高三数学反证法PPT精品课件

=p12+p22-2p1p2=(p1-p2)2≥0,
即 △1+△2≥0, 与 △1+△2<0 矛盾.
∴假设不成立. 故这两个方程至少有一个有实根.
3.设 f(x)=x2+ax+b, 求证: |f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 中至少有一个不
小于
1 2
.
证: 假设 |f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 全小于
2.若 p1p2=2(q1+q2), 证明关于 x 的方程 x2+p1x+q1=0 与 x2+p2x+ q2=0 中, 至少有一个方程有实根. 证: 假设这两个方程都没有实根, 则 △1<0 且 △2<0, 从而有:
△1+△2<0. 又∵△1+△2=(p12-4q1)+(p22-4q2)=p12+p22-4(q1+q2)
原命题 若p则q
互 否
互逆
互
否
为逆
为逆
互
否
逆命题 若q则p
互 否
否命题 若p 则q
互逆
逆否命题 若q 则p
注: 互为逆否命题的两个命题同真假.
三、反证法
1.一般步骤 ①反设: 假设命题的结论不成立, 即假设结论的反面成立;
②归谬: 从假设出发, 经过推理论证, 得出矛盾;
③结论: 由矛盾判定假设不正确, 从而肯定命题的结论正确. 2.命题特点
1 c
>2+
1 c
>2,
也与已知条件矛盾.
∴假设不成立.
∴a, b, c 中至少有两个不小于 1.
课堂练习
cx21+.已ax知+ b4a=b0c中0,至求少证有: 三一个个方方程程有ax实2+b数x+根c4.
=0、bx2+cx+
a 4
=0
与
2.对于函数 f(x)=x2+ax+b(a, bR), 当 x[-1, 1] 时, |f(x)| 的最
∴△1, △2, △3 中至少有一个非负.
故所述三个方程中至少有一个方程有实数根.
2.对于函数 f(x)=x2+ax+b(a, bR), 当 x[-1, 1] 时, |f(x)| 的最
大值为 M,
求证:
M≥
1 2
.
证:
假设
M<
1 2
,
则
|f(1)|=|1+a+b|<
1 2
,
|f(0)|=|b|<
1 2
大值为 M,
求证:
M≥
1 2
.
3.方程 x2 -mx+4=0 在[-1, 1]上有解, 求实数 m 的取值范围.
1.证: 设三个方程的判别式分别为△1, △2, △3, 由 △1+△2+△3=b2 -ac+c2 -ba+a2 -cb = 12[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0 即 △1+△2+△3 ≥0.
①a, b, c 三数均小于 1, 即 0<a<1, 0<b<1, 0<c<1, 则:
1 a
>1,
1 b
>1,源自文库
1 c
>1,
∴
1 a
+
1 b
+
1 c
>3,
与已知条件矛盾;
②a, b, c 中恰有两数小于 1, 不妨设 0<a<1, 0<b<1, 而 c≥1,
则
1 a
>1,
1 b
>1,
∴
1 a
+
1 b
+
-6<a<-4
⑤
显然④与⑤矛盾,
∴假设不成立.
故 |f(1)|、|f(2)|、|f(3)|
中至少有一个不小于
1 2
.
4.设三个正数 a, b, c 满足条件 少有两个不小于 1.
1 a
+
1 b
+
1 c
=2,
求证: a, b, c 中至
证: 假设 a, b, c 中至多有一个数不小于 1, 这包含两种情况:
,
|f(-1)|=|1-a+b|<
小于
1 2
.
4.设三个正数 a, b, c 满足条件 少有两个不小于 1.
1 a
+
1 b
+
1 c
=2,
求证: a, b, c 中至
1.某班有 49 位学生, 证明: 至少有 5 位学生的生日同月.
证: 假设至多有 4 位学生的生日同月, 即: 生日在 1, 2, …, 12 月的学生人数都不超过 4 人. 则该班学生总数 m≤412=48人, 与该班有 49 位学生的条件矛盾, ∴假设不成立. ∴至少有 5 位学生的生日同月.
典型例题
用反证法证明下列各题:
1.某班有 49 位学生, 证明: 至少有 5 位学生的生日同月.
2.若 p1p2=2(q1+q2), 证明关于 x 的方程 x2+p1x+q1=0 与 x2+p2x+ q2=0 中, 至少有一个方程有实根.
3.设 f(x)=x2+ax+b, 求证: |f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 中至少有一个不
一、命题的有关概念
1.命题 可以判断真假的语句.
2.逻辑联结词 “或”、“且”、 3.简单命题 不含“逻非辑”联. 结词的命题. 4.复合命题 含有逻辑联结词的命题.
5.复合命题真值表
p 非p p q p或q p q p且q
“p 且 q”形
真 假 真 真 真 真 真 真 式的复合命题
假 真 真 假 真 真 假 假 当p 与q同时为
原结论词 有无穷多个
存在唯一的
对任意 x, 使…恒成立
反设词 只有有限多个 不存在或至少存在两个 至少有一个 x, 使…不成立
4.引出矛盾的形式 ①由假设结论 q 不成立, 得到条件 p 不成立; ②由假设结论 q 不成立, 得到结论 q 成立; ③由假设结论 q 不成立, 得到一个恒假命题; ④分别由假设与条件推得的两个结论矛盾.
①结论本身以否定形式出现; ②结论是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是” 等③形 结式 论涉; 及“存在或不存在”，“有限或无限”等 形④式 结;论的反面比原结论更具体或更易于证明.
3.特殊结论的反设
原结论词 大于(>) 小于(<) 都是
都不是
至少 n 个 至多 n 个
反设词 不大于(≤) 不小于(≥) 不都是 至少有一个是 至多 n-1 个 至少 n+1 个
1 2
,
即:
-
1 2
<1+a+b<
1 2
-
3 2
<a+b<-
1 2
①
-
1 2
<4+2a+b<
1 2
-
9 2
<2a+b<-
7 2
②
-
1 2
<9+3a+b<
1 2
-
129 <3a+b<-
17 2
③
由①式得
1 2
<-a-b<
3 2
,
与②式相加得 -4<a<-2
④
由②式得
7 2
<-2a-b<
9 2
,
与③式相加得
“非 p” 假 真 真 形式的复合 假 假 假
假 真 假 真时为真, 其 假 假 假 它情形为假.
命题与 p 的 真假相反;
“p 或 q”形式的复合命题当 时为假, 其它情形为真;
p
与
q
同时为假
二、命题的四种形式
原命题: 若 p, 则 q;
逆命题: 若 q, 则 p;
否命题: 若p, 则q; 逆否命题: 若q, 则p.