定量资料的统计推断
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t t 0.05, ，则P 0.05； t t 0.05, ，则P 0.05
36
假设检验的基本步骤： 下结论
• 本题的结果由于P>0.05，因此尚不认
为该县儿童前囟门闭合时间与正常儿 童有不同（从均数为14.1的总体中抽 样，得到14.3的样本均数并非小概率 事件）
37
一、t检验
24
假设检验的一般步骤
t
X m sX
P t 2.841
0.025
0.025
-2.064
0
2.064
25
假设检验的一般步骤:结论
• 如果P≤a，则表示在H0成立的情况下，出现当前 样本以及比当前更极端情况的概率是小概率事件， 根据小概率事件的原理，现有样本信息不支持H0， 因而拒绝H0 • 若P>a，则表示在H0成立的情况下，出现当前样本 以及比当前更极端情况的概率并非小概率事件， 根据当前的样本信息还不足于拒绝H0 • 所以结论要么为拒绝H0，要么不拒绝H0；而且它 们都是有概率性的，不论是两种中的哪一种，都 有可能患错误！
•
原假设是否成立？
9
• 假设检验的基本目的就是分辨两个或多 个样本是否属一个总体或不同的总体， 并对总体作出适当的结论。
10
假设检验(hypothesis test)
• 先对总体的参数 ( 或分布形式 ) 提出某 种假设，然后利用样本信息判断假设是否 成立的过程。
• 逻辑上运用反证法（暂且认为总体的情况 如此，而后看样本信息是否能够驳倒原先 的假设），统计上依据小概率原理（如果 样本的情况属于小概率事件，那么小概率 事件不应该在一次抽样的情况下发生）
目前的差异是主要由于本质上的差别引起。
15
原假设(null hypothesis)
• • • • 研究者想收集证据予以反驳的假设 总是含有符号 “＝”，又称“ 0假设” 总是针对未知的总体参数作假设 表示为 H0，记为H0：m = 某一数值； 表示样本所来源的总体参数＝某具体 数值
16
对立假设(alternative hypothesis)
–该地区的儿童前囟门闭合时间与普通北方儿童 存在本质上的差异：营养不良导致囟门闭合时 间后移？ • 两种情况只有一个是正确的，且二者必居其一， 需要我们作出选择。
31
假设检验的基本步骤： 建立假设
• H0：m＝14.1，该县儿童前囟门闭合的时 间与正常儿童相同 • H1：m>14.1，该县儿童前囟门闭合的时间 比正常儿童推迟（但是具体推迟多少不知 道）
• 两种情况只有一个是正确的，且二者必居其一， 需要我们作出推断。
14
假设检验的一般步骤
• 步骤1：建立假设
• 在假设的前提下有规律可寻
–零假设(null hypothesis)，记为H0，表示目前的差异 是由于抽样误差引起的。 –备择假设(alternative hypothesis)，记为H1，表示
总体
A
µ
130
σ
7.5
a1/b1 138.2
a2
131.9 128.3
3
B
140
8.2
• 当A和B总体的参数已知时
a1-a2 a1-b1
抽样误差 本质差别
4
• 假如事先不知道A和B是不是同一个总体
抽样误差 A=B A≠B
a1-b1
？
本质差别
5
如何解决上述问题？
如何分辨两个样本是否属一个总体或两个不同的 总体，并对总体作出适当的结论？
H0假设比较单纯、明确，且在该假设的 前提下就有规律可寻。而H1假设包含的情 况比较复杂。因此，检验是针对H0的。
32
假设检验的基本步骤： 确定a
• 步骤2：确立检验水准α （significance level) • α =0.05
33
假设检验的基本步骤： 构建统计量
根据原假设，儿童前囟门闭合时间x服从正态分布：x ~ N (14.1, 2 )；
11
假设检验的基本思想
• 提出一个假设 • 如果假设成立，计算现有样本以及比它更 极端的可能性
