数学史选讲(第二讲)古希腊数学全解

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柏拉图学园
柏拉图(Plato,公元前427-347年)是当时最著 名的希腊哲学家之一,虽然他不是数学家,但 热心于数学科学,在柏拉图学园的门口挂着牌 子:“不懂几何者免进”。值得注意的是,公 元前四世纪的重要数学工作几乎都是柏拉图的 朋友和学生做的。与柏拉图学园有联系的欧多 克斯(Eudoxus,公元前408-355年)是这一时期 最大的数学家,他在几何学上的研究成果,后 来有些收入了欧几里得的《几何原本》。
《几何原本》
欧几里得在这本原著中用 公理法对当时的数学知识 作了系统化、理论化的总 结。全书共分13卷,包括 有5条公理、5条公设、119 个定义和465条命题,构成 了历史上第一个数学公理 体系。(课本)
《几何原本》的影响
《几何原本》对后来数学思想有重要影响: (1)《几何原本》是对古希腊数学的系统总 结,标志着初等数学理论体系的形成; (2) 《几何原本》开创了数学上公理法的先河,对 数学发展产生极深远的影响; (3)《几何原 本》为几千年来的数学教育提供了蓝本和教科 书。 两千多年来,《几何原本》被翻译成世界 上几乎每个民族的文字。最早将《几何原本》 翻译成中文的是我国明代数学家徐光启和意大 利传教士利玛窦,当时仅翻译了前 6 卷。(4) 导致非欧几何的诞生。
一、希腊数学的先行者
• 爱奥尼亚学派:也称米利都学派。代表人物泰 勒斯(Thales 约公元前 625 年~公元前 547 年) 是古希 腊最早的哲学家与科学家,号称希腊哲 学鼻祖,又称希腊科学之父,还被称为古希腊 的 7 个聪明人之一。 • 泰勒斯出生于小亚细亚的沿海城市米利都,他 长期生活于此并组织了古希腊最早的学 派。他 年轻时游历过叙利亚、埃及、巴比伦等很多地 方。由于他多方面的才华,使他享有政 治家、 律师、工程师、实业家、哲学家、数学家、天 文学家、社会活动家等声誉。
主要成就
给我一个支点和一根 阿基米德是他那个时代最伟大的科学家。 足够长的杠杆,我就 他的贡献遍及各个学科: 能撬动整个地球。
力学:给出计算平面形、立体形重心的 方法,总结出杠杆一般原理; 流体力学:发现浮力定律; 以上使阿基米德成为力学的奠基者。 天文学:制造过一台行星仪; 光学:著作《镜面反射》,制造过大型 反射镜。
根据历史分析,希腊数学可 进行如下分期:
一、古典希腊时期: 1、爱奥尼亚时期:公元前 600年~公元前 479 年(爱奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派) 2、雅典时期:公元前 479 年~公元前 330 年 二、亚历山大里亚时期: 1、希腊化时期:公元前 330 年~公元前 30 年 (欧几里德、阿基米德、阿波罗尼斯) 2、罗马时期:公元前 30 年~公元 640 年 其中最辉煌的时期是雅典时期和希腊化时期。
正五边形与五角星
在五种正多面体中,除正十二面体外,每 个正多面体的界面都是三角形或正方形, 而正十二面体的界面则是正五边形。 正五边形作图与著名的“黄金分割”有关。 五条对角线中每一条均以特殊的方式被对 角线的交点分割。据说毕达哥拉斯学派就 是以五角星作为自己学派的标志的。
勾股数
毕达哥拉斯数:
2n 1, 2n2 2n, 2n2 2n 1
泰勒斯及他所开创的爱奥尼亚学派在数学上的 主要贡献是,开创了论证数学的先河。他 发现 并证明了下述几何定理: (1)圆被任一直径 二等分; (2)等腰三角形的两底角相等; (3)两直线相交,对顶角相等; (4)两个三 角形有两个角和一条边对应相等,则全等; (5)内接于半圆的角为直角。 此外,该学派还给出了数(自然数)是若干个 1 之和的算术基本定义。
万物皆数
毕达哥拉斯学派认为世界万物都是数, 最重要的数是1、2、3、4,而10则是理想 的数;相应地,自然界由点(一元)、 线(二元)、面(三元)和立体(四元) 组成。他们认为自然界中的一切都服从 于一定的比例数,天体的运动受数学关 系的支配,形成天体的和谐。
理论算术(数论的雏形)
