第7讲 置换群及群的同构和同态
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满同态，单同态，自同态，同构，自同构
2018/6/29
24
群的同态实例
G1=<Z,+> G2=<Zn,⊕>, G1 到G2 的满同态 f:Z→Zn, f(x)=(x)mod n
2018/6/29
25
群的同态与同构
群同态只要求保持乘法运算,即若 ∀x,y∈G1，f(xy)=f(x)f(y) ，
若将群看成代数系统<G, ◦,-1,e>，则同态 f 是否满足： f(e1)=e2 ，f(x−1)=f(x)−1
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26
同态映射的性质1
同态保持元素的性质
f(e1)=e2 f(x−1)=f(x)−1 f 将生成元映到生成元(满同态时) |f(a)| 整除 |a|，同构条件下|f(a)| = |a|
8
置换群中元素的阶
元素的阶 k 阶轮换(i1 i2…ik) 的阶为k σ=τ1τ2…τl 是不交轮换的分解式，则 |σ|=[|τ1|,|τ2|,…,|τl|]
9
4元对称群
2阶元：(12),(13),(14),(23),(24),(34), (12)(34),(13)(24),(14)(23), 3阶元：(123),(132),(124),(142),(134), (143),(234),(243), 4阶元：(1234),(1243),(1324),(1342), (1423),(1432)
3 4
7
6
5
20
Calay定理
• Calay定理：每个有限群都与一个置换群 同构
21
置换群应用模型
给定n头牛，每头牛的“grumpiness”值 为g[i]，最终要将n头牛按照 “grumpiness”值从小到大有序排好， 交换两头牛的代价为两头牛的g值之和， 问如何安排交换，使得代价最小？
34
2018/6/29 31
同态核性质应用
例 设f 为G1 到G2 的同态, 则f −1(f(a)) = akerf , 证 a∈G1, x∈f −1(f(a)) ⇔ f(x) = f(a) ⇔ f (a)−1f(x) = e2 ⇔ f(a−1x) = e2 ⇔ a−1x∈kerf ⇔ x∈akerf
2种颜色涂22方格，允许任意旋转 旋转或翻转 1=(1), 2=(1234), 3=(13)(24), 4=(1432) c(1)=4, c(2)=1, c(3)=2, c(4)=1 M= (24+21+22+21) /4=6
19
着色方案举例2
2种颜色涂33方格，允许任意旋转或翻转 (1) (1357)(2468)(9),(1753)(2864)(9) (15)(37)(26)(48)(9) (13)(57)(48)(2)(6)(9), (17)(35)(26)(4)(8)(9), (37)(46)(28)(1)(5)(9), (15)(24)(68)(3)(7)(9) 1 2 M=(29+2*23+25+4*26) /8=102 8 9
(b1,b2,…,b7) =(6,3,1,2,4,7,5) S=4 (a1,a2,…,an) =(1,4,6,2,7,3,5)，对应轮换(1462735) (x1,x2,…,xn) =(4,7,5,6,1,2,3)
/problem?id=1721
23
群的同态与同构
定义： 群G1 ，G2，映射f: G1→G2． 若∀x,y∈G1，f(xy)=f(x)f(y) ， 则称 f 为G1 到G2 的同态映射，简称同态．
对称群、置换群、交错群
令Sn为{1,2,…,n}上所有n元置换的集合. Sn关于置换乘法构成群，称为n元对称群. Sn的子群称为n元置换群. 所有偶置换的集合做成 Sn的子群称为 n元 交错群An.