– 可能性很小（小概率事件），在一次试验中本 不该得到，居然得到了，说明我们的假设有问 题，拒绝之。 – 有可能得到手头的结果(非小概率事件)，故根 据现有的样本无法拒绝事先的假设（没理由）
12
例1
样本：随机抽查25名男炊事员的血清总胆固 醇，求得其均数为 5.1mmol/L ，标准 差为0.88mmol/L。 问题：该单位食堂炊事员的平均血清总胆固 醇含量是否与健康成年男子的平均血 清总胆固醇相同 (健康成年男子的平 均血清总胆固醇为4.6mmol/L)。
22
• 本例中已知 n=25， X =5.1(mmol/l)，
s=0.88(mmol/l) ，m0=4.6(g/l)，则检验统计量t：
t
5.1 4.6 0.88 25
2.841
百度文库23
假设检验的一般步骤
• 计算概率P
–P值的含义为：当H0成立的情况下，获得现有统 计量以及更不利于H0的统计量的可能性有多大 –即与统计量t值对应的概率 ； –即在H0成立的前提下，获得现有这么大的标准t 离差以及更大离差 |t|≥2.841的可能性; –查自由度为24的t界值表 P=P(|t|≥2.841)<0.05
39
• 计算公式：
n50或已知时，用u检验
X m0 X m0 u ( 0已知) 或u (n 60) 0 / n s/ n n50时，用t检验
假设： 她在耍大家
如果她都是瞎猜，却全部正确。 这样的概率为多少呢？
0.510 0.001
认为在假设成立时在一次试验中出现小概率 事件是不可能的，故断定假设不成立。
7
商家和鸡蛋
• 某商家宣称他的一大批鸡蛋“变质率为1%”。 为了对这批鸡蛋的质量做出判断，顾客与 商家约定，从中随机抽取5个做检查。结果 为4个“好蛋”，1个“坏蛋”。
第3 章
定量资料的统计推断
1
统计推断(statistical inference)
• 总体参数的估计 • 假设检验
2
• 总体Α是100例正常成年男子的血红蛋白 (单位：g/L)，从中随机抽取样本a1 和样 本 a2 ； • 总体B是另外100例正常成年男子的红细胞 数，从中随机抽取样本b ；三个样本的含 量均为10例，有关数值如下：
20
假设检验的一般步骤
• 步骤3：计算检验统计量和P值 • 计算检验统计量
–即计算样本与所假设总体的偏离 ； –样本均数与总体均数m0 间的差别可以 用统计量t来表示：
t
X m0 s n
21
假设检验的一般步骤
• 根据抽样误差理论，在H0的假设前提下，统
计量t服从自由度为n-1的t分布，即t值在0 的附近的可能性大，远离0的可能性小，离 0越远可能性越小。
样本均数(其总体均数为m)与已知总体均数m0的比较
目的
双侧检验 单侧检验 是否mm0 是否m>m0
H0 m=m0 m=m0 m=m0
H1 mm0 m>m0 m<m0
或是否m<m0
18
假设检验的一般步骤
• H0：m＝4.6，该单位炊事员与正常人的平均血清总 胆固醇相等；（差别仅仅是由于抽样误差所致） • H1：m≠4.6，该单位炊事员与正常人的平均血清总 胆固醇不等。（本质上的差别）
13
假设检验的一般步骤
• 从资料提供的信息来看，样本均数5.1与总体 均数4.6不相等，其原因可有以下两个方面：
–样本对应的总体均数等于4.6，差别仅仅是由于抽样误 差所致；(偶然的、随机的、较小的) –除抽样误差外，该单位食堂炊事员与健康男性存在本 质上的差异：偷东西吃？。(必然的、大于随机误差)
• 在假设检验中使用了t统计量，所以 就称之为t检验 • t检验的使用是有条件的，如果不满 足条件使用，那么构建t统计量以及 使用t分布曲线下面积规律估计概率 就是不合理的 • 什么样的资料可以计算t值？
38
t检验的使用条件
• 随机变量是定量变量 • 个体值、两个配对设计总体中对应个体的差值、 两个完全随机设计的总体的个体值满足正态分布 或近似正态分布 • 如果是两个完全随机设计的均值比较要求样本所 来源的总体方差齐性 • 在满足上述条件下，如果总体标准差未知，而且 样本含量较小，考虑使用t检验；而如果已知总体 标准差或样本含量较大则可以使用U检验
26
•
