收入效应和替代效应的计算

两种商品的效用函数为U=XY，消费者的收入为144，x，y 开始价格都是4元。问1：求价格都为4时，效用最大化，均衡点对应X的数量是多少（即X总效应）？（1）预算约束为4X+4Y=144

将Y=36-X 代入效用函数得：U=X(36-X)

效用极大化条件为dU/dX=-2X+36=0, 故X=18

代入预算约束得Y=18, 代入效用函数得Umax=324 此时X、Y（18，18）即此时X的总效应值为18

问2：Y的价格为4元不变，若X的价格上升至9元后，为效用最大化，均衡点对应X的数量多少（即X总效应）？总效应△X变化是多少？

（2）X的价格变化后的预算约束为9X+4Y=144

将Y=36-2.25X, 代入效用函数得U=X(36-2.25X)=-2.25X2+36X

效用极大化条件为dU/dX=-4.5X+36=0, 故X=8

代入预算约束得Y=18, 代入效用函数得Umax=XY=144 此时X、Y（8，18）即此时X的总效用值为8。总效应△X少了10，即△X =8-18=-10

问3：若X的价格上升至9元后，所带来的替代效应△X1是多少？

(3)假设X的价格变化后，要维持最初的效用水平U=324所需的收入为m

那么其预算约束为9X+4Y=m

与已知的XY=324 两式联解，得

m=9X+4Y= 9X+1296/X

m的极小化条件为dU/dm=9-1296X-2=0, 所以X=12

代入效用函数得Y=27，代入预算约束条件得m=9X+4Y=216

相同效用324时有两种X、Y组合（18，18），（12，27），表现为同一条无差异曲线上的点移，这个点移就是替代效应△X1。即减少了6，△X1=12-18=-6

问4：若X的价格上升至9元后，所带来的收入效应△X2是多少？

（4）总效应：△X=8-18=-10

替代效应为：△X1=12-18=-6

收入效应为：△X2=△X-△X1=-4

注：参见《西方经济学(微观部分)同步辅导》(第4版)配高鸿业第四版P49