1
置换
定义：设A是一个非空有限集合，从集合 A到A的一个双射称为A的一个置换 A 上的n 元置换：|A| = n 时A 上的一一变 换 置换的表示法：令A={ 1, 2, …, n },
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同态映射的性质2
同态保持子代数的性质
H≤ G1 ⇒ f(H)≤ G2 H⊴G1, f 为满同态，f(H)⊴G2
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同态核
同态核 kerf = { x | x∈G1, f(x)=e2 } G1=<Z,+>,G2=<Zn,⊕>, G1 到G2 的满同态 f:Z→Zn, f(x)=(x)mod n
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小结:
集合和二元运算构成半群,独异点,群 群(集合及元素)的基本性质 群G 的给定子集H 构成子群 群G 的给定子群是正规的 f 是群G1 到G2 的同态映射 循环群，置换群
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作业
P218，25,27
同态核性质的证明
2018/6/29
10
置换群子群
{(1)}, S n， n 元交错群An 2元子群,……
11
置换群S3子群
S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}
子群6 个
<(1)>, S3,
<(12)>, <(13)>,<(23)>,
A3=<(123)>
12
置换群S4
S4={(1), (12),(13),(14),(23),(24),(34), (12)(34),(13)(24),(14)(23), (123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243), (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)}
14
置换群S4子群
四阶子群：<(1234)>, <(1243)>, <(1324)>,
{(1),(12)(34), (13)(24), (14)(23)},
{(1),(12),(34), (12)(34)},{(1),(13),(24), (13)(24)}
{(1),(14),(23), (14)(23)}
2 3 ...... n 1 (1) (2) (3) ...... ( n )
2
置换的表示法2
1 2 3 4 5 6 7 8 3 1 2 8 6 4 7 5
(132)(5648)
3
置换的表示法3
1 2 3 4 5 6 7 8 3 1 2 8 6 4 7 5
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同态核性质
同态核 kerf = { x | x∈G1, f(x)=e2 } (1)kerf={e1} ⇔ f 为单同态 (2)kerf⊴G1，∀a,b∈G1, f(a)=f(b) ⇔ akerf = bkerf
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30
同态核性质的证明
(2)证： (i)显然e1∈kerf ,非空. ∀a,b∈kerf, f(ab−1) = f(a)f(b)−1 = e2e2−1=e2 ⇒ ab−1∈kerf kerf 为1 的子群，下面证明正规性. (ii)∀g∈G1, ∀a∈kerf, f(gag−1) = f(g)f(a)f(g−1)= f(g)f(g−1) = f(e1)=e2 (iii)f(a)=f(b) ⇔ f(a)–1f(b)=e2 ⇔ f(a−1b)=e2 ⇔ a−1b∈kerf ⇔ akerf=bkerf
17
着色问题应用
Polya定理：设G是一个n个对象上的置换群， 用m种颜色对n个对象进行染色，当一种方 案在群G中的置换作用下变为另外一种方案， 就认为这两个方案是一样的。那么在这种规 定下不同的染色方案数为：
c( ) m /|G|
其中c()是置换的循环节(轮换个数)。
18
着色方案举例1
(132)(5648) =(13)(12)(56)(54)(58)
4
奇置换、偶置换
奇置换：表成奇数个对换之积 偶置换：表成偶数个对换之积 奇置换与偶置换之间存在一一对应，因 此各有n!/2个
5
置换的乘法与求逆
置换的乘法：函数的复合 例 如 ： 8 元 置 换 =(132)(5648) ， =(18246573), 则 =(15728)(3)(4)(6)=(15728) 置换求逆：求反函数 =(132)(5648)，-1=(8465)(231),
634215 (1 6 5) (2 3 4)
/problem?id=3270
22
置换群应用模型
洗牌机的功能：如果i位置的牌为j，j位置的 牌为k，那么洗牌机将i位置的牌变为k。 有n（奇数）张牌(数字为1到n) ，给定一个初 始顺序(a1,a2,…,an),在位置ai处放置ai+1,得到 牌的初始序列为(x1,x2,…,xn) ，洗牌S次后的 牌为(b1,b2,…,bn)， 求初始牌的排列。
4 3
16
置换群S4子群D4, D”4
2X2的方格图形在空间中旋转、翻转 D4={(1),(12),(34), 1 3 (12)(34),(13)(24),(14)(23), 4 2 (1324),(1423)} D’’4={(1),(14),(23), 1 2 (12)(34),(13)(24),(14)(23), 3 4 (1243),(1342)}
13
置换群S4子群
