第一节 角速度和角加速度

第一次课：2学时

1 题目：§3.1 角速度和角加速度

§3.2 刚体转动的动能定理

2 目的：1）掌握描述转动物体性质的主要参量。

2）转动问题求解。

一、引入课题：

若物体的大小和形状不能忽略时，不能将物体简化为质点。在许多情况下，固体在受力和运动时，其体积和形状的变化很小，在这种情况下，可以略去固体的大小和形状的变化，引入理想模型――刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体。

二、讲授新课：第三章刚体的定轴转动

§3.1 角速度和角加速度

一、刚体

刚体是受力时形状和体积不改变的物体。

特点：刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变。

平动：刚体上任意两点的连线，在运动过程中始终保持平行

的运动。

刚体的基本运动转动：刚体上所有的点都绕某一条直线作圆周运动，该直线

称为刚体转轴。

例：钢铁厂中钢水包的运动即平动。其

特征是物体上各点的轨迹相互平行，运

动状态（位移，速度，加速度）完全相

同。因而作平动的物体，可用其上任意

一点的运动来代表整个刚体的运动，可

以把其作为质点问题来处理。

转动分定轴转动(如机器上的某个转动部件)、定点转动(如陀螺的运动)和平面运动 (如车轮的运动)。

我们主要讨论刚体绕固定轴的转动。

一般的刚体运动可以分为平动和转动的叠加。 二、角量和线量的关系

我们可以同时用角量和线量来描述刚体定轴转动问题 (运动学问题) 1）描述转动的角量

p 在转动平面内绕o

转动平面：过刚体上某点p 垂直于转轴平面。 转动中心：转动平面与轴的交点 o ①角位置： θ （运动方程)

②角位移： 规定：沿顺时针方向转动的角位移取负值。

在SI 中，角坐标和角位移的单位是弧度，符号为rad 。 ③角速度： ω (矢量) 大小：

方向：沿轴(指向由右手定则确定)

在SI 中，角速度的单位是弧度每秒，符号为

。 意义：描述转动快慢的程度 ④角加速度：α (矢量)

大小:：

方向：沿轴的方向

当α与ω 同向时，加速转动；α 与ω方向相反时，减速转动。 意义：描述角速度变化快慢的程度

在SI 中，角加速度的单位是弧度每二次方秒，符号为

α =

d ω d t

d 2θ

d t 2

= ω = d θ

d t

()()

t t t θθθ∆=+∆-()t θθ=1

rad s -⋅2

rad s -⋅θx

r υ

2 角量和线量的关系 (1) p 点的线速度 v r ω=⨯

r 是p 点的矢径(由转动中心o 引出) (2) p 点的线加速度 ()d r dv d dr a r dt dt dt dt

ωωω⨯=

==⨯+⨯ a = α ⨯ r + ω ⨯υ

切向加速度： t dv d a r r dt dt

ωα=== a t = α⨯r

法向加速度： 2

2n v a r r

ω== a n = ω ⨯υ

三、 固体的定轴转动

转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动。转动又分定轴转动和非定轴转动。

1) 匀速转动：

α= 0 ω = 定值 θ - θ0 = ω t 2) 匀加速转动：

α= 定值 ω = ω0 +α t

θ - θ0 = ω0t + 1/2 α t 2 ω2 - ω02 = 2α (θ - θ0)

s r θ

=r υω

=t a r α

=2

n a r ω=

例3-1 已知刚体转动的运动学方程

2

d 3d θ

ωBt t

=

=在上式中，A 为无量纲的常数，B 为有量纲的常量。求：(1)角速度；(2)角加速度；(3)刚体上距轴为r 的一质点的加速度。 解： (1)由角速度定义式，得

2d 3d θ

ωBt t

=

=(2)将ω对时间 t 求导数，得角加速度

d 6d ω

a Bt t

=

=(3)距轴为r 的一质点的切向加速度

t 6a r Brt

α==该质点的法向加速度

224

n ω 9a r B rt ==该质点的加速度的大小

a ==该质点的加速度的方向

3n t 3tg 2

a Bt

a ϕ==（ 为加速度与速度的夹角 ）

ϕ