第二章 电介质的弛豫和损耗

电子科技大学
School of Micro •扩大用户容量，就必须提高载波频率。

这样，就将移动通信逐步推上了微波频段。

为此需要开发一系列适合于微波范围内具有高性能、高可靠性工作特性的电子材料与元器件。

•中等εr 和Q值的MWDC：
主要是以BaTi4O9，Ba2Ti9O20和（Zr、Sn）TiO4等为基的MWDC 材料。

其εr≈40，Q=（6～9）×10下），τf ≤5ppm/°C。

主要用于微波军用雷达及微波通信系统中作为介质谐振器件。

机中作为介质谐振器件。

对于主要用作选频谐振器件的MWDC ，要求εr tg δ小（以保证优良的选频性）好等于2αl ，以τf (=-αl-αε2，式中α胀系数和介质常数的温度系数器件的热稳定性。

E 、P
建立，极化机理与静电场极化相同。

极化强度可表示为：
P ∞P =联系离子数
单位体积内弱ｎ离子振动频率 ν＝０
ｑｎ＝Ｐ达到动态平衡时，极化从２位向１位移动的离δ⋅⋅Δ
⎢⎢⎣⎡⋅ν⎢⎢⎣⎡⋅νΔΔ－ｅｅｅ令－ｅｅｅ＝－ｋＴＵｋＴＵ－ｋＴ－ｋＴＵｋＴＵ－E e 1kT
12nq e 16nx
n t
⋅−δ
=−≈Δ∴τ−τ−）（）
（
有关
，与，，、表示极化快慢的常数
电介质松弛极化的时间—的物理意义：
、，U T P n 3e 212P P t r kT
U rm
r Δτ−τν
=
τττ=∞→能量，这一物理现象称为介质损耗。

T W =
损耗能量的一般表达式为：
为介质的体积
为介质的电导率
V V
E d E d S
R
γγγ⋅=⋅⋅⋅=22
)(I I I t I rrm m rrm m ωωcos cos cos +=+=∞∞）（无功电流，超前电压π/2无功电流，超前电压π/2
δ
ω=δ⋅⋅=⋅=ϕ⋅=tg CU tg Ir U Ia U cos I U W 2电介质的损耗可用损耗角正切电介质的损耗可用损耗角正切I ∞
I
U
ϕ
δ
在交变电场下：
ε′
′−ε′=ε−δε=ε=ε=εj j cos E D E D
m
0m 0* E
j +ε′ω=无功电流无功电流
E 2
W ε′′ω
=
介质损耗用时间的增加而增加，这种现象称为弛豫现象。

这一过程同时伴随一随时间而衰减的电流，称为电流（或剩余电流）。

t
)
t (U C r ϕ⋅⋅=弛豫函数或后效函数（After-Effect Function）。

C ()t t (I ()t t (I C ()t t (I i i 2211=−=−=−
)t t (I )t (I i 1
i i i a −=∑=
C C t I s a −=∞）（）（全电流公式（Kramers-Kroning C (dt )t (dU C )t (I +⋅
=∞sin )()()()()()()(0
00ϕεεεεεεεεεεεεωx S t I t J t E −=′′−+=′∴==
−+∫ ∵ ϕt )(与电介质的化学组成、物理状态及温度条件有关。

弛豫现象的研究进展
Wiliams和Watts弛豫模型
Deby型弛豫函数具有明确的物理意义，但对实际固体电介质介电行为的描述并不理想，需引入的分布函数来加以补充。

20世纪80年代Wiliams和Watts在19世纪的摩擦弹性理论的基础上提出弛豫响应函数：
[]0,)/(exp )(<<−=βτϕβ t t )/exp()(τϕt t −=认为弛豫过程分为能跟得上热平衡的快极化弛豫和比此慢得多的慢弛豫。

快弛豫的β=1；慢弛豫又可分为外场时的随机弛豫和无外场时的自由弛豫，它们分别对应β=1和β=1/2。

2
21)(:τ
ωωτω+=S And 德拜方程德拜方程
)()()()(2∞
∞∞ε=ωε′=ϖτε=ωε′τωω=ε−ε+ε=ωε′s
2s 1, When big,very is When τ
=
ω∴τω+τ=ω∂ωε′′∂1
1(()(2m have We
From 2
∞
ε−εs )
(ωε′′ω
3
21T T T <<τ
=
ω1m 。