根据t分布曲线下面积的分布规律(抽样分布规律)，
在H0成立的前提下出现现有差别或更大差别的可能性
P(|t|≥2.841)小于0.05，是小概率事件，这在一次试验
中是不太可能发生的。然而不太可能发生的事件在一次试 验中居然发生了，即现有样本信息不支持H0。因此，拒绝
H0 。
• 本例P＜0.05，按a =0.05的水准，拒绝H0，接受H1，差别 有统计学意义。认为该单位炊事员血清总胆固醇平均水平 不等于正常人。
P≤ a P＞a
结论
拒绝H0，接受H1
不拒绝H0
29
假设检验的基本步骤
• 例：已知北方儿童前囟门闭合的月龄 为14.1月；某研究人员从东北某县随 机抽取36名儿童，求得囟门闭合月龄 均值为14.3个月，标准差为5.08个月； 问该县儿童的前囟门闭合月龄是否大 于一般儿童？
30
假设检验的基本步骤
• 从资料提供的信息来看，样本均数14.3与总体均 数14.1不相等，其原因可有以下两个方面： –样本对应的总体均数等于14.1，差别仅仅是由 于抽样误差所致；
H0假设比较单纯、明确，且在该假设的前提下就有 规律可寻。而H1假设包含的情况比较复杂。因此， 检验是针对H0的。
19
假设检验的基本步骤：确定α
• 步骤2：确立检验水准α（significance level) • 用于确定何时拒绝H0 • 概率究竟小到什么程度才称为小概率事件是由研究者事先 确定的，有时取0.01，有时取0.05 ，甚至0.2。事实上小概 率事件的标准就是检验水准α ，通常情况下我们取0.05 • 但是如果小概率事件发生了，我们的结论就出错了！错的 概率又是多少？就是α • 请注意：因为用到了小概率事件原理，我们的结论最终不 是完全肯定的，而是带有一定概率性！
•
“变质率为1%”？
8
• 该假设变质率为1% ，则在5个鸡蛋中，出现1 个及以上变质鸡蛋的概率为
P X 1 1 P( x 0) 1 0.010 0.99 5 0.049
• 如果假设成立，发生该现象的机会应该很小 (0.049)，即小概率事件。 • 但是对于该顾客而言，他仅仅购买了一次，就 碰上了小概率事件，所以商家的信誉度值得怀 疑
• • • • 研究者想收集证据予以支持的假设 又称为“研究假设”，总是含有符号“≠ ” 同样总是针对样本所来源的总体参数 表示为H1，记为H1：m >某一数值（单侧） m<某一数值（单侧） m ≠某一数值（双侧）
17
• 建立假设前,先要根据分析目的和专业知 识明确单侧检验还是双侧检验。 • 如何确定单侧检验还是双侧检验 ？
0.236 ~ t(361)
34
假设检验的基本步骤： 计算P值
• 如何通过查课后的附表快速得到结果？
我们的结果t=0.236
面积应该大于0.05
面积为0.05
当v=35时，单 侧t0.05=1.690
35
假设检验的基本步骤： 计算P值
• 当不方便求出P具体等于多少时可以 采用上述方法
• 归纳为：
从该总体中随机抽样，样本均数 x同样服从正态分布 x ~ N (14.1, )； 36 而既然满足正态分布就可以作Z转换，但是题目中并不知道总体 标准差，所以只能用样本标准差s代替它，因此样本均数经过下列 转换后满足的是t分布而不是标准正态分布
2
t
xm s/ n
14.3 14.1 5.08 / 36
• 其核心工作就是判断两个样本统计量间的差别究 竟是不是由于随机抽样所导致。如果是抽样误差 所致，那么它有一定的统计学规律，可以用前面
所介绍的正态分布、t分布等方法计算、估计；否
则就表示它们间的差别不是抽样导致的——来自 不同的总体 ！
6
假设检验的基本思想：女士和牛奶
• 女士说她可以辨认出加奶和水的顺序， 为了证实她的能力,请她对十杯牛奶进 行辩别,结果十杯全部说对了。
27
• 若P＞0.05，说明在H0成立的前提下出现现 有差别或更大差别的可能性P(|t|≥2.841) 不是小概率事件，因此，没有理由拒绝H0。 可见，抉择的标准为：
–当P≤a 时，拒绝H0，接受H1； –当P＞a 时，不拒绝H0。
