机械工程测试技术论文综述

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傅里叶变换、测不准原理、HHT应用论文综述

2011级机电一体化二班 20116347 舒梦江

摘要：从对傅里叶变换的局限性分析入手,揭示了窗口傅里叶变换、小波变换和分数傅里叶变换的出现是傅里叶变换本身发展的必然,阐明了其改进方法产生的原因及其优缺点,分析了其改进方法与傅里叶变化的关系,这些有助于加深对傅里叶变换的认识。

关键词：傅里叶变换的局限；小波变换；测不准原理；HHT的应用

0引言

傅里叶变换是一个十分有用的工具,无论在一般的科学研究中还是在工程技术应用中,它都发挥着基本工具作用[1]。傅里叶分析方法早在19世纪20年代初便成功地应用于光学领域成为现代光学一个重要分支———傅里叶光学,且成为光学信息处理的重要理论基础[2]。随着它的应用领域的不断扩大,其局限性就逐渐暴露出来了,主要表现在:(1)非局域性[3];(2)光学傅里叶变换需要物在透镜的前焦面才能在透镜后焦平面上准确频谱[4]。尤其是它的非局域性缺陷严重限制了它的应用范围。这些局限性迫使人们去寻找一些改进方法,Gabor变换[5]、Morlet小波变换[6]以及分数傅里叶变换[7]这几种有效的改进方法就是在这种背景下产生的,这些改进方法在工程技术中已得到了广泛的应用[8,9]。因此小波变换、分数傅里叶变换受到广大理论研究和工程技术人员的欢迎。

1傅里叶变换的特点及其局限性

设函数f(t)在(- ∞,+ ∞)内有定义,且使广义积分

=)(

F i-

)

(（1）

t

dt

e

f

w

与 dw e w F t f i )(21)(π

= （2） 都收敛,则称(1)式定义的广义积分为函数f(t)的傅里叶变换,记为F{f(t)},(2)式定义的广义积分为逆傅里叶变换,记为F-1{F(ω)}。傅里叶变换可以完成从时域到频域的转换(正变换),也可以完成从频域到时域的转换(逆变换),但不能同时具有时域和频域信息。其核函数是ei ωt,由于三角函数具有填满整个空间的特性,其在物理空间中是双向无限延伸的正弦波,在积分变换中体现为积分范围从+ ∞到- ∞。因此,傅里叶变换是先天的非局限性,它对信号f(t)中体现任何局部信息处理都是相同的。而事实上,工程技术中的许多信号,如:语音信号、地震信号、心电图和各种电脉冲,他们的信号值只出现在一个短暂的时间间隔Δt 内,以后快速减为零,Δt 以外是未知的,可能为零,也可能是背景噪音,如果用(1)式从信号中提取谱信号F(ω),就要取无限的时间量,使用过去的及将来的信号只为计算单个频谱,不能反映出随时间变化的频率,实际上我们需要的是确定的某个时间间隔内的频谱。这就使人们想到改进傅里叶变换使其能用来处理某个确定时间范围内的信号。Gabor 提出的窗口傅里叶变换就是一个有效的方法。另外,

傅里叶变换之所得到广泛应用与透镜能实现傅里叶变换是分不开的。由公式 00)(20001-000),()

22(),(dy dx e y x t f i y x Ae y x U f f y y x x f i f f f d f i f f f +-⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=λπηλ （3）

其中物平面为(x0,y0),焦平面为(xf,yf),d0为物距,d1为象平面。要使Uf(xf,yf)=F{t0(x0,y0)},即准确实现傅里叶光学变换,只有在d1=d0=f 时才能实现,否则将出现位相弯曲。并且,只有正透镜才能实现傅里叶变换,这些限制给工程技术中无疑增加了困难。这使得人们不得不寻求新得的方法,分数傅立叶变换不要求严频谱面,可根据需要在既包含空域信息也包括空频域信息的平面上进行处理,这使光学信息处理更具灵活性。