增加的方向移动向ωτ
=ω↓τ↑ν=
τ ,T e m kT
U 1
,,21∵δ tg 的最大值点在τ
δ
tg
总是伴随着能量的吸收弥散区”，介质弥散区 损耗达到最大值，时，当→ωτ 1 3.T ,T ε′↑⇒ε=ε′=∞,0∞ε′↑⇒+
ε=ε′T T
A T ，很大时2. ε″（ω）~T 关系
T
B T
B s e B e B T A
2221
12
211)
(ω+ω⋅
≈τω+ωτε−ε=ε′′∞T
B 1e
B A T ω=
ε′′很小：T
A T
e
B A T T
B
1≈
ω≈
ε′′很大：3
21ω<ω<ωε′
′T
3. tg δ~ω的关系
3
21ω<ω<ωT
δ
tg 3
21m m m T T T <<↑
↑ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛ε
εων=
∴=⎟⎟⎠⎞⎜⎜
⎝
⎛εεωνν=εεω=τεε=
τ⋅ω∞∞∞
∞m s m m s kT
U s m s T , k U
T kT
U
e
, ∵2ln 2ln 211)
1(tan 22121T
B T
B e
B T A e
B A ω+ε+ω≈
δ∞ω
∝εε′ωγ
εω>>ωτεω<<ωτ1110即
，当，当 ω
实际电介质损耗角的频率温度特性
图2.43 聚酯薄膜的频率特性
2
21)
(τω+ωτ
ε−ε=ε′′∞s 22ε′+⎟⎠⎞⎜⎝
⎛ε+ε−ε′∞s
2
j s ωτ+ε−ε+ε=ε
∞(1α为柯尔指数
22⎢⎢
⎢⎢⎣
⎡ε+ε′′+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛ε+ε−ε′∞s 1=ε′′=α=ε′′=ααmax
max 0 的分散程度。

柯尔指数（—
1
=ωτωτ/)()(ωωV I Y =The corresponding analytical expressions are given below:
circuit
C G parallel C i G Z circuit C R series C R i C i Y /G ;11)/1( ;11000000
−=+−=−=+−=ττωωτ
ττωωτ
ω§2-4 电介质的全频色散关系
任何极化形式的极化快慢都是相对的。

在无线电频率范围，偶极矩转向、热离子极化会出现色散现象—松弛色散。

在光频范围，电子位移极化、离子位移极化同样会出现色散——谐振色散。

1-6 1-5 1-4 1-3 1-2 1
低频
音频
射频
红外
紫外
ε′
ε′
′)
(Hz f 1.电子位移极化2.离子位移极化3.自发极化 4.偶极矩转向极化5.热离子极化6.夹层式极化
动规律满足Maxwell方程组：
t
D j H t
B E B D ∂∂+
=×∇∂∂−
=×∇=⋅∇=⋅∇
ρE
H
Propagation direction
v
z H ⎜⎜⎝⎛−
=∂∂−
ε故：
该式说明，当电介质不是理想的绝缘体时，电导率的作用等效于在相对介电常数中增加了一个虚部。

即：
z H
∂∂−()
∗n 2
(−n
2
ε=−2
2
k n 即：
故：([(kz E j E E exp exp 00−==ω为一个随传播距离z 强度正比于E 的平方，光强度按规律衰减，电介质的吸收系数为：⎪⎪⎭
∂∂=∂∂2
0*
2t H X H με这两个矢量在对X轴垂直的Y-Z面内互相正交。

π
ω
2=
f β
αμεωγj j +==0*米
亨/10257.160−×=μ传播系数衰减系数（attenuation constant, damping constant）⎭
⎬⎫==−−x t j x t j e H H e E E γωγω00
⎭
⎬⎫==−−−−)2/(20)2/(20πβπαπβπαx ft j X x ft j X e e H H e e E E
（1）、当x一定时，电磁场强度对时间呈周期性变化，其周期T为：（2）、如考虑某一瞬间（例如），则电磁场的强度在X方向呈周期性变化（图2.9），
图2.9 电磁波在电介质中的传播
常数
=−πβ2/x ft （3）、将在（即位相相同的点）时，解得的X对t 微分可得沿方X向的前进速度：f f dt dX v λβ
π===
2
1
tan <<δ时，可简化成下式
可见，在介质损耗角正切小的电介质中，几乎不引起电磁波的衰
减，其波长与介电常数的平方根成反比。