28
统计推断总结
(1)选择检验方法 建设检验假设 确定检验水准
(2)计算统计量 确定p值
36
假设检验的基本步骤： 下结论
• 本题的结果由于P>0.05，因此尚不认
为该县儿童前囟门闭合时间与正常儿 童有不同（从均数为14.1的总体中抽 样，得到14.3的样本均数并非小概率 事件）
37
一、t检验
24
假设检验的一般步骤
t
X m sX
P t 2.841
0.025
0.025
-2.064
0
2.064
25
假设检验的一般步骤:结论
• 如果P≤a，则表示在H0成立的情况下，出现当前 样本以及比当前更极端情况的概率是小概率事件， 根据小概率事件的原理，现有样本信息不支持H0， 因而拒绝H0 • 若P>a，则表示在H0成立的情况下，出现当前样本 以及比当前更极端情况的概率并非小概率事件， 根据当前的样本信息还不足于拒绝H0 • 所以结论要么为拒绝H0，要么不拒绝H0；而且它 们都是有概率性的，不论是两种中的哪一种，都 有可能患错误！
•
原假设是否成立？
9
• 假设检验的基本目的就是分辨两个或多 个样本是否属一个总体或不同的总体， 并对总体作出适当的结论。
10
假设检验(hypothesis test)
• 先对总体的参数 ( 或分布形式 ) 提出某 种假设，然后利用样本信息判断假设是否 成立的过程。
• 逻辑上运用反证法（暂且认为总体的情况 如此，而后看样本信息是否能够驳倒原先 的假设），统计上依据小概率原理（如果 样本的情况属于小概率事件，那么小概率 事件不应该在一次抽样的情况下发生）
目前的差异是主要由于本质上的差别引起。
15
原假设(null hypothesis)
• • • • 研究者想收集证据予以反驳的假设 总是含有符号 “＝”，又称“ 0假设” 总是针对未知的总体参数作假设 表示为 H0，记为H0：m = 某一数值； 表示样本所来源的总体参数＝某具体 数值
16
对立假设(alternative hypothesis)
–该地区的儿童前囟门闭合时间与普通北方儿童 存在本质上的差异：营养不良导致囟门闭合时 间后移？ • 两种情况只有一个是正确的，且二者必居其一， 需要我们作出选择。
31
假设检验的基本步骤： 建立假设
• H0：m＝14.1，该县儿童前囟门闭合的时 间与正常儿童相同 • H1：m>14.1，该县儿童前囟门闭合的时间 比正常儿童推迟（但是具体推迟多少不知 道）
• 两种情况只有一个是正确的，且二者必居其一， 需要我们作出推断。
14
假设检验的一般步骤
• 步骤1：建立假设
• 在假设的前提下有规律可寻
–零假设(null hypothesis)，记为H0，表示目前的差异 是由于抽样误差引起的。 –备择假设(alternative hypothesis)，记为H1，表示
总体
A
µ
130
σ
7.5
a1/b1 138.2
a2
131.9 128.3
3
B
140
8.2
• 当A和B总体的参数已知时
a1-a2 a1-b1
抽样误差 本质差别
4
• 假如事先不知道A和B是不是同一个总体
抽样误差 A=B A≠B
a1-b1
？
本质差别
5
如何解决上述问题？
如何分辨两个样本是否属一个总体或两个不同的 总体，并对总体作出适当的结论？
H0假设比较单纯、明确，且在该假设的 前提下就有规律可寻。而H1假设包含的情 况比较复杂。因此，检验是针对H0的。
32
假设检验的基本步骤： 确定a
• 步骤2：确立检验水准α （significance level) • α =0.05
33
假设检验的基本步骤： 构建统计量
根据原假设，儿童前囟门闭合时间x服从正态分布：x ~ N (14.1, 2 )；
11
假设检验的基本思想
• 提出一个假设 • 如果假设成立，计算现有样本以及比它更 极端的可能性
– 可能性很小（小概率事件），在一次试验中本 不该得到，居然得到了，说明我们的假设有问 题，拒绝之。 – 有可能得到手头的结果(非小概率事件)，故根 据现有的样本无法拒绝事先的假设（没理由）