S4子群 ？ 个
平凡子群：<(1)>, S4,
二阶子群：<(12)>, <(13)>, <(14)>, <(23)>, <(24)>,<(34)>，
<(12)(34)>, <(13)(24)>, <(14)(23)>， 三阶子群：<(123)>， <(124)>， <(134)> ， <(234)>
六阶子群： S3=<(12),(123)> ，<(12),(124)>， <(13),(134)>， <(23),(234)> 十二阶子群：A4
15
置换群S4子群D4
D4 2X2的方格图形在空间中旋转、翻转 D4={(1), (13),(24), (12)(34),(14)(23), 1 2 (1234),(13)(24),(1432)}
6
3元对称群
例 3元对称群 S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)} 3元交错群A3={(1),(123),(132)}
7
4元对称群
S4={(1), (12),(13),(14),(23),(24),(34), (12)(34),(13)(24),(14)(23), (123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243), (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)}
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群的同态实例
G1=<Z,+> G2=<Zn,⊕>, G1 到G2 的满同态 f:Z→Zn, f(x)=(x)mod n
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25
群的同态与同构
群同态只要求保持乘法运算,即若 ∀x,y∈G1，f(xy)=f(x)f(y) ，
若将群看成代数系统<G, ◦,-1,e>，则同态 f 是否满足： f(e1)=e2 ，f(x−1)=f(x)−1
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同态映射的性质1
同态保持元素的性质
f(e1)=e2 f(x−1)=f(x)−1 f 将生成元映到生成元(满同态时) |f(a)| 整除 |a|，同构条件下|f(a)| = |a|
8
置换群中元素的阶
元素的阶 k 阶轮换(i1 i2…ik) 的阶为k σ=τ1τ2…τl 是不交轮换的分解式，则 |σ|=[|τ1|,|τ2|,…,|τl|]
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4元对称群
2阶元：(12),(13),(14),(23),(24),(34), (12)(34),(13)(24),(14)(23), 3阶元：(123),(132),(124),(142),(134), (143),(234),(243), 4阶元：(1234),(1243),(1324),(1342), (1423),(1432)
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Calay定理
• Calay定理：每个有限群都与一个置换群 同构
21
置换群应用模型
给定n头牛，每头牛的“grumpiness”值 为g[i]，最终要将n头牛按照 “grumpiness”值从小到大有序排好， 交换两头牛的代价为两头牛的g值之和， 问如何安排交换，使得代价最小？
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同态核性质应用
例 设f 为G1 到G2 的同态, 则f −1(f(a)) = akerf , 证 a∈G1, x∈f −1(f(a)) ⇔ f(x) = f(a) ⇔ f (a)−1f(x) = e2 ⇔ f(a−1x) = e2 ⇔ a−1x∈kerf ⇔ x∈akerf
2种颜色涂22方格，允许任意旋转 旋转或翻转 1=(1), 2=(1234), 3=(13)(24), 4=(1432) c(1)=4, c(2)=1, c(3)=2, c(4)=1 M= (24+21+22+21) /4=6
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着色方案举例2
2种颜色涂33方格，允许任意旋转或翻转 (1) (1357)(2468)(9),(1753)(2864)(9) (15)(37)(26)(48)(9) (13)(57)(48)(2)(6)(9), (17)(35)(26)(4)(8)(9), (37)(46)(28)(1)(5)(9), (15)(24)(68)(3)(7)(9) 1 2 M=(29+2*23+25+4*26) /8=102 8 9
(b1,b2,…,b7) =(6,3,1,2,4,7,5) S=4 (a1,a2,…,an) =(1,4,6,2,7,3,5)，对应轮换(1462735) (x1,x2,…,xn) =(4,7,5,6,1,2,3)
/problem?id=1721
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群的同态与同构
定义： 群G1 ，G2，映射f: G1→G2． 若∀x,y∈G1，f(xy)=f(x)f(y) ， 则称 f 为G1 到G2 的同态映射，简称同态．
对称群、置换群、交错群
令Sn为{1,2,…,n}上所有n元置换的集合. Sn关于置换乘法构成群，称为n元对称群. Sn的子群称为n元置换群. 所有偶置换的集合做成 Sn的子群称为 n元 交错群An.
