区间线性规划及其应用研究
线性规划及其应用研究
线性规划及其应用研究线性规划是一种用于解决最优化问题的数学方法，可以在给定的约束条件下，找到一组最优的决策变量值，使目标函数达到最大或最小值。
线性规划经常用于生产计划、货运和库存管理、投资组合、资源分配和成本优化等问题。
在线性规划中，目标函数和约束条件均为线性表达式，最优解通常位于可行域的角点处，因此线性规划也被称为角点方法。
线性规划的最优解可以使用单纯性算法来求解，这是一种通过在可行域中不断寻找更优解的方法，直到找到最优解为止。
线性规划的应用很广泛。
例如，在生产计划中，公司需要在多种产品和工艺的组合中制定最优的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
线性规划可以帮助公司确定生产每种产品的数量，以及所需的原材料和生产设备的数量。
在货运和库存管理中，线性规划可以帮助公司确定国际物流的最优路径，以最小化运费和时间成本。
在投资组合中，线性规划可以帮助投资者确定最优的投资组合，以最小化风险和最大化收益。
在资源分配和成本优化中，线性规划可以帮助公司确定最优的资源分配方案，以最小化成本和最大化效益。
线性规划也被广泛地应用于卫生保健领域。
例如，在医疗资源分配中，线性规划可以帮助医院合理地分配人力资源和医疗设备，以最大程度地满足不同患者的需求。
线性规划还可以帮助研究人员确定最优的药品剂量和治疗方案，以最大化治疗效果和最小化不良反应。
除了经济和卫生保健领域，线性规划在交通、能源、环境和教育等领域也有广泛的应用。
例如，在交通运输领域，线性规划可以帮助城市规划师设计最优的交通系统，以最小化拥堵和交通事故。
在能源领域，线性规划可以帮助能源公司确定最优的风电和太阳能发电方案，以最大化清洁能源的利用。
在环境保护领域，线性规划可以帮助政府制定最优的环境保护政策和资源管理方案，以最大化环境效益和生态可持续性。
在教育领域，线性规划可以帮助学校和教育部门确定最优的教学资源分配方案，以最大化学生的学习效果和教育资源的利用效率。
综上所述，线性规划是一种强大的优化工具，可以帮助解决各种复杂的最优化问题。
混合型区间线性规划的求解
混合型区间线性规划的求解祝永武;李炜【摘要】仅含不等式约束的区间线性规划的求解问题已有较好的算法.对含有等式约束的区间线性规划求解问题,现有的算法效率都不能令人满意,并会出现辅助问题没有可行解的问题.该文讨论既含不等式约束又含等式约束这种混合型区间系数线性规划的求解问题.利用问题的几何结构,提出了一种新的辅助问题,有效地降低了计算复杂性.并给出了辅助问题不可行时的处理方案.【期刊名称】《杭州电子科技大学学报》【年(卷),期】2010(030)001【总页数】4页(P62-65)【关键词】线性规划;区间系数;标准型;最优值区间【作者】祝永武;李炜【作者单位】杭州电子科技大学理学院,浙江,杭州,310018;杭州电子科技大学理学院,浙江,杭州,310018【正文语种】中文【中图分类】O2210 引言传统的决策方法侧重于确定性的决策模型的建立,由于现实问题的复杂性及信息获取的不完整,数学模型中的系数并不能完全确定。
为了描述这种不确定性并在不确定环境下做出决策,引入了区间技术,即通过获取某不确定参数的变动范围来建立决策模型。
区间线性规划(Linear Programmingwith Interval Coefficients,LPIC)作为一种柔性线性规划,可以很好的解决不确定系统中的优化问题。
对于LPIC方面的研究,提出了不同的方案来确定区间不等式的关系[1-4],对目标函数、约束条件中含有区间数的线性规划问题进行了最优值区间讨论[5-7]。
前面的研究对于含有区间等式约束的最差最优值没有解决好,且没有讨论和解决最差最优值的模型不可行的问题,通过解决这两个问题从而进一步改进和完善混合型区间线性规划的最优值区间求解模型。
1 LPIC最优值区间的确定考虑到很多求解不确定问题的思路是把不确定问题转化为确定性的问题来进行求解,由于区间规划问题的参数是区间,因此所得的目标函数值也是一个区间,故考虑区间线性规划的最优值区间的求解。
一种基于可信度的区间数线性规划的解法
一种基于可信度的区间数线性规划的解法
唐献秀;梁琼
【摘要】对于区间数线性规划的解法，从可信度的角度进行了一些初步的探讨。
该方法能比较科学地确定参数的取值范围，也能得到较多的满意解，简化了以前算法的计算量，从而大大提高了解法的有效性。
%In this paper ,for the solution to INLP ,some preliminary discussions are carried on from the aspect of credibility .This method may determine the value scope of the parameter scientifically ,and also get many satisfactory solutions with simplified algorithm load and with higher validity of the solutions .