12
例1
样本：随机抽查25名男炊事员的血清总胆固 醇，求得其均数为 5.1mmol/L ，标准 差为0.88mmol/L。 问题：该单位食堂炊事员的平均血清总胆固 醇含量是否与健康成年男子的平均血 清总胆固醇相同 (健康成年男子的平 均血清总胆固醇为4.6mmol/L)。
22
• 本例中已知 n=25， X =5.1(mmol/l)，
s=0.88(mmol/l) ，m0=4.6(g/l)，则检验统计量t：
t
5.1 4.6 0.88 25
2.841
百度文库23
假设检验的一般步骤
• 计算概率P
–P值的含义为：当H0成立的情况下，获得现有统 计量以及更不利于H0的统计量的可能性有多大 –即与统计量t值对应的概率 ； –即在H0成立的前提下，获得现有这么大的标准t 离差以及更大离差 |t|≥2.841的可能性; –查自由度为24的t界值表 P=P(|t|≥2.841)<0.05
39
• 计算公式：
n50或已知时，用u检验
X m0 X m0 u ( 0已知) 或u (n 60) 0 / n s/ n n50时，用t检验
假设： 她在耍大家
如果她都是瞎猜，却全部正确。 这样的概率为多少呢？
0.510 0.001
认为在假设成立时在一次试验中出现小概率 事件是不可能的，故断定假设不成立。
7
商家和鸡蛋
• 某商家宣称他的一大批鸡蛋“变质率为1%”。 为了对这批鸡蛋的质量做出判断，顾客与 商家约定，从中随机抽取5个做检查。结果 为4个“好蛋”，1个“坏蛋”。
第3 章
定量资料的统计推断
1
统计推断(statistical inference)
• 总体参数的估计 • 假设检验
2
• 总体Α是100例正常成年男子的血红蛋白 (单位：g/L)，从中随机抽取样本a1 和样 本 a2 ； • 总体B是另外100例正常成年男子的红细胞 数，从中随机抽取样本b ；三个样本的含 量均为10例，有关数值如下：
20
假设检验的一般步骤
• 步骤3：计算检验统计量和P值 • 计算检验统计量
–即计算样本与所假设总体的偏离 ； –样本均数与总体均数m0 间的差别可以 用统计量t来表示：
t
X m0 s n
21
假设检验的一般步骤
• 根据抽样误差理论，在H0的假设前提下，统
计量t服从自由度为n-1的t分布，即t值在0 的附近的可能性大，远离0的可能性小，离 0越远可能性越小。
样本均数(其总体均数为m)与已知总体均数m0的比较
目的
双侧检验 单侧检验 是否mm0 是否m>m0
H0 m=m0 m=m0 m=m0
H1 mm0 m>m0 m<m0
或是否m<m0
18
假设检验的一般步骤
• H0：m＝4.6，该单位炊事员与正常人的平均血清总 胆固醇相等；（差别仅仅是由于抽样误差所致） • H1：m≠4.6，该单位炊事员与正常人的平均血清总 胆固醇不等。（本质上的差别）
13
假设检验的一般步骤
• 从资料提供的信息来看，样本均数5.1与总体 均数4.6不相等，其原因可有以下两个方面：
–样本对应的总体均数等于4.6，差别仅仅是由于抽样误 差所致；(偶然的、随机的、较小的) –除抽样误差外，该单位食堂炊事员与健康男性存在本 质上的差异：偷东西吃？。(必然的、大于随机误差)
• 在假设检验中使用了t统计量，所以 就称之为t检验 • t检验的使用是有条件的，如果不满 足条件使用，那么构建t统计量以及 使用t分布曲线下面积规律估计概率 就是不合理的 • 什么样的资料可以计算t值？
38
t检验的使用条件
• 随机变量是定量变量 • 个体值、两个配对设计总体中对应个体的差值、 两个完全随机设计的总体的个体值满足正态分布 或近似正态分布 • 如果是两个完全随机设计的均值比较要求样本所 来源的总体方差齐性 • 在满足上述条件下，如果总体标准差未知，而且 样本含量较小，考虑使用t检验；而如果已知总体 标准差或样本含量较大则可以使用U检验
26
•
根据t分布曲线下面积的分布规律(抽样分布规律)，
在H0成立的前提下出现现有差别或更大差别的可能性