1
置换
定义：设A是一个非空有限集合，从集合 A到A的一个双射称为A的一个置换 A 上的n 元置换：|A| = n 时A 上的一一变 换 置换的表示法：令A={ 1, 2, …, n },
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同态映射的性质2
同态保持子代数的性质
H≤ G1 ⇒ f(H)≤ G2 H⊴G1, f 为满同态，f(H)⊴G2
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同态核
同态核 kerf = { x | x∈G1, f(x)=e2 } G1=<Z,+>,G2=<Zn,⊕>, G1 到G2 的满同态 f:Z→Zn, f(x)=(x)mod n
2018/6/29 32
小结:
集合和二元运算构成半群,独异点,群 群(集合及元素)的基本性质 群G 的给定子集H 构成子群 群G 的给定子群是正规的 f 是群G1 到G2 的同态映射 循环群，置换群
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同态核性质的证明
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置换群子群
{(1)}, S n， n 元交错群An 2元子群,……
11
置换群S3子群
S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}
子群6 个
<(1)>, S3,
<(12)>, <(13)>,<(23)>,
A3=<(123)>
12
置换群S4
S4={(1), (12),(13),(14),(23),(24),(34), (12)(34),(13)(24),(14)(23), (123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243), (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)}
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置换群S4子群
四阶子群：<(1234)>, <(1243)>, <(1324)>,
{(1),(12)(34), (13)(24), (14)(23)},
{(1),(12),(34), (12)(34)},{(1),(13),(24), (13)(24)}
{(1),(14),(23), (14)(23)}
2 3 ...... n 1 (1) (2) (3) ...... ( n )
2
置换的表示法2
1 2 3 4 5 6 7 8 3 1 2 8 6 4 7 5
(132)(5648)
3
置换的表示法3
1 2 3 4 5 6 7 8 3 1 2 8 6 4 7 5
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同态核性质
同态核 kerf = { x | x∈G1, f(x)=e2 } (1)kerf={e1} ⇔ f 为单同态 (2)kerf⊴G1，∀a,b∈G1, f(a)=f(b) ⇔ akerf = bkerf
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同态核性质的证明
(2)证： (i)显然e1∈kerf ,非空. ∀a,b∈kerf, f(ab−1) = f(a)f(b)−1 = e2e2−1=e2 ⇒ ab−1∈kerf kerf 为1 的子群，下面证明正规性. (ii)∀g∈G1, ∀a∈kerf, f(gag−1) = f(g)f(a)f(g−1)= f(g)f(g−1) = f(e1)=e2 (iii)f(a)=f(b) ⇔ f(a)–1f(b)=e2 ⇔ f(a−1b)=e2 ⇔ a−1b∈kerf ⇔ akerf=bkerf
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着色问题应用
Polya定理：设G是一个n个对象上的置换群， 用m种颜色对n个对象进行染色，当一种方 案在群G中的置换作用下变为另外一种方案， 就认为这两个方案是一样的。那么在这种规 定下不同的染色方案数为：
c( ) m /|G|
其中c()是置换的循环节(轮换个数)。
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着色方案举例1
(132)(5648) =(13)(12)(56)(54)(58)
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奇置换、偶置换
奇置换：表成奇数个对换之积 偶置换：表成偶数个对换之积 奇置换与偶置换之间存在一一对应，因 此各有n!/2个
5
置换的乘法与求逆
置换的乘法：函数的复合 例 如 ： 8 元 置 换 =(132)(5648) ， =(18246573), 则 =(15728)(3)(4)(6)=(15728) 置换求逆：求反函数 =(132)(5648)，-1=(8465)(231),
634215 (1 6 5) (2 3 4)
/problem?id=3270
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置换群应用模型
洗牌机的功能：如果i位置的牌为j，j位置的 牌为k，那么洗牌机将i位置的牌变为k。 有n（奇数）张牌(数字为1到n) ，给定一个初 始顺序(a1,a2,…,an),在位置ai处放置ai+1,得到 牌的初始序列为(x1,x2,…,xn) ，洗牌S次后的 牌为(b1,b2,…,bn)， 求初始牌的排列。
4 3
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置换群S4子群D4, D”4
2X2的方格图形在空间中旋转、翻转 D4={(1),(12),(34), 1 3 (12)(34),(13)(24),(14)(23), 4 2 (1324),(1423)} D’’4={(1),(14),(23), 1 2 (12)(34),(13)(24),(14)(23), 3 4 (1243),(1342)}
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置换群S4子群
S4子群 ？ 个
平凡子群：<(1)>, S4,
二阶子群：<(12)>, <(13)>, <(14)>, <(23)>, <(24)>,<(34)>，
<(12)(34)>, <(13)(24)>, <(14)(23)>， 三阶子群：<(123)>， <(124)>， <(134)> ， <(234)>
六阶子群： S3=<(12),(123)> ，<(12),(124)>， <(13),(134)>， <(23),(234)> 十二阶子群：A4
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置换群S4子群D4
D4 2X2的方格图形在空间中旋转、翻转 D4={(1), (13),(24), (12)(34),(14)(23), 1 2 (1234),(13)(24),(1432)}
6
3元对称群
例 3元对称群 S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)} 3元交错群A3={(1),(123),(132)}
7
4元对称群
S4={(1), (12),(13),(14),(23),(24),(34), (12)(34),(13)(24),(14)(23), (123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243), (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)}