【期刊名称】《广东石油化工学院学报》
【年(卷),期】2014(000)001
【总页数】5页(P51-55)
【关键词】区间数;可信度;线性规划;区间数线性规划
【作者】唐献秀;梁琼
【作者单位】广东石油化工学院理学院，广东茂名525000;广东石油化工学院理学院，广东茂名525000
【正文语种】中文
【中图分类】O221.1。
2024年度区间优秀ppt课件
粒子群优化算法
模拟鸟群觅食行为，通过个体和群体的历史最优位置来更新粒子的 速度和位置。
模拟退火算法
模拟物理退火过程，以一定的概率接受劣解，从而避免陷入局部最 优。
22
06
区间计算软件工具介绍
2024/2/2
23
MATLAB软件区间计算功能
12
经济预测中置信区间构建
2024/2/2
经济数据特点
01
经济数据具有不确定性、波动性等特点，需要采用置信区间进
行预测。
置信区间构建方法
02
根据历史数据、经济模型等信息，构建一定置信水平的预测区
间。
实际应用案例
03
例如，在宏观经济预测中，通过构建GDP增速的置信区间，为
政策制定提供参考。
13
医学诊断中参考值范围设定
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置信水平及置信区间计算
置信水平
又称置信度或置信系数，指在特定个体对待特定命题真实性相信的程度上。也就是概率是对个人信念合理性的量 度。
置信区间计算
是指由样本统计量所构造的总体参数的估计区间。在统计学中，一个概率样本的置信区间是对这个样本的某个总 体参数的区间估计。置信区间展现的是这个参数的真实值有一定概率落在测量结果的周围的程度，其给出的是被 测量参数的测量值的可信程度，即前面所要求的“一个概率”。
性的影响。
2024/2/2
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03
区间在实际问题中的应用
2024/2/2
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工程测量中误差范围确定
误差来源分析
工程测量中，误差主要来源于仪 器误差、观测误差、环境误差等
。
2024/2/2
【国家自然科学基金】_区间线性规划_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140731
科研热词 推荐指数 近似合并 2 多属性决策 2 非线性原对偶内点算法 1 资源优化配置 1 质量评价 1 节能系统 1 综合评价方法 1 组合权 1 线搜索滤波器方法 1 线性规划 1 矩匹配 1 直接动态优化 1 熵 1 热油管道 1 灵敏度分析 1 汽车约束系统 1 条带去除 1 权重 1 有理bézier曲线 1 有理bezier曲线 1 最优解 1 最优值 1 干扰对齐 1 干扰信道 1 带钢 1 属性 1 多输入多输出 1 可靠性 1 协调电压控制 1 区间规划 1 区间线性规划 1 区间直觉模糊集 1 区间梯形直觉模糊数 1 区间方法 1 区间bézier曲线 1 区间bezier曲线 1 制造网格 1 分段线性 1 分支定界 1 分式规划 1 优化调度 1 二次规划 1 不确定性优化 1 不确定性 1 tm数据 1 rational bezier curve 1 radau排列 1 interval bezier curve 1 hamming距离 1 euclidean距离 1 approximate merging 1
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
科研热词 随机多准则决策 运筹学 线性规划 区间直觉模糊集 鲁棒优化 遗传算法 逆向递推 连续线性规划 连续化方法 违约损失 过滤器 资本成本 贷款组合 证券投资组合 记分函数 缺失值 突发事件应急决策 离差最大化 矩阵对策 直觉随机变量 直觉模糊集 目标跟踪 目标规划 目标优化 液压系统 污染控制 模糊优化 最差条件在值风险 时-空相关性 换热网络 差分推土机距离(demd) 局部群决策模型 多目标规划 多属性决策 均值漂移 可能度 单纯型法 区间阻尼比 区间运算 区间距离 区间数 区间参数线性规划 区间偏好信息 区间不确定信息 动态优化 割平面 函数逼近 决策 全局优化 供应链运作 低频振荡 估计
线性规划理论及其应用[开题报告]
![线性规划理论及其应用[开题报告]](https://img.taocdn.com/s3/m/a1b5f2639b89680203d825b5.png)
毕业论文开题报告信息与计算科学线性规划理论及其应用一、选题的背景、意义[1][2]1.选题的背景线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大化或最小化的问题，最大化问题是要在一个集合上使一个函数达到最大，最小化问题是要在一个集合上使一个函数达到最小。
统称为线性规划问题。
满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。
随着计算机技术的发展和普及，线性规划的应用越来越广泛。
它已成为人们为合理利用有限资源制定最佳决策的有力工具。
2.选题的意义随着计算机技术的发展和普及，线性规划的应用越来越广泛。
它已成为人们为合理利用有限资源制定最佳决策的有力工具。
随着经济全球化的不断发展，企业面临更加激烈的市场竞争。
企业必须不断提高盈利水平，增强其获利能力，在生产、销售、新产品研发等一系列过程中只有自己的优势，提高企业效率，降低成本，形成企业的核心竞争力，才能在激烈的竞争中立于不败之地。
