数学建模_投资最优问题

数学建模一周论文课程设计题目：最优投资方案

1：吴深深学号：201420181013 2：许家幸学号：201420180422 3：王鑫学号：201420181220 专业软件工程

班级1421801Z

指导教师朱琳

2016 年 6 月9 日

摘要

本文主要研究银行投资受益最优问题，根据投资证券的种类、信用等级、到期年限、到期税前收益等的具体情况，根据线性规划的方法分析出数学模型，并且运用Lingo软件进行编码求解。

根据问题一、根据此模型能够得到具体的解决方案，问题二、三都是根据问题一的模型做具体约束条件的变化，从而求出最优解。

此模型适用于一般简单的银行投资问题。这个优化问题的目标是有价证券回收的利息为最高,要做的决策是投资计划。即应购买的各种证券的数量的分配。综合考虑：特定证券购买、资金限制、平均信用等级、平均年限这些条件，按照题目所求，将决策变量、决策目标和约束条件构成的优化模型求解问题便得以解决。

但是本模型不适合解决情况过于复杂的银行投资问题。

关键字：最优投资线性规划Lingo求解

一、问题重述

某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：

政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元，所购证券的平均信用等

级不超过1.4（数字越小，信用程度越高），所购证券的平均到期年限不超过5年。

二、模型假设

假设:

1.假设银行有能力实现5种证券仸意投资；

2.假设在投资过程中，不会出现意外情况，以至不能正常投资；

3.假设各种投资的方案是确定的；

4.假设证券种类是固定不变的，并且银行只能在这几种证券中投资；

5.假设各种证券的信用等级、到期年限、到期税前收益是固定不变的；

6.假设各种证券是一直存在的。

三、符号约定

符号含义

X i取1-5，表示从A..E中证券的投资额（百万）i

c

i i取1-5，表示从A..E中证券的平均信用等级

d

i i取1-5，表示从A..E中证券的到期时间

b i取1-5，表示从A..E中证券的税前收益率

i

四、问题分析

综合分析：这个优化问题的目标是有价证券回收的利息为最高,要做的决策是投资计划。即应购买的各种证券的数量的分配。综合考虑：特定证券购买、资金限制、平均信用等级、平均年限这些条件，按照题目所求，将决策变量、决策目标和约束条件构成的优化模型求解问题便得以解决。

政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元，所购证券的平均信用等级不超过1.4（数字越小，信用程度越高），所购证券的平均到期年限不超过5年。

问题一:若该经理有1000万元资金，应如何投资? 针对这个问题，只需要限制投资综合小于等于1000即可。

问题二：如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？针对这个问题，我们在问题一的基础上把金额增加100万，再考虑贷款利率和证券到期年限时间问题更改目标函数即可。

问题三：在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？此问题树模型

数据的更改，不用更改模型，直接更换数据重新求解即可。

五、模型的建立

根据问题的综合分析 设i X (i =1…5)表示从A..E 中证券的投资额（百万），

i c (i =1…5) 表示从A..E 中证券的平均信用等级，i d (i =1…5)

表示从A..E 中证

券的到期时间，i b (i =1…5) 表示从A..E 中证券的税前收益率。

所以，在i X >0的情况下，政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元的约束是2X +3X +4X

4 ；所购证券的平均信用等级不超过1.4（数字

越小，信用程度越高）的约束是

5

i i

5

i

i

X 1.4X

i

c

≤∑∑既是55

i i i

i

X 1.4X i c ≤∑∑；所购证券的

平均到期年限不超过5年的约束是

5i

i

5

i

i

X d

5X

i

≤∑∑ 既是55

i i i

i

X d 5X i ≤∑∑；而整个问

题就是求5

i 223344i

X 0.5(X b +X b +X b )i b -∑ 的最大值。

问题一：若该经理有1000万元资金，增加约束条件5

i i

X 10≤∑即可，最终

模型的确立为：

5i 223344i

2345

i i 5

i 55

i i i 5i i i

i 5

i 55

i

i i 5

i i

i i

i

max X 0.5(X b +X b +X b )X X X 4,X 10,X d . 5 X d 5X X X 1.4X 1.4X X X 0i i

i i

i b s t c c -⎧⎪⎪

++≥⎪⎪≤⎪⎪⎪⎪⎪≤≤⎨⎪⎪⎪⎪⎪≤≤⎪⎪⎪⎪>⎩∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑目标函数： =或者，

或者

问题二：受益增加100万元，把问题的一的约束条件换为5

i i X 11≤∑ 即可。

最终模型的确立为：

5

i 223344i 2345

i i 5

i 55

i i i 5i i i

i 5

i 55

i

i i 5

i i

i i

i

max X 0.5(X b +X b +X b )

X X X 4,X 11,X d . 5 X d 5X X X 1.4X 1.4X X X 0i i

i i

i b s t c c -⎧⎪⎪

++≥⎪⎪≤⎪⎪⎪⎪⎪≤≤⎨⎪⎪⎪⎪⎪≤≤⎪⎪⎪⎪>⎩∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑目标函数： =或者，

或者

问题三: 目标函数的系数和个别约束条件的系数发生改变，不必改变模型，模型与问题一一致。