2小波变换是傅里叶变换本身发展的必然性

为了弥补傅里叶变换的非局域性缺陷,我们需要引入一个具有局部特性的变换。Gabor 提出的有效办法是在傅里叶中加一个窗函数ω(t)[10]:

dt t t w e t g wt G i )()()(00-=-+∞∞- （4）

(4)式定义的变换称为窗口傅里叶变换或称Gabor 变换,也称短时傅里叶变换。从(4)式可以看出窗口傅里叶变换中同时出现了频率ω和时间t0,这是与常规傅里叶变换的一个重要区别。在常规傅里叶变换中,时间变量和频率变量分别出现在信号发f(t)和它的频谱F(ω)中。正是t0和窗口宽度Δω使得这个变换具有局部处理的功能。改变t0值,窗口就在时域中移动得到不同区域的信息,这在一定程度上弥补了傅里叶变换的非局域性缺陷。窗口傅立叶变换是一种有效的时频分析方法。但由于它受Heisenberg 测不准原理[11](它的关系为ΔωΔw ≥1/π)的极限制约,且其时频窗口的大小固定不变,没有窗口的自适应性,不能很好地使用于分析多

尺度信号和奇异信号;其次,窗口傅立叶变换的离散形式没有正交展开形式,难以实现快速算法,这些缺点大大限制了它的应用。Morlet首先提出的小波变换恰恰在这些方面具备比短时傅里叶变换更强能力。

3社会现象中“测不准原理”无处不在测度行为与被测度物之间往往会产生相互作用和相互干扰,因此某些物理量很难通过仪器测度的方法得到准确的测度,这就是在自然科学中的“海森堡测不准原理”(Heisenberg uncertainty principle)。

在人类的经济活动和社会生活中,测度行为(测度器具)与被测度物之间相互影响的现象广泛存在如,经济核算指标与测算物之间往往都存在一种相互影响的“测不准现象”,戴利举了一个很形象的例子:对纺织产品进行核算时,如果用长度来衡量那么织物就会变窄、如果用面积来衡量那么织物就会变薄、如果用重量来衡量那么织物就会变厚。也就是说:无论采用什么样的指标,最终都会偏离最初所设计的评价尺度。其实,测度行为(测度器具)与被测度物之间相互影响的“测不准”现象又何止存在于物理学、经济学之中呢,几乎可以说在人类的社会生活中比比皆是、俯拾皆是。戴利还举了另外一个例子:现今的大学教授,越来越多的人致力于越来越短的论文、合著的现象也越来越普遍,因为现在衡量学术水平的指标是“出现姓名的出版物数量”而不是“内在理论知识的发现与传播”。同样,我们也可以在身边找到很多这样的事例。比如:

测不准原理使GDP偏离真正目标戴利关于经济增长的这一认识是一针见血的、同时也是深省的。对这些年来发生在我们身边的事物稍微反省一下“毋庸置疑GDP增长是各个经济主体、各级领导业绩评价的主要指标追求,其结果不仅带来了高速的经济增长,同时也带来了不计后果的资源耗竭、生态环境破坏、安全事故频发、贫富差距扩大及弱势群体得不到保障等等。其实,这就是“测不准原理”在现实经济生活中的体现:本意是把“GDP增长”作为“社会成员生活质量改善和社会发展”的衡量标准,却由于人们的关注点集中到了“GDP增长”方面、反而使得“发展”过程偏离了真正的目标。

4 HHT方法在研究地震旋回体中的应用

地震旋回体的研究是依靠地震资料的时频特征研究旋回体的构造特征、内部结构和物质成分,从而在地震剖面上形象地划分地震旋回特性、指出层理结构、恢复古地貌,并以此来分析沉积环境、推测物源方向,为开展精细的油藏描述提供可靠的依据。用时频特征来刻画信号特征的研究由来已久。国外。比r、ville、wigner、Page等做了许多开创性的工作,国内也有不少研究人员将时频分析技术用于研究地震旋回体,主要集中在用各种谱分析方法(短时傅里叶变换、。bo:变换、小波变换、魏格纳-维尔分布、。hen类分布、s变换)将地震信号转