过去很多企业在生产、运输、市场营销等方面没有利用线性规划进行合理的配置，从而增加了企业的生产，使企业的利润不能达到最大化。
在竞争日益激烈的今天，如果还按照过去的方式，是难以生存的，所以就有必要利用线性规划的知识对战略计划、生产，销售各个环节进行优化从而降低生产成本，提高企业的效率。
在各类经济活动中，经常遇到这样的问题：在生产条件不变的情况下，如何通过统筹安排，改进生产组织或计划，合理安排人力、物力资源，组织生产过程，使总的经济效益最好。
油田优化配产的区间线性规划模型
决策 者对 目标 的风 险好 恶 ，是 对 最小 价值 系数 和最 大 价值 系数 的综 合权 衡 。若 决策 者乐 观地 认 为取 最大 价 值 系数 的可 能性 较大 ， Ｏ取 值可 适 当较 大 ， ０５ 反 则 ｌ ＞ ．；
（） １ 中的 区间等 式约 束转 换 为 ２个确 定 型不 等式 。
推 导得 到 区间线 性规 划 （ ） １ 的确定 型 转化 形式 ： 引
ｍ ｘ ＝ 【 一ＬｉＯ ａＺ ∑ （ ＯＣ＋ｔ １ ）Ｌ ｃ
（） ２
ｍａ ｐ ∑ Ｑ ｘ ＝
（） ３
（一 ） ｚ ＋ １Ａ ∑（ Ａ∑吻 ￣Ａｊ （一 ） （ １２ …， ＜ ｂ ＋１Ａｂ ， ， １ ｊ ＝ ）
之 ， 可 适 当较小 ， ＜ ．。 ａ ０５
数 的线 性规 划进 行 了研 究 ，提 出将 区 间系 数 目标 函数 转 化 为参数 线性 规 划形 式 。Ｔ ｎ 探 讨 了约 束条 件仅 包 ｏｇ 含 区间 不 等 式 约束 的 区 问线 性 规 划 模 型 ， 义 了特 定
征 不 等式 及 其 最 大范 围不 等式 和最 小 范 围不 等式 ， 通 过 求解 得 到最 小最 优 目标 函数值 和最 大最 优 目标 函数 值 。张 吉军 对 Ｔ ｎ ｏ ｇ方 法进 行改 进 ， 出 了 冒进 可能 解 提
ｍ ｘ＝∑Ｃ ａｚ
ｉ＝ １
（） １
内。若 给定 目标 函数 优化 水 平 ，区 问线性 规 划 问题 （ ） 以转 化 为 关 于 约束 条 件满 足 水平 Ａ 的参 数线 性 １可 规划 问题 ，若其 存 在最 优解 ， 目标 函数值 必定 在 区间
目标系数为区间数的线性规划方法
解？回答是 ： 只要评价函数具有一定的单调性质 ， 这里指的单调性为具有某种序关 系。如果满足这种单调 性， 那么所定义 的序关系评价 函数才会有效 ， 也就保证了求 出的最优解为原问题的有效解 或至少为弱有效
在区间数序关系“ ”下（ Ａ ＜ 如
系评 价 函数定 义 。
Ｂ：一 一 Ａ ｃ ａ ＜ｂ 且 ｃ＜Ｂ ，ｃ ￣ ｃＡ 和 分别代表 区间数 Ａ和 Ｂ的中点
值 ｍ 如何来定义评价 函数 ， 并又如何来利用评价函数求带 区间数系数的多 目 标线性规划 ， 现给出序关
定义 ｌ ｉ Ａ
个命题 ， 用此方 法可将复杂 的多 目 线性规划转化为 简单的单 目 标 标规划 。
关键词 ：区间数 ；线性规 划 ；评价 函数 ；最优解
中图分 类号 ：Ｎ ４ ９ 文献标识 码 ：Ａ 文章编号 ：１７ －１ｘ ２ ０ ） ２０ ３ － ６２６ ２ （ ０７ ０ －０ １ ４ ０
１ 多 目标 区 间规 划 问题
目标 系数 为 区 间数 的 线 性规 划方 法
卢 伟 程世 娟２ ，
（ 西华大学数学 与计算机 学院 ， ｌ ｌ ［ ￣Ｊ成都 摘
一
６ ０ ３ ；． １０ ９ ２ 西南交通大学应用数学 系 ， ｌ ｌ ［ ￣Ｊ 成都 ６ ０ ３ ） １０ １
要 ：对 系数 为 区间数的 多 目标线性规 划 问题 ， 区间数序 关 系下提 出了序关 系评 价 函数概念 ， 给 出了 在 并
＝ｇ Ａ （ ，： ） … ， ） ∈，Ｒ） （ ）Ａ （ ， Ａ （ ） （ 。
区间数线性规划及其区间解的研究
Ａｂｓ ｒ ｔ Ａｎ ｉ ｔｒ ａ － ｒ ｍｅ ｅ ｉ ｅ ｒｐｒ ｇ ａ ｔａｃ ： ｎ ｅ ｖ ｌｐａ ａ ｔｒ ｌ ａ ｏ ｒ ｍｍ ｉ ｅｈ ｄ ｉ ｕ ｅ ｕ ｏ ｅ ｅ ｔｎ ｎ ｅ ｔ ｉ ｔ ｎ ｄ ｓ ｒ ｔ ｎ ｅ — ｎ ｎｇ ｍ ｔ ｏ ｓ ｓ ｆ ｌｆ ｒｒ ｆ ｃｉ ｇ ｕ ｃ ｒａ ｎｙ ｉ ｉｃ ｅ ｅ ｉｔ ｒ ｌ
ｔ ｉ ｔ ｙ，ｉ ｎ ｖ ｔ ｅ ａ ｇ ｒｔ ｍｓａ ｅ ｐｒ ｐ ｓ ｄ Ｓ ｖ ｒ ｌｃ ｎ ｅ ｔ ｆｅｆｃ ｉｅ ｓ ｌ ｔｏ ｈ ｓ ｓｕｄ ｎ ｏ ａ ｉ ｌｏ ｉｈ ｏ ｏ ｅ ． ｅ ｅ ａ ｏ ｃ ｐ ｓ ｏ ｆｅ ｔｖ ｏｕ ｉ ｎ，ｓ ｆ ｆｅ ｔｖ ｏ ｕ ｉｎ，ａ ｄ ｖ ｏｔｅｆ ｃｉ ｅ ｓ ｌ ｔｏ ｎ
ｗｈｉｈ ｖ ｒｆ ｅ ａ ｇ ｒｔ ｍｓ ｃ ｅ ｉ ｎ ｗ ｌｏ ｉｈ ． ｙ
Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｄｓ：ｎ ｅ ｖ ｌｐ ｒ ｍｅ ｅ ｉ ｅ ｒｐ Ｉ ｒ ｍ ｍｉ ｇ；ｐ ｓ ｉ ｌｔ ｅ ｒ ｅ；ｉ ｔｒ ａ ｏｕ ｉｎ ； ｅｆｃ ｉｅ ｓ ｌ ｉ ｎ；ｓ ｆ ｉ ｔｒ ａ — ａ ａ ｔｒｌｎ ａ ｒ ｇ ａ ３ ｎ ｏ ｓｂｉ ｙ ｄ ｇ ｅ ｉ ｎ ｅ ｖ ｌｓ ｌｔｏ ｓ ｆｅ ｔ ｏｕｔ ｖ ｏ ｏ ｔ ｅｆｃ ｉｅ ｓ ｌｔｏ ｆｅ ｔＶ ０１ ｉｎ １
ｄ ｇ ｅ ｒｔ ｅ ｃ ｍ ｐ ｒｓ ｎ ｂ ｔ ｅ ｗｏ ｉ ｔｒ ａ ｕ ｅ ｒ ｅ ｆ ｈ ｏ ａ ｉｏ ｅｗｅ ｎ ｔ ｎｅ ｖ ｌｎ ｍｂｅｓ Ａｎ ｈｅ ｒ ｓ ｌｉ ｇ ｉ ｔｒ ａ ｏ ｕ ｉｎ ｒ ｕ ｓ ｔ ｆｓ ｌ — ｏ ｒ． ｄ ｔ ｅ ｕ ｔｎ ｎ ｅ ｖ ｌｓ ｌ ｔ ｓ ａ ｅ ｓ ｂ ｅｓ ｏ ｏｕ ｏ ｔ ｎ ｓ ｔ ｂ ｖ ． Ａ ｎ ｍ ｅ ｉａ ｘ ｍｐ ｅ ｉ ｇ ｖ ｎ ａ ｄ ｔ ｅ ｓ ｌ ｔｏ ｒ ｏ ａ ｅ ｔ ｈ ｓ ｆ ｅ ｉｔｎ ｌ ｏ ｉ ｍ ｓ ｉ ｅ ｓａ ｏ ｅ ｏ ｕ ｒｃ ｌｅ ａ ｌ ｓ ｉｅ ｎ ｈ ｏｕ ｉｎｓａ ｅ ｃ ｍｐ ｒ ｄ ｗｉ ｔ ｏ ｅ ｏ ｘｓｉ ｇ ａｇ ｒｔ ｈ ｈ ，