P(|t|≥2.841)小于0.05，是小概率事件，这在一次试验
中是不太可能发生的。然而不太可能发生的事件在一次试 验中居然发生了，即现有样本信息不支持H0。因此，拒绝
H0 。
• 本例P＜0.05，按a =0.05的水准，拒绝H0，接受H1，差别 有统计学意义。认为该单位炊事员血清总胆固醇平均水平 不等于正常人。
P≤ a P＞a
结论
拒绝H0，接受H1
不拒绝H0
29
假设检验的基本步骤
• 例：已知北方儿童前囟门闭合的月龄 为14.1月；某研究人员从东北某县随 机抽取36名儿童，求得囟门闭合月龄 均值为14.3个月，标准差为5.08个月； 问该县儿童的前囟门闭合月龄是否大 于一般儿童？
30
假设检验的基本步骤
• 从资料提供的信息来看，样本均数14.3与总体均 数14.1不相等，其原因可有以下两个方面： –样本对应的总体均数等于14.1，差别仅仅是由 于抽样误差所致；
H0假设比较单纯、明确，且在该假设的前提下就有 规律可寻。而H1假设包含的情况比较复杂。因此， 检验是针对H0的。
19
假设检验的基本步骤：确定α
• 步骤2：确立检验水准α（significance level) • 用于确定何时拒绝H0 • 概率究竟小到什么程度才称为小概率事件是由研究者事先 确定的，有时取0.01，有时取0.05 ，甚至0.2。事实上小概 率事件的标准就是检验水准α ，通常情况下我们取0.05 • 但是如果小概率事件发生了，我们的结论就出错了！错的 概率又是多少？就是α • 请注意：因为用到了小概率事件原理，我们的结论最终不 是完全肯定的，而是带有一定概率性！
•
“变质率为1%”？
8
• 该假设变质率为1% ，则在5个鸡蛋中，出现1 个及以上变质鸡蛋的概率为
P X 1 1 P( x 0) 1 0.010 0.99 5 0.049
• 如果假设成立，发生该现象的机会应该很小 (0.049)，即小概率事件。 • 但是对于该顾客而言，他仅仅购买了一次，就 碰上了小概率事件，所以商家的信誉度值得怀 疑
• • • • 研究者想收集证据予以支持的假设 又称为“研究假设”，总是含有符号“≠ ” 同样总是针对样本所来源的总体参数 表示为H1，记为H1：m >某一数值（单侧） m<某一数值（单侧） m ≠某一数值（双侧）
17
• 建立假设前,先要根据分析目的和专业知 识明确单侧检验还是双侧检验。 • 如何确定单侧检验还是双侧检验 ？
0.236 ~ t(361)
34
假设检验的基本步骤： 计算P值
• 如何通过查课后的附表快速得到结果？
我们的结果t=0.236
面积应该大于0.05
面积为0.05
当v=35时，单 侧t0.05=1.690
35
假设检验的基本步骤： 计算P值
• 当不方便求出P具体等于多少时可以 采用上述方法
• 归纳为：
从该总体中随机抽样，样本均数 x同样服从正态分布 x ~ N (14.1, )； 36 而既然满足正态分布就可以作Z转换，但是题目中并不知道总体 标准差，所以只能用样本标准差s代替它，因此样本均数经过下列 转换后满足的是t分布而不是标准正态分布
2
t
xm s/ n
14.3 14.1 5.08 / 36
• 其核心工作就是判断两个样本统计量间的差别究 竟是不是由于随机抽样所导致。如果是抽样误差 所致，那么它有一定的统计学规律，可以用前面
所介绍的正态分布、t分布等方法计算、估计；否
则就表示它们间的差别不是抽样导致的——来自 不同的总体 ！
6
假设检验的基本思想：女士和牛奶
• 女士说她可以辨认出加奶和水的顺序， 为了证实她的能力,请她对十杯牛奶进 行辩别,结果十杯全部说对了。
27
• 若P＞0.05，说明在H0成立的前提下出现现 有差别或更大差别的可能性P(|t|≥2.841) 不是小概率事件，因此，没有理由拒绝H0。 可见，抉择的标准为：
–当P≤a 时，拒绝H0，接受H1； –当P＞a 时，不拒绝H0。
28
统计推断总结
(1)选择检验方法 建设检验假设 确定检验水准
(2)计算统计量 确定p值