完全数、过剩数(盈数)、不足数(亏 数)分别表现为其因数之和等于、大于、 小于该数本身(规定因数包括1但不包括 该数自身)。他们发现的前几个完全数 是6=1+2+3,28=1+2+4+7+14,496。 而220和284则是一对亲和数,因为前者 的因数和等于284,后者的因数和等于 220。
第一次数学Leabharlann Baidu机
不可公度比的发现使毕达哥拉斯学派对 许多定理的证明都不能成立。 例:如果两个三角形的高相同,则它们 的面积之比等于两底边之比。
A
B
C
D
E
新比例论
100多年后,欧多克斯(Eudoxus,408-355) 提出了“新比例论”,才用回避的方法 暂时消除了“第一次危机”。 新比例定义:设A、B、C、D是任意四个 量,其中A和B同类(即均为线段、角或 面积),C和D同类,若对任意两个(正) 整数m和n,mA与nB的大小关系,取决 于mC与nD的大小,则称A:B=C:D。
正多边形和正多面体
毕达哥拉斯学派掌握了正多边形和正多面体的 一些性质。他们发现,同名正多边形覆盖平面 的情况只有三种:正三角形、正方形、正六边 形,而且这些正多边形个数之比为6:4:3,边 数之比则为3:4:6。 毕达哥拉斯学派的另一项几何成就是正多面体 作图,他们称正多面体为“宇宙形”。三维空 间中仅有五种正多面体:正四面体、正六面体、 正八面体、正十二面体、正二十面体。
主要作品
阿基米德流传于世的数学著作有10余种,多为 希腊文手稿。他的著作集中探讨了求积问题, 主要是曲边图形的面积和曲面立方体的体积, 其体例深受欧几里德《几何原本》的影响,先 是设立若干定义和假设,再依次证明。 作为数学家,他写出了《论球和圆柱》、《圆 的度量》、《抛物线求积》、《论螺线》、 《论锥体和球体》、《沙的计算》数学著作。 作为力学家,他著有《论图形的平衡》、《论 浮体》、《论杠杆》、《原理》等力学著作。
二、毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯(约公元前 572 年~公元前 497 年) 出生于爱奥尼亚沿海靠近 小 亚细亚西海岸的萨摩斯 岛,据说曾师从泰勒斯。 年轻时曾到埃及和巴比伦 留学,可能到过印 度,返 希腊后居住在离米利都不 远的地方。
公元前 530 年开始组建自己的学派,后迁居南 部意大利的希腊油港克罗托内。在这里他 创办 了著名的毕达哥拉斯学校,并发展成一个有秘 密仪式和盟约、组织严密的团体。由于毕 达哥 拉斯政治上倾向贵族统治、反对民主制度,以 致后来意大利的民主力量摧毁了该学校建 筑并 迫使该团体解散,毕达哥拉斯本人也于 75 岁时 被杀死。毕达哥拉斯学派形式上解散了, 但实 际继续存在至少二百年之久。
后来,在数学中寻找完全数就成为 一项任务来研究.在前八千多正整数 中只有4个完全数,6、28、496、 8128,第五个完全数在1538年才找 到:33550336,50年后发现第六个完 全数:8589869056.2005年发现第42 个梅审素数,从而有了第42个完全 数。
几何成就
使几何学从经验上升到理论的关键性贡 献应归功于毕达哥拉斯学派。他们基本 上建立了所有的直线形理论,包括三角 形全等定理、平行线理论、三角形的内 角和定理、相似理论等。
在数学上,罗马科学史家普利尼称他为“数学 之神”,人们常将他与牛顿、高斯并称为数 学 史上的三个最伟大的数学家。阿基米德在数学 上的主要贡献: (1)研究大数:《沙粒计算》填满宇宙的沙 粒数相当于 1063 ,他还曾用过相当于 101017 的大数。 (2)几何学方面:发现大量立体体积公式, 他生前证明的一个最自以为得意的定理是: “以球的直径为底半径和高的圆柱,其体积是 球体积的二分之三,其表面积也是球表面积的 二分之三”。他用匀速转动和匀速直线运动合 成阿基米德螺线。
形式逻辑的建立
亚里士多德创立了以三段论为中心的形式逻辑 系统。他认为科学需要归纳,由特殊的事例过 渡到一般命题,更需要用逻辑的推理由前提演 绎出它的推论。亚里士多德的逻辑学著作后来 被汇编为《工具论》,对阿基米德、欧几里得 等人的研究有重要影响。 古典希腊时期的希腊人已经掌握了大量初等几 何性质,加上亚里士多德建立了形式逻辑,这 些都为形成一门独立的初等几何的理论科学作 好了充分的准备。
四、数学之神——阿基米德