线性规划方法及其应用
05
线性规划方法优缺点分析
优点分析
有效处理多变量问题
线性规划能够同时处理多个决策变量，通过 优化算法寻找最优解。
直观易懂的数学模型
线性规划在各个领域都有广泛的应用，如生 产计划、资源分配、运输问题等。
广泛应用
线性规划的数学模型相对简单，易于理解和 应用。
可求解大规模问题
随着计算机技术的发展，线性规划可以求解 大规模的问题，满足实际应用的需求。
复杂约束处理
研究如何处理包含复杂约束条件的线性规划问题，提高求解效率和 准确性。
不确定性问题建模
针对包含不确定性因素的线性规划问题，发展有效的建模和求解方 法。
应用领域拓展
探索线性规划方法在更多领域（如机器学习、大数据分析等）的应用 潜力，推动相关领域的理论和技术创新。
感谢您的观看
THANKS
3
考虑不确定性
将不确定性因素引入资源分配问题中，通过线性 规划求解鲁棒性强的资源分配策略，以应对潜在 的风险和变化。
04
线性规划软件介绍
MATLAB软件介绍
1
MATLAB是一款由MathWorks公司开发的数学 计算软件，广泛应用于算法开发、数据可视化、 数据分析以及数值计算等领域。
2
MATLAB提供了丰富的工具箱，其中包括优化工 具箱（Optimization Toolbox），可用于解决线 性规划问题。
线性规划方法及其应用
目录
• 线性规划基本概念 • 线性规划方法 • 线性规划应用举例 • 线性规划软件介绍 • 线性规划方法优缺点分析 • 线性规划方法发展趋势与展望
01
线性规划基本概念
定义与特点
定义：线性规划是一种数学方法，用于 优化一组线性不等式约束下的线性目标 函数。
分段线性规划的解法
分段线性规划的解法
分段线性规划是一种新型的线性优化技术，用于解决复杂的线性优化问题。
在分段线性规划中，优化目标函数被分为多个子目标函数，每个子目标函数只有在一个特定的区间内有意义，因此可以将复杂的优化问题分解为若干简单的子优化问题求解。
分段线性规划的基本思想是将原始优化问题中的目标函数和约
束条件分解成若干子问题，然后逐个求解这些子问题来得到整体优化问题的最优解。
其求解方法可以分为以下几类。
第一类是基于分段线性规划的折中方法，采用贪心的策略来求解。
即，每次根据当前的约束条件，选择满足约束条件的最优解。
这种方法可以有效减少求解时间，但得到的解决方案不一定是最优的。
第二类是基于数值法的解法，在这种方法中，优化问题通过把原始优化问题中的约束条件划分为多个段，将原始优化问题转化为若干简单的子优化问题，再基于一定的初始值，采用精确解法逐步求解，最终得到最优解。
第三类是基于可行方向的解法，这种方法的基本思想是，从原始优化问题出发，根据约束条件求出一系列可行解，然后逐步迭代，最终得到最优解。
此外，分段线性规划还可以与其他解决方案进行结合，以便在求解过程中获得更好的解决方案。
一般来说，将分段线性规划与其他解法结合可以更好地提高求解效率，从而使求解结果更加准确。
总之，分段线性规划是一种可以有效解决复杂线性优化问题的数
学技术，可以极大的提高求解效率，节省求解时间，并可以得到较为准确的结果。
因此，广泛应用于工程、科学研究、经济管理等多个领域。
线性规划与整数规划及其应用研究
线性规划与整数规划及其应用研究线性规划和整数规划是运筹学中常用的数学工具。
线性规划是一种用于优化线性目标函数的方法，它在约束条件下寻找一组变量，使得目标函数达到最大值或最小值。
整数规划则是对线性规划做了一些限制，要求变量只能取整数值。
线性规划的应用非常广泛，例如在金融领域中，常用线性规划来优化投资组合，以达到最大化收益和最小化风险的目的。
在制造业中，线性规划可以用来规划生产计划，以最小化成本，同时满足产品需求和资源限制。
在运输和物流中，线性规划也常用于优化运输成本和货物配送计划。
整数规划则更加适用于那些需要做出离散决策的问题。
例如在生产计划问题中，需要确定生产多少个产品，这种情况下整数规划就非常有用了。
整数规划还可以用于解决一些NP-hard难题，例如在路线规划问题中，需要列出旅游路线以最小化时间或成本，但考虑到可能存在多条路线，这种问题需要运用整数规划来求解。
在实际应用中，线性规划和整数规划通常需要结合其他优化算法和工具来使用。
例如，在生产计划中，除了运用整数规划外，还需要考虑到物料采购、人员排班等其他因素，这时就需要研究者利用不同的优化算法来解决综合问题。
除了以上应用，线性规划和整数规划还可以应用于其他领域，例如供应链管理、网络设计、能源管理和金融学等领域。
这些领域中都有需要优化的问题，线性规划和整数规划都能成为有效的工具来提供最优解决方案。
需要注意的是，线性规划和整数规划并不是完美的，它们也有一些局限性。
例如，在处理大规模复杂问题时，线性规划和整数规划可能需要花费较长时间来求解，或者无法找到最优解；此外，线性规划无法处理非线性目标函数，而整数规划则只适用于整数变量，因此在实际应用中，需要评估问题的特性和规模，选择合适的数学方法来求解。
总之，线性规划和整数规划是运筹学中常用的数学工具，它们的应用范围广泛，可以提供有效的优化解决方案。
在实践中，需要根据问题的特性和规模选择合适的数学方法。
如今，随着机器学习和人工智能的快速发展，运筹学的未来也将更加广阔和充满挑战。
区间等式的可能度及其应用
区间等式的可能度及其应用汤立龙;李炜【摘要】提出了区间等式的可能度定义，建立了该可能度的相关性质。
