本征值和本征函数的计算

1． 直接矢量计算
引入两个辅助算符： b = 1 ( p − imωx) ， b+ = 1 ( p + imωx) ，
2mhω
2mhω
显然有
( ) bb+ = 1 p2 + m2ω2x2 + imω [ p, x]
2mhω
( ) = 1
2mhω
p2 + m2ω2x2 + mhω
=
1 hω
⎛ ⎜⎝
H
+
xij E j − Ei xij
=i h
Ei − E j
xij ，
∑( ) ∑( ) mω2xij
=
1 ih
l
Hil plj − pil Hlj
=1 ih
l
Eiδil plj − pil Elδlj
( ) ( ) = 1 ih
Ei pij − pij E j
=−i h
Ei − E j
pij ，
∴
⎧i
Eiδij
=
1 2m
k
pik
pkj
+
1 2
mω 2
k
xik xkj
=
1 2m
k
pik
pkj
+
1 2
mω2 −1
k
⎡⎣−ω2
i−k
k − j pik pkj ⎤⎦
∑ = 1 2m
k
pik pkj ⎡⎣1− (i − k )(k − j)⎤⎦ ,
5
高等量子力学讲义（研究生用）
§2.2 本征函数和本征值的计算
dn dξ n
e−ξ 2
为汉克函数，
En
=
⎛ ⎜⎝
n
+
1 2
⎞ ⎟⎠
hω,
n
= 1, 2,...... 。
ψ n (ξ ) 的通式可由数学归纳法证明：
设ψ n (ξ ) =
(i)n 4
2n n!
mω πh
−
e
1ξ 2
2
H
n
(ξ
) ，则有ψ 0
=
4
mω
− 1ξ 2
e2
满足左式，
πh
∧
ψ n+1 (ξ ) =
Q
[x, H ] =
ih
∂H ∂p
，[H,
p] =
ih
∂H ∂x
，H
=
1 2m
p2
+
1 2
mω2 x2 ，
∴ ∂H = p = 1 ( xH − Hx) ， ∂H = mω2x = 1 ( Hp − pH ) ，
∂p m ih
∂x
ih
4
高等量子力学讲义（研究生用）
§2.2 本征函数和本征值的计算
河北师范大学 刘建军
∧
x
=
x
，
∧
p
=
−ih
∂ ∂x
，
而本征态的波函数为 ψ n ( x) = x n ，
0 ...⎞ ⎟
0
...
⎟ ⎟
。
3 ...⎟
0 ...
... ...
⎟ ⎟⎟⎠
而 b+ n = n +1 n +1 ， b 0 = 0 ，只要求出ψ 0 ( x) = x 0) ，就可求出ψ n ( x) ，在
x 表象中有：
+
2
pi,i
+1
pi+1,i
}δ
。
ij
∴
( ) ( ) 1
m
p p + p p i,i−1 i−1,i
i,i+1 i+1,i
= Ei =
i+ε
hω 。
Q
∴ p+ = p ，
pi,i±1
=
p* i ±1,i
由此可知 b λ 也是 b+b 的本征矢，其本征值为 λ −1，而模为 λ ，所以
b λ = λ λ −1 ，
∴
bn λ
1
= [λ (λ − 1)L (λ − n + 1)] 2 λ − n
， (n = 0,1,2,L)
1
高等量子力学讲义（研究生用）
§2.2 本征函数和本征值的计算
河北师范大学 刘建军
因此 b 为下降算符，若 λ 为 b+b 的本征值，则 λ − n ≥ 0 也是 b+b 的本征值，而 b 0 = 0 ，因此 b+b 的本征值 λ 只有是非负整数时，才能保证 b 是下降算符时 bn λ
得出的态中没有 b+b 的本征值为负值的本征态。所以有 λ = 0,1, 2..... 。
考察用 b+ 作用于①式两边：
− 1ξ 2
−e 2
d dξ
Hn
ξ
− 1ξ 2
+ξe 2 Hn
ξ
⎤⎥。 ⎦
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ψ n+1 ξ =
i n+1
4
2n+1 n +1 !
