函数的极值和最值(讲解)

函数的极值和最值

考纲要求】

1.掌握函数极值的定义。

2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.

3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值

4.会求给定闭区间上函数的最值。

知识网络】

【考点梳理】

要点一、函数的极值

函数的极值的定义

一般地，设函数f (x) 在点x= x0及其附近有定义，

(1)若对于x0附近的所有点，都有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f (x)的一个极大值，记作y极大值= f (x0) ；

(2 )若对x0附近的所有点，都有f (x) f(x0)，则f(x0)是函数f(x) 的一个极小值，记作y极小值= f (x0).

极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.

要点诠释：

求函数极值的的基本步骤：

①确定函数的定义域；

②求导数f(x) ；

③求方程f(x)=0的根；

④检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则 f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)

要点二、函数的最值

1.函数的最大值与最小值定理

若函数y= f(x)在闭区间［a,b］上连续，则f(x)在［a,b］上必有最大值和最小值；在开区间(a,b)内连续的函数f (x)不一定有最大值与最小值.如f(x)=1(x0).

x

要点诠释：

①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。

②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。

2.通过导数求函数最值的的基本步骤：

若函数y= f (x)在闭区间［a,b］有定义，在开区间(a,b)内有导数，则求函数y = f(x)在［a,b］上的最大值和最小值的步骤如下：

(1)求函数f (x)在(a,b)内的导数f(x)；

(2)求方程f(x)=0在(a,b) 内的根；

(3)求在(a,b)内使f(x) = 0的所有点的函数值和f (x)在闭区间端点处的函数值f(a)，f(b)； (4)比较上面所求的值，其中最大者为函数y = f (x)在闭区间［a,b］上的最大值，最小者为函数y = f (x)在闭区间［a,b］上的最小值.

【典型例题】

类型一：利用导数解决函数的极值等问题

例 1.已知函数f(x)=mx3+3x2-3x,m R.若函数f (x)在x = -1处取得极值，试求m的值，并求f (x)在点M(1, f (1))处的切线方程；

【解析】f '(x) = 3mx2+6x -3,m R.

因为f (x)在x = -1处取得极值

所以f'(-1)=3m-6-3=0

所以m=3。

又f (1)= 3, f '(1)= 12

所以f (x)在点M (1, f (1))处的切线方程y -3 =12(x -1) 即12x-y-9=0.

举一反三：

【变式1】设a为实数，函数f (x)=e x -2x+2a,x R．

(1)求f( x) 的单调区间与极值；

(2)求证：当a ln2-1且x0时，e x x2-2ax+1．

解析】(1)由f(x)=e x-2x+2a,x R知f(x)=e x -2,x R．

令f(x) = 0 ，得x = ln 2 ．于是当x变化时，f(x), f (x)的变化情况如下表：

x(-, ln 2)

(ln2, +)

ln2

f(x)－

0+

f(x)单调递减2(1-ln2+a)单调递增

故f(x)的单调递减区间是(-,ln2)，单调递增区间是(ln2,+)，

f (x)在x = ln 2处取得极小值，极小值为f(ln2)=e ln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a). (2)证明：设g(x) =e x -x2 +2ax-1，x R

于是g(x) =e x -2x+2a，x R 由(1)知当a ln2-1时，g(x)最小值为g(ln2)=2(1-ln2+a)0.

于是对任意x R ，都有g(x) 0，所以g(x)在R 内单调递增．

于是当a ln2-1时，对任意x(0,+)，都有g(x)g(0)．

而g(0) = 0 ，从而对任意x(0, +), g(x) 0．

即e - x +2ax-10，故e x -2ax+1．

【变式2】函数f (x)的定义域为区间(a，b)，导函数f '(x)在(a，b)内的图如图所示，则函数f(x)

【答案】由极小值的定义，只有点B是函数f (x)的极小值点，故选A。

类型二：利用导数解决函数的最值问题

高清课堂：函数的极值和最值394579 典型例题三】例 2.已知函数f (x)=(x2-mx+m)e x,其中m R。

(1)若函数f (x)存在零点，求实数m的取值范围；

(2)当m0时，求函数f (x)的单调区间；并确定此时f(x)是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，请说明理由。

【解析】(1)因为函数f (x)存在零点，则x2-mx+m=0有实根，

=m2-4m0，即m0或m4

(2)当m0 时，函数定义域为R

f( x) = (2 x - m)e x+ ( x2- mx + m)e x = (x2+ 2x - mx)e x

= x(x + 2- m)e x

由f(x) =0，则x =0或x =m-2

由f(x) 0，则x0或x m-2

由f(x) 0，则m-2x0

列表如下：

x

(-,m - 2)m-2

(m-2,0)0(0,+)

f'( x)+

-

+

f(x)

增极大值减极小值增所以f(x)在(-,m-2)，(0,+)上单调增，在(m-2,0)上单调减。

又知当x m - 2且→ -时，f(x)0；x0且→+时，f(x)0；

而f (0) = m0，所以f (x)存在最小值f(0)=m.

举一反三：

【变式】已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx.

(1)若曲线y = f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;

(2)当a2= 4b时,求函数f (x) + g(x)的单调区间,并求其在区间(-,-1］上的最大值. 【解析】(1)由(1，c)为公共切点可得: f(x)=ax2+1(a0),

则f(x)=2ax,k= 2a,