讨论了新的可能度在求解含有等式约束的区间线性规划问题中的应用，避免了现有方法中需将等式约束化为两个不等式约束在计算上所带来的不便。
最后给出了具体的算例。
%The definition of the possibility degree of interval equality is proposed,and the related properties of the possibility degree are established.The new possibility degree application about inter-val linear program with equality constraints is discussed to avoid the difficulty of transforming equality constraints into two inequality constraints.An example is given to illustrate the method.【期刊名称】《杭州电子科技大学学报》【年(卷),期】2016(036)006【总页数】4页(P89-91,99)【关键词】区间数;可能度;区间线性规划【作者】汤立龙;李炜【作者单位】杭州电子科技大学理学院，浙江杭州 310018;杭州电子科技大学理学院，浙江杭州 310018【正文语种】中文【中图分类】O221在区间数学的体系中，如何比较区间数的大小是一个关键问题.一个较为通用的方法是引入所谓的可能度来评判区间数的大小关系[1-2].但现在已有的文献都只考虑了区间不等式的可能度[3-6]，而没有研究区间等式的可能度.本文将提出一种区间等式的可能度，给出其性质，并研究其在区间优化问题中的应用.记}，分别称a，b为一个区间数.特别地，若，则a退化为一个实数，此时称a=[a,a]为一个退化的区间数.若成立，称这两个区间数a，b相等，记作a=b.对一个区间数，记和.定义1 设区间数a,b满足ac=bc，且a,b至少有一个为非退化区间数，则称为a=b的可能度.若区间数a,b满足均为退化区间数，则定义成立.设区间数a,b满足ac=bc，且a,b至少有一个为非退化区间数，则a=b的可能度有如下性质：性质1 0≤p(a=b)≤1证明显然即有0≤p(a=b)≤1成立.证毕.性质2 p(a=b)=p(b=a)证明容易看出证毕.性质3 p(a=b)=1的充分必要条件为a=b.证明当a=b时，有la=lb，ac=bc.由式(1)可知p(a=b)=1;反之，当p(a=b)=1时，由式(1)得la=lb.又因条件为ac=bc，得到.则有a=b成立.证毕.性质4 设区间数a,b不全为退化区间，则p(a=b)=0的充分必要条件为a,b有一个为退化区间.证明当a,b有一个为退化区间时，由定义1可知p(a=b)=0;反之，当p(a=b)=0时，由式(1)可知.当la<lb时，则有lb-la=la+lb，即：la=0，此时区间a为退化区间；当lb<la时，则有lb=0，此时区间b为退化区间.证毕.性质5 若p(a=b)=1,p(b=c)=1,则p(a=c)=1成立.证明由p(a=b)=1,p(b=c)=1知成立.显然la=lb,lb=lc.又因为ac=bc,bc=cc，则有成立，即a=b.同理b=c成立.显然此时有a=c成立，且la=lc.则有成立.证毕. 然而，一般的传递性不成立.性质6 设α∈(0,1)，若p(a=b)=α,p(b=c)=α，则p(a=c)≠α.证明α∈(0,1),这意味着a、b和c都是非退化的，下面分4种情况讨论.1)当la<lb<lc时，由p(a=b)=α,p(b=c)=α可知lb-la=(1-α)(lb+la),lc-lb=(1-α)(lc+lb)成立，故推出lc-la=(1-α)(lc+la+2lb).由定义1知，p(a=c)=α ⟺⟺lc-la=(1-α)(lc+la).由于p(a=b)=α成立，且α≠0.注意到b非退化，即lb≠0，故有p(a=c)≠α.2)当la>lb>lc时，类似可证.3)当la<lb,lc<lb时，由p(a=b)=α,p(b=c)=α可知lb-la=(1-α)(lb+la),lb-lc=(1-α)(lc+lb)成立.故推出la-lc=(1-α)(lc-la).则有(2-α)(lc-la)=0.因为α∈(0,1),即2-α≠0.则有lc=la.又因为ac=cc，则a=c，即p(a=c)=1≠α成立.4)当la>lb,lc>lb时，类似可证.综上，当α∈(0,1)时，若p(a=b)=α,p(b=c)=α，则p(a=c)≠α.证毕.现存的文献中只对区间不等式定义了可能度,而处理等式的方法则是转化其为一个规模更大的不等式系统.由于区间数学中所谓相依性的困难，这种转化往往是不可能的[7-8].即使能够转化，问题的规模也显著扩大.而借助于区间数等式可能度的定义，可以直接求解带等式约束的区间规划，避免了转化等式约束为不等式约束的麻烦.引理对两个区间数a,b.给定可能度水平λ(0<λ≤1)，且ac=bc.则p(a=b)≥λ可转化为下述确定性约束证明因为p(a=b)≥λ⟺⟺，又注意到0≤λ≤1，所以成立.证毕.由引理得到：定理给定约束水平)≥λ,λ∈[0,1]，且成立.则区间约束可转化为下述确定性约束由文献[2]知目标函数为))xj的线性规划的解称为原区间规划目标函数的α水平解. 例考虑下述区间线性规划问题：若取则得到模型容易求得最优解为，最优值为.本文提出了区间数相等的可能度定义，并给出了其在求解带等式约束区间线性规划问题中的应用.要指出的是，本文中的方法并不局限于求解区间线性规划问题，也可以用于求解带区间等式约束的非线性规划问题以及区间非线性方程组的问题.求解非线性问题时，如何进行具体的区间模型的结构分解仍需进一步研究.【相关文献】[1]李炜,黄金花.