

四、线性方程组解的结构

（一）齐次线性方程组解的结构

1、齐次线性方程组解的性质：齐次线性方程组的解的线性组合仍是该齐次线性方程组的解

2、齐次线性方程组的基础解系的定义：解向量组的一个极大线性无关组

3、求齐次线性方程组的基础解系【教材p96:定理2.13】

（二）非齐次线性方程组解的结构

1、非齐次线性方程组解的性质【教材p100】

2、求非齐次线性方程组的基础解系【教材p100:定理2.14】

五、标准正交基

（一）向量内积

1、n R 的基【教材p102:定义2.16】

2、n R 的向量在某一组基下的坐标【教材p102:定义2.17】

3、向量的内积【教材p103:定义2.18】

4、向量内积的性质【教材p103】

5、向量的长度【教材p104:定义2.19】

6、向量长度的性质【教材p104】

7、单位向量与向量的单位化【教材p104】

（二）正交向量组

1、向量正交的定义：若两向量内积为零，则称两向量正交【教材p104:定义

2.20】

2、正交向量组的定义：【教材p104:定义2.21】

3、正交向量组的性质：正交向量组线性无关

4、标准正交基【教材p105:定义2.22】

5、向量组的正交化——施密特正交化法：从一个线性无关的向量组出发，求一个与之等价的正交向量组的方法【教材p106:定理2.16】

（三）正交矩阵

1、正交矩阵的定义：【教材p109:定义2.23】

2、正交矩阵的性质：

（1）n 阶实矩阵A 为正交矩阵的充要条件是A 可逆，并且A A T =.

（2）n 阶实矩阵A 为正交矩阵的充要条件是.E AA T =

（3）如果A 是正交矩阵，则1*,-A A 也是正交矩阵

（4）如果A ，B 均为n 阶正交矩阵，则AB 也是n 阶正交矩阵

（5）如果A 是正交矩阵，则det A ＝－1或1