mω πh
⎡
− 1ξ 2
⎢2ξe 2 Hn
⎣
ξ
− 1ξ 2
−e 2
−1 n 2ξ eξ2
dn
e−ξ 2
− 1ξ 2
−e 2
dξ n
⎡⎣1− (i
− i −1)(i +1−
j )⎤⎦
δ + pi,i−1 pi−1, j j,i ⎡⎣1− (i − i −1) (i −1− j )⎤⎦ + δ p p i,i−1 i−1, j j,i−2 ⎡⎣1− (i − i +1) (i −1− j )⎤⎦}
=
1 2m {2 pi,i−1 pi−1,i
在能量表象中，H 矩阵为对角矩阵，其矩阵元可写成 Hij = Eiδij ，其中重复脚标并
不表示求和，将上式写成矩阵元式为：
∑( ) ∑( ) Q
( ) 1
m
pij
=
1 ih
xH − Hx = 1 ij ih
l
xil Hlj − Hil xlj
=1 ih
l
xil Elδlj − Eiδil xlj
( ) ( ) = 1 ih
⎛ 0 0 0 0 ...⎞
⎛1
⎜ ⎜
2
0
0
0 ...⎞⎟ ⎟
b+b
=
⎜ ⎜ ⎜
0 0
⎜ ⎝
M
1 0 M
0 2 M
0 0
...⎟⎟ ...⎟
，
H
=
hω
⎜ ⎜ ⎜
0
M ...⎟⎠
⎜0 ⎜
3 2
0
0
5 2
0 ...⎟⎟ ⎟
0 ...⎟ ⎟
⎜⎝ M M M M M ⎟⎠
（注意序号排列按 0,1,2,3,…次序）。所以本征矢矩阵形式为
不为零。
∴
( ) ( ) pij = pij
δ δ + j,i+1
j ,i −1
，
xij = xij
δ δ + j,i+1
j ,i −1
，
( ) 将 mω2xij
=
−
i h
Ei − E j
pij = −iω (i − j ) pij 代入哈密顿矩阵元有：
∑ ∑ ∑ ( ) ∑ ( )( ) Hij
=
高等量子力学讲义（研究生用）
§2.2 本征函数和本征值的计算
河北师范大学 刘建军
§2.2 本征函数和本征值的计算
..
我们讨论 Schrodinger 方程的定态解，则解方程 H ψ = E ψ ，这个方程的求
解可以直接由矢量求解，也可以在某一表象中求解。以一维振子问题为例分几种
情况讨论。对一维振子问题，其哈密顿为 H = 1 p2 + 1 mω2 x2 2m 2
⎛1⎞
⎛0⎞
⎛0⎞
0
=
⎜ ⎜ ⎜
0 0
⎟ ⎟ ⎟
，
1
=
⎜ ⎜ ⎜
1 0
⎟ ⎟ ⎟
，
2
=
⎜ ⎜ ⎜
0 1
⎟ ⎟ ⎟
,......
。
⎜ ⎝
M
⎟ ⎠
⎜ ⎝
M
⎟ ⎠
⎜ ⎝
M
⎟ ⎠
Q
x = i h (b − b+ ) ， p = mhω (b + b+ ) ，
2mω
2
∴
⎛0
10
⎜
1 ⎜− 1 0
2
x
=
i
⎡ ⎢⎣
+δk,i−1δ j,k+1 ⎡⎣1− (i − k ) (k − j )⎤⎦ + δk,i−1δ j,k−1 ⎡⎣1− (i − k ) (k − j )⎤⎦}
=
1 2m
{
pi,i
+1
pi
+1,
jδ
j
,i+
2
⎡⎣1− (i − i
−1)(i +1−
j)⎤⎦ +
p p δ i,i+1 i+1, j j,i
河北师范大学 刘建军
( ) 将 pij = pij
δ δ + j,i+1
j ,i −1
代入得
∑ ( ) ( ) ( )( ) Eiδij
=
1 2m
k
pik
δ δ + k ,i+1 k ,i−1
pkj
δ δ + j,k +1
j,k −1
⎡⎣1− i − k
k − j ⎤⎦
∑ = 1 2m
k
pik δ δ p {kj k,i+1 j,k+1 ⎡⎣1− (i − k ) (k − )j ⎤⎦ + δk,i+1δ j,k−1 ⎡⎣1− (i − k ) (k − j )⎤⎦ +
，
本征矢为：
1 = b+ 0 , 2 = 1 b+ 1 ,......, n +1 = 1 b+ n ,
2
n +1
而 b 0 =0。
我们将 H 的全部本征矢取为希尔伯特空间的基，则可得到能量表象中（占有 数表象）各算符的表示，b 和 b+ 矩阵元为
bmn = m b n = m n n −1 = nδm,n−1 ， bm+n = m b+ n = m n +1 n +1 = n +1δm,n+1 。
−
i 2
⎛ ⎜ ⎝
d dξ
+ξ
⎞⎟ψ ⎠
0
(ξ
)
=
0
，
4
解得：ψ 0 (ξ ) =
mω
−1ξ
e2
2
，
πh
再由 b+ n = n +1 n +1 ，可逐项求出ψ n (ξ ) ，最后得
ψ n (ξ ) =
(i)n 4
2n n!