区间系统与区间优化模型——理论与应用[J].南京信息工程大学学报(自然科学版)，2016，9(1)：23-33.[2]LI W, LIU X, LI H H. Generalized solutions to interval linear programmes and related necessary and sufficient optimality conditions[J].Optimization Methods & Software, 2015, 30(3): 516-530.[3]JIANG C, HAN X, LIU G R, et al. A nonlinear interval number programming method for uncertain optimization problems[J].European Journal of Operational Research, 2008,188(1): 1-13.[4]达庆利，刘新旺.区间数线性规划及其满意解[J].系统工程理论与实践,1999(4):3-7.[5]NIRMALA T, DATTA D, KUSHWAHA H S, et al. Inverse interval matrix: a new approach[J].Applied Mathematical Sciences, 2011, 5(13): 607-624.[6]刘晓，李炜.区间线性规划最优解对应的约束矩阵的构造[J].杭州电子科技大学学报，2014,34(2):48-51.[7]HlAD1 M. Weak and strong solvability of interval linear systems of equations andinequalities[J]. Linear Algebra and its Applications, 2013, 438(11): 4156-4165.[8]LI W.A note on dependency between interval linear systems[J].Optimization Letters, 2015, 9(4): 795-797.Possibility Degree of Interval Equation and Its Application。
经济决策不确定性的区间型灰线性规划数学模型及其几何意义
ｌ， ｉ ｌ ｅ ，
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谷 物 的购价 分别 为 ０３ — ． 和 Ｏ ．８ ０ ４元 ． 。现 在要 求 ２元 决 策 如何 混合 饲 料 才能 使得 购 买 饲料 的 花 费 最省 ？
２ １年 ４月 ０１
江 西科 技 师 范 学 院学 报
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｉｎ ｘ ｃｅ ｃ ｏ ｒ ａ ａ ｇ ｉ ｉｎ ｅ＆ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ｒ ｌＵｎｖ ｒｉ ｏＪ Ｓ ｅ ｈ ｏｏ ｙＮｏｍａ ｉｅｓｔ ｙ
Ａｐ ． ０１１ ｒ， ２ Ｎｏ． ２
第 ２期
经 决 不 定 的 间 灰 性 Ｊ学 型 其 何 义书 济 策 确 性 区 型 线 舭Ｉ 模 及 几 意 数
求量 为 ｘｋ 。 有 ２ｇ 则
ｆ ｎ ＝ＣＸ ｍｉｚ Ｔ
目标 函数 ： ｎ＝０３ ，． ］１ ． ｘ ， ｍｉｚ［．８ ０４ ｘ＋ ２ ２ ２ ００
约 束条 件 ：ｌ ≥１０ ， １ ２一 ３ ０ Ｘ＋ ２ ０ ０ ＝ １０ 【．８ ０５ ］１［． ５ ０１ ｘ≥［．１ ０２ ］ ０ ０４ ，．２ｘ ００ ，．１］２ ０２ ，．３ｘ ０ ＋ ８ ５ １ ０ ［． ５０ｏ ８￣ ０Ｏ ３２ ００ ４０ ０ ］ １ ０ ００ ．．ｏ １１ ． ｘ≥［．０ ．Ｏ ６ｘ ０ ０ ０ ＋ ０ ．
的模 型 之一 ， 为 Ｉ Ｌ 称 Ｇ Ｐ的 白化 模 型 ． 记作 ＷＬ 。 Ｐ
基 金 项 目 ： 文 受 国家 杰 出青年 科 学基 金 “ 策理 论 与 方 法 ” 助 （０ ２ ０ ４ 。 本 决 资 ７ ９ ５ ０ ）
收 稿 日期 ：０ １ ０ — ８ ２ １ － ２ １
三元区间数线性规划及其解法
三元区间数线性规划及其解法
三元区间数线性规划是数学中一种重要的约束最优化问题。
由于涉及到约束函数和条件分布，因此应用非常广泛。
有许多可以用来解决三元区间数线性规划问题的算法，其中主要有极小化法和极大化法、哈达马法、波尔法等。
极小化法和极大化法是三元区间数线性规划问题的两种简单解决方案，它们实际上是将约束最优化问题转化为不约束最优化问题的一种方法。
特别是，极小化法适用于求解极小值问题，而极大化法则用于求解极大值问题。
在使用极小化法和极大化法时，需要将条件函数的结果替换为Lagrange系数的取值，然后将极值问题转化为函数未知参数求解问题，因此可以用求解未知参数问题的一般方法来解决在约束条件下求解三元区间数线性规划问题。
另一种解决三元区间数线性规划问题的方法是哈达马(Karmarkar)法，它使用迭代方法求解约束最优化问题。
该方法通过多次调整求解器的搜索路径来降低可行性限制，并将多维数学模型转换为一维模型。
当搜索路径被成功调整到其约束最优值时，它就会停止迭代，使得算法更加高效简洁。
另一种常用的解决三元区间数线性规划问题的方法是波尔方法，它使用最小化弱准则函数、统计函数和简单算法完成带有约束条件的最优化求解。
它主要是通过对求解器的迭代搜索，将可能的解从搜索范围中剔除，以获得约束最优解。