阿基米德(公元前287年—公元前212 年),古希腊哲学家、数学家、物理 学家。从小就善于思考,喜欢辩论。 早年游历过古埃及,曾在亚历山大城 学习。据说他住在亚历山大里亚时期 发明了阿基米德式螺旋抽水机,今天 在埃及仍旧使用着。第二次布匿战争 时期,罗马大军围攻叙拉古,最后阿 基米德不幸死在罗马士兵之手。他一 生献身科学,忠于祖国,受到人们的 尊敬和赞扬。
亚里士多德
亚里士多德(Aristotle,公元前384-322年) 是柏拉图的学生和同事,相处达20年之 久,公元前335年成立了自己的学派,以 后曾是马其顿王亚列山大的老师。他是 古典希腊时期最伟大的思想家,他的一 些思想在数学史上影响很大。
形式逻辑的建立
亚里士多德不象柏拉图那样只崇尚思辨, 而是重视观察、分析和实验性的活动 (如解剖)。亚里士多德是古希腊学者 中最博学的人,是古代百科全书式的自 然科学家,也是对近代自然科学影响最 大的古代学者。他的著作甚多,在自然 科学方面主要有《物理学》、《论产生 和消灭》、《天论》、《气象学》、 《动物的历史》、《论动物的结构》等。
主要数学贡献
首创了对数的理论的研究: ①提出“万物皆数”的神秘主义数学哲学观; ②提出亲和数、完全数等概念; ③提出“形数”的概念。 几何方面的贡献: ①开创论证几何; ②发现勾股定理(毕达哥拉斯定理); ③发现正多面体; ④其他:用比例方法和面积贴合方法解二次方 程,图形的等积变换等。 发现无理数(引发第一次数学危机)
亚历山大时期的数学
从公元前330年左右到公元前30年左右,希腊数 学的中心从雅典转移到了埃及的亚历山大城。 亚历山大帝国一分为三后,托勒密帝国统治希 腊埃及,其首都亚历山大城成为希腊文化的中 心。 托勒密一世曾经是亚里士多德的学生,他在执 政后修建了缪斯艺术宫,这实际上是一个大博 物馆,收藏的图书和手稿据说有50—70万卷。 当时的许多著名学者都被请到亚历山大里亚, 用国家经费供养着。
三、欧几里得与《原本》
亚历山大里亚的欧几里得(约公元 前330年—前275年),古希腊数学 家,被称为“几何之父”。他活跃 于托勒密一世(公元前323年-前 283年)时期的亚历山大里亚,他 最著名的著作《几何原本》是欧洲 数学的基础,提出五大公设,发展 欧几里得几何,被广泛的认为是历 史上最成功的教科书。欧几里得也 写了一些关于透视、圆锥曲线、球 面几何学及数论的作品,是几何学的 奠基人。
( x2 y 2 z 2 , x, y, z两两互素) 一般形式之一:
x 2ab, y a2 b2 , z a2 b2 , a b o,(a, b) 1, a, b一奇一偶
无理数的发现
毕达哥拉斯学派的信条是“万物皆数”,这里 的数实际上是指正的有理数。传说,毕达哥拉 斯学派成员希帕苏斯(Hippasus,公元前470年 左右)发现了“不可公度比”的现象,并在一 次航海时公布了他的想法,结果被恐慌的毕达 哥拉斯学派的其他成员抛进了大海。 项武义教授的一项研究认为,希帕苏斯首先发 现的是正五边形边长与对角线长不可公度。
阿基米德的父亲是天文学家和数学家,所 以阿基米德从小受家庭影响,十分喜爱数 学。大概在他九岁时,父亲送他到埃及的 亚历山大城念书。亚历山大城是当时世界 的知识、文化中心,学者云集,举凡文学、 数学、天文学、医学的研究都很发达,阿 基米德在这里跟随许多著名的数学家学习, 包括有名的几何学大师—欧几里德,在此 奠定了他日后从事科学研究的基础。
第二讲
古希腊数学
主要内容
希腊数学的先行者 毕达哥拉斯学派 欧几里得与《原本》 数学之神——阿基米德
• 希腊数学一般指从公元前600年至公元600年间, 活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷 斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部 的数学家们所创造的数学。 • 希腊早期文明中心在雅典;公元前338年希腊诸 帮被马其顿控制,文明中心转到亚历山大城 (埃及);公元前30年左右,罗马帝国完全控 制希腊各国,文明中心转到罗马(意大利)。 公元640年前后,阿拉伯民族征服东罗马,希腊 文明落下帷幕。
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