mω πh
−
e
1ξ 2
2
H
n
(ξ
)
，
其中 Hn (ξ )
=
(−1)n eξ 2
( ) ( ) b+b+b λ = b+ bb+ −1 λ = b+b −1 b+ λ = λb+ λ ，
∴
( ) b+b b+ λ = (λ +1)b+ λ ，
由此可以看出 b+ λ 也是 b+b 的本征矢，其本征值为 λ +1，而
( ) b+ λ 2 = λ bb+ λ = λ 1+ b+b λ = λ +1，
h 2mω
⎤ ⎥⎦
2
⎜ ⎜ ⎜
⎜
0 0
⎜⎝ ...
−2 0 0 −3 ... ...
0 0 3 0 ...
...⎞
⎟
...⎟
⎟
...⎟
...
⎟ ⎟
... ⎟⎠
，
p
=
⎡ ⎢⎣
mhω 2
⎤ ⎥⎦
1 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 1 0 0 ...
1 0 2 0 ...
0 2 0 3 ...
可以将此结果取 x 表象，在 x 表象中：
−1
en ξ 2
d n+1 dξ n+1
e−ξ
2
⎤ ⎥
⎦
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) =
i n+1
4
2n+1 n +1 !
mω
e
−
1ξ 2
2
πh
−1
e n+1 ξ 2
d n+1 dξ n+1
e−ξ2 =
i n+1
4
2n+1 n +1 !
mω πh
−
e
1 2
ξ
2
H
n
+1
ξ
成立。
2. 在能量表象中计算
2
高等量子力学讲义（研究生用）
§2.2 本征函数和本征值的计算
河北师范大学 刘建军
⎛ 0 1 0 0 ...⎞
⎛ 0 0 0 0 ...⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
∴
b
=
⎜ ⎜
0
0
⎜0 0
2 0
0 3
...
⎟ ⎟
，
b
+
...⎟
=
⎜ ⎜
⎜
1 0
0 2
0 0
0 0
...⎟ ...⎟⎟
，
⎜⎝ M M M M ...⎟⎠
⎜⎝ M M M M ...⎟⎠
∴ b+ λ = λ +1 λ +1 ，由此可知 b+ 是上升算符。
H
λ
=
hω
⎛ ⎜⎝
b+b
+
1⎞ 2 ⎟⎠
λ
=
hω
⎛ ⎜⎝
λ
+
1 2
⎞ ⎟⎠
λ
，
由于 λ 是非负整数，所以习惯上用 n 代替 λ ，即
Hn
=
hω(n
+
1) 2
n
， n = 0,1,2,L，
所以得到本征值：
En
=
hω
⎛ ⎜⎝
n
+
1 2
⎞ ⎟⎠
解，否则为零。这表明只有当 H 的本征值以差 hω 的间隔取等间距分立数值时 x和p 矩阵才不为零。设
Ei = (i + ε ) hω ，其中 i = ...... − 2, −1, 0,1, 2,...... ，并按小到大排列， 0 ≤ ε ≤ 1。
相邻本征值相差 hω ，于是对 x和p 的矩阵元只有当行标和列标相差 ±1时矩阵元才
1 2
hω
⎞ ⎟⎠
,
同理可得
b+b
=
1 hω
⎜⎛ ⎝
H
−
1 2
hω
⎟⎞ ⎠
。
Q
( ) H