总而言之，三元区间数线性规划问题是一个不断发展的领域，使用极小化法和极大化法及其哈达马法和波尔法等方法可以在约束条件下获得最优解。
基于决策差别参数的区间数线性规划及其应用
广 泛。因为 目标 函数 中所确定的区间 ， 有时 与决策者喜好有一定差距 ， 不 能单纯 的考虑 模 糊满意度 ，文中通过 引入决策差别参数 ， 亦可称为容忍度 ， 并且利用 目 标 函数确定的 区间对 进行修正 ， 这样 ， 在大区间的指导下 ， 既可以考虑到决策者的喜好 ， 缩小区间 ， 进 而 又可 以将区 间数 目标函数转 化 为确 定型 目标 函数 。 最后给 出了决策差别参数在证券 投资 中的算例 。 １ ．区间数线性规划理论基础 当一个 区间数的上限和下限相等时 ， 区 间数就退化为实数［ １ 】 。 称一个 区间上限和下 限的平均值 为这个 区间 的位置系数【 ２ １ ， 这能 反 映这个 区间的大小 。上限与下 限之差的一 半 常称 为该 区间 的柔性 系数 ，亦 即 区间半 宽 ，反映区间的模糊程度 。 对区间 Ａ 和Ｂ ， 在位置系数 和柔性 系数的 定义下 ，则称
决策者 的喜好 ．有一定的应用价值。
关键词 ：区间数线－ 】 生 规划 ；模糊满意度 ；决策差别参数；证券投 资
区 间 数 线 性 规 划 （ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｖ ａ ｌ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｐ ｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍｍ ｉ ｎ ｇ Ｉ Ｌ Ｐ），它是指 目标 函数或是约 束条 件中含有 区间数 的一类线性规划。随着 现代 经济的发展 ， 价格的浮动、成本的变动 等， 区问数线性规划在实际生活 中应用十分
此式充分考虑了原区间的上下限 ， 分母 就是在其取 ０ 和１ 时的临界值 ， 分子的出现 是建立在定理 １ 的思想之上 的， 这样进行修 正， 就不会忽略掉原区间的约束。其实修正 之后 的决策差 别参数会 更靠近 对应 区间的 折 中值 （ 均值 ）， 这就避免决策者做 出完全 乐观 或者悲 观的决策 ，使结 果更趋近折 中 解。 利用决策差别参数 ， 就可以将 区间目标 函数转化为确定型 目 标函数 ， 形式类似与式
目标系数为区间数的线性规划方法
目标系数为区间数的线性规划方法
线性规划是一种数学优化技术，它可以帮助决策者做出关于最佳分配资源的决定。
它也可以用来解决目标系数为区间数的线性规划问题，即求解数学模型，其目标系数只能在一定的范围之内。
目标系数为区间数的线性规划问题的基本结构是，有一个系数矩阵和目标系数，此线性规划问题的目标是求解这个系数矩阵，使它们在给定的区间之内。
首先，我们需要将区间限定放入目标函数中，以便在求解系数矩阵时可以考虑到这些限定。
其次，要在模型中引入拉格朗日乘子和约束，这样可以把约束绑定到目标函数，使得模型可以遵循区间规则。
最后，当模型准备就绪时，我们可以使用求解器来求解这个模型的最优解。
求解器常用的技术有数值求解和枚举技术，可以通过枚举法将区间限定表达式转换成具体的有限等式或不等式约束，并使用一种求解器来求解区间约束下的最优解。
数值求解技术则采用最优算法,如牛顿法，来求解赋值系数，从而找到最优解。
总之，解决目标系数为区间数的线性规划问题需要使用拉格朗日乘子，约束和求解器来完成。
在求解过程中，要特别注意区间的限定和约束的表达，以确保求解正确有效。
第9章线性规划方法及其应用讲解
【例9.2】 某钢铁厂熔炼一种新型不锈钢，需要4种合金 T1,T2,T3,T4 为原料经测定这4种原料关于元素铬（Cr）、锰（Mn）和镍（Ni） 的质量分数（%）、单价以及这种新型不锈钢所需铬、锰和镍的最 低质量分数，情况如表9.3所示. 假设熔炼时质量没有损耗，问： 要熔炼100吨这样的不锈钢，应选用原料T1,T2,T3,T4 各多少吨，能 够使成本最小？
max f 4x1 3x2 7x3 s.t. x1 2x2 2x3 100,
3x1 x2 3x3 100, xj 0 ( j 1, 2,3).
其中s.t. 为英文“subject to”的缩写，表示决策变量xj ( j 1, 2,3) 受 它后面的条件约束. 最优解为x1 0, x2 25, x3 25 （具体解法后面 介绍），代入总利润的表达式f 4x1 3x2 7x3 得对应的目标函 数最大值为250.由此得到该企业在现有资源条件下，日生产的最 优安排是：产品A1 不生产A，2 生产25吨A，3 生产25吨，可实现最大 利润250千元/日.
前的技术水平），情况如表9.2所示. 现在的问题是：如果该企
业生产的这 n 种产品 A1, A2 ,..., An 都可以卖出，如何合理充分地 利用现有的资源，给出一个使总利润达到最大的产品生产计划？
2020/10/12
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9.1 线性规划是什么
有了解决上述问题的经验，我们可以假设产品 A1, A2 , , An
的计划产量分别为 x1, x2 , , xn 单位，则问题的数学模型
为
max f c1x1 c2 x2 cn xn s.t. a11x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21x1 a22 x2 a2n xn b2 , ........................................... am1x1 am2 x2 amn xn bm , x j 0 ( j 1, 2, , n).
含交易费用的证券组合投资的区间数线性规划模型
Ｔｈｅ Ｉ ｔ ｒ ａ ｎ ｅ ｖ ｌＮｕｍ ｂ ｒ Ｌｉ ｅ ｒ Ｐｒ ｇ ａ ｍ ｉ ｏ ｅ ｏ ｅ ｎ ａ ｏ ｒ ｍ ｎｇ Ｍ ｄ ｌｆ ｒ
Ｐ ｒｆｌ ｎ ｅｔ ｎ ｕ ｊｃ ｒ ｎａ ｔ ｎ Ｃ ｓ ｏｔ ｉ Ｉｖｓ ｏｏ ｍｅ ｔ ｂ ｔ ｏＴ ａ ｓｃｉ ｏｔ Ｓ ｅ ｔ ｏ
的 区间数线性规划模 型 ， 并确定 了其 有效 解． 该模 型使证券 组合投 资理 论更 接近 于实际 ， 投资 决策更合 理、 使 更
有 效．
关键词 ： 交易费用 ； 证券 组合投 资； 区间数 线性规划 ； 有效解．
中 图分 类 号 ：８ ０ ９ Ｏ ２ １３． ；２１ ７ 文献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６３—１２ ２ １ ） ３— ０ ９－ ３ １７ ６ Ｘ（０ ０ ０ ０ １ ０
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｔｒ ｎ ａ ｔ ｎ ｃ ｓ ｓ ａ ｐｒ ｃｉａ ｎ ｓｅ ｔａ ａ ｔｒ ｉ ｈ ｏ ｒｅ ｏ ｒｆ ｌ ｒ ｎｓ ｃｉ ｎ Ｔ ｉ ａ ｓ ｃ ｉ ｏ ｔｉ ａ ｔｃ ｌａ ｄ ｅ ｓ ｎ ｉｌｆｃ ｏ ｎ ｔ ｅ ｃ ｕ ｓ ｆｐｏ ｔ ｉ ｔａ ａ ｔｏ ． ｈ ｓ ｏ ｏｏ
ｃ ｓ ｎ ｏ ｃ ｎｓｄｅａ ｉｎ，ｆ ｒｔ ｅ ｐｏｔｏｉ ｎ ｅ ｔ ｎ ｎ ｆｅ ｉ ｇ ｔ ｅ ｅ ｃｅ ｔｓ ｌｔｏ ｏ ｔ ｅ ｍｏ ｅ ．Ｖｉ ｏ ｔｉ ｔ ｏ ｉ ｒ ｔｏ ｏ ｈ ｒｆ ｌ ｉ ｖ ｓｍｅ ｔａ ｄ ｏｆｒｎ ｈ ｆ ｉ ｎ ｏｕ ｉ ｎ ｔ ｈ ｄ １ ｏ ｉ ａ
ｓｒ ｔｇ ｌ ｂ ｃ ｍｅ ｍｏ ｅ ｒ ｔｏ ａ ｎ ｒｎ ｒ ｒ ｆ ｓ ｔ ｈ ｎ ｅ ｔ ｒ ． ｔａ ｅ ｙ ｗｉ ｅ ｏ ｒ ａ ｉｎ ａ ｄ ｂ ｇ ｍｏ ｅ ｐ ｏ ｉ ｏ ｔ ｅ ｉ ｖ ｓｏ ｓ ｌ ｌ ｉ ｔ Ｋｅ ｒ ｓ ｔａ ｓ ｃ ｉｎ ｏ ｔ ｐｏ ｆ ｌ ｉ ｖ ｓｍｅ ｔ ｉ ｔｒ ａ ｎ ｍｂ ｒ ｉ ｅ ｒ ｒ ｇ ａ ｙ ｗｏ ｄ ： ｒ ｎ ａ ｔｏ ｃ ｓ ； ｔ ｒ ｏｉ ｎ ｅ ｔ ｎ ； ｎ ｅ ｌ ｏ ｖ ｕ ｅ ｌｎ ａ ｐ ｏ ｍｍｉ ｇ； ｅ ｃｅ ｔ ｒ ｎ ｉ ｆ ｉｎ ｓ ｌ ｔ０ ． ｏｕ ｉ ｎ
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证券投资组合的优化模型是线性规划模型的成功应用典范，文章结合区间线性规划模型和证券投资组合给出实例进行分析，说明区间线性规划模型在证券投资中的应用。
第4章 多目标区间线性规划模型的建立及求解...10
第5章 线性规划模型在证券投资中的应用..............................14
结论...............................................................15
本文给出了线性规划模型的概念建立及单目标和多目标线性规划问题的阐述以及决策变量目标函数的系数都为区间数的线性规划问题的建立以及求解，同时描述了这种类型的线性规划问题在实际中的应用。
本文主要内容：
（1）介绍线性规划模型的建立；
（2）介绍多目标线性规划问题的建立及求解；
学 号：xxxxxxx
HEBEIUNITEDUNIVERSITY
毕业论文
GRADUATETHESIS
设计题目：区间线性规划模型的求解及其应用的研究
学生姓名：xxx
专业班级：xxx
学 院：xxx
指导教师：xxx
2013年5月31日
摘要
线性规划模型广泛应用于交通运输业、工业、农业、经济计划和管理决策等领域。由于实际问题中存在许多不确定因素，因此模型中的系数不再是精确数。本文研究含有区间数的线性规划模型，根据区间数的序关系和代数运算将含有区间数的线性规划模型分割为两个一般的线性规模型进行求解，通过数值算例说明该算法的有效性。
Many practical problems in interval multi-objective linear programming problem, this paper adopts fuzzy programming method to solve the problem, through the expansion factor will interval multi-objective linear programming model is decomposed into multiple interval single-objective linear programming model, a numerical example is used to illustrate the effectiveness of the algorithm.
参考文献...........................................................16
谢辞...............................................................17
第1章 绪论
众所周知，传统的数学规划问题是人们在科学研究、工程技术、生产生活以及经济管理等众多领域中经常面对的问题，它所研究的是在众多的方案中如何找出最优方案。在现实生活和工程领域中，存在着许多不确定性现象，这种不确定现象主要表现在两个方面，随机性和模糊性。而在数学规划问题中，获得信息往往不是精确的数值，而是一些区间数，这种不确定性现象会给决策者作决策时带来很大的困难。因此对于研究这种含有区间数的数学规划问题，具有很重要的理论和实际意义。
关键词区间线性规划；区间数；序关系；模糊规划法；证券投资
Abstract
A linear programming model is widely used in transportation, industrial, agricultural, economic planning and management decision-making and so. Because there are many uncertain factors in the practical problems, so the coefficients in the model is no longer accurate number. The linear programming model in this paper contains the interval number linear programming model, segmentation based on interval number and ordering relation algebra with interval numbers of two general linear scale to solve, through numerical examples illustrate the effectiveness of the algorithm.
key：interval linear programming；interval number；investment securities；
Fuzzy programming; securities investment
2.2.2 多目标线性规划模型的相关概念.............................. 3
The optimization model of portfolio is linear programming model of successful application of the model, combining the interval linear programming model and portfolio analysis examples, illustrated the application of interval linear programming model in the securities investment.