(2'1tan 12
1
⎢⎣⎡++=δεr n 吸收系数是表示电磁波前进一个波长距离所发生的衰减的大小，其定义为：实部和虚部分解，分别计算在没有损耗的电介质中，则得
⎪⎪⎪⎭
⎪⎬=
=
C G
C G r ωδωεtan 0
I C tan 在此测定中，因为在电极边缘存在电场的畸变问题，所以在采取电桥法时，用安装屏蔽电极作为第三电极的方法以消除边缘效应，因用共振等方法不能使用屏蔽电极时，可用理论计算或实验方法进行修正。

在0.1HZ以下很低频率范围内，交流测定难以进行，可测定直流电压下的吸收电流
V
t C V t C C V dt df C C dt
t dQ t I r r d d )()()()()()
()(001212Φ−=Φ−=−==
∞εεV
C t I t r r d 00
)()
()(∞−=
Φεε⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫==
−∫∫∞
∞
∞tdt t I V C tdt t I V C d
r d r r ωωεωεωεsin )(1)(cos )(1
)(00''00'1
tan <<δ时，可简化成下式
•The most obvious physical reason for the time-dependence of the dielectric response is the inevitable “inertia ”of all physical processes----no material system is capable of following arbitrarily rapidly varying driving forces.
•Let f(t)be a general response function and let the time-dependent field E(t) functions ”of strengths given as the summation of responses in the time variable τ“exciting signal extends. So:
=0)(εt P •If the step function defined by:•the integral of eqn. Become: •The dielectric induction (or displacement) is given by:
steady state susceptibility is given by:
==∞00)(E P P ε The steady conduction current, or direct current (arises from continuous movement of across the dielectric material from one electrode to the other and this current does not change in any way the “center of gravity ”of the charge distribution in the system.
THE MATH. BASIS FOR THE TRETMENT OF
FREQUENCY-DOMAIN RESPONSE A given function of time , defined by Fourier transform:
=G t G F ()]([ωfield, and is an odd function.
dt
t t f dt
t t f )sin()()()cos()()(0
0ωωχωωχ∫∫∞
∞
=′′=′
I =σTaking the Fourier transform of both sides:
)(σωI =where the Fourier transform
•The real part gives the component of displacement current which is in quadrature not contribute to power loss.
•The imaginary part gives the component of current in phase with the driving field, and therefore contributes to power loss.
permittivity as the sum of the contributions of the individual mechanisms:
1)(0χεωε⎩
⎨⎧′+=∑l
l where denotes the effective permittivity as measured by the instrument:
)(~ωε
εωε)(~′=and the loss tangent is:
dx x
dx x
x x ∫∫∞
∞
−′=
′′−′′=′0
2
2
2
2
)
(2
)()
(2
)(ωωχπ
ωχωχπωχ
freq.-known as dispersion-is an essential
property of all dielectric materials
The harmonic oscillator
The simplest model of a harmonic oscillator:
Charge e Mass m
Force constant λ
Damping constant ms
FIG. Harmonic oscillator model
Denoting by y the displacement from the central equilibrium position and postulating a harmonic electric field of amplitude E and frequency ωwe may write the equation of motion:
)
exp(t i eE y y ms y m ωλ−=+′+′′2222()(()(p p
−ΩΩ=′′−ΩΩΩ=′ωωχωωχ2
1
)
/(m λ=Ωis the natural frequency of oscillation
of the harmonic oscillator in the absence of damping.
Above Fig. Sows the plots of χ′(ω) and of χ″(ω) for three values of the damping constant k=s/Ω
since it corresponds to a trend that is exactly opposite to that
all other systems in which inertia is not the dominant influence, i.e. in which relaxation rather than
The effect of the damping constant is clearly seen: For k=10, there is no anomalous dispersion and no negative undershoot of the real part at high frequencies. B/k gives the maximum value of loss.
For all resonance phenomena, the width of the loss peak increases with the increase of damping.Fig. Shows the response of the ionic crystal KCl at 7K in the form of frequency-dependence of ε′(ω) and ε″(ω) in the far infrared
region of the spectrum.
are in the plane normal to the line of centers, called the transverse optic(TO) modes. The latter couple particularly strongly to the transverse electromagnetic waves in materials which are wholly or partially ionic, since these motions create oscillating dipoles which are driven by the electric field of the electromagnetic wave. The resulting strong absorption at the frequency of TO mode can be observed as a very narrow resonance when lowering the temperature has reduced the perturbing thermal vibrations.
2.4.1 复介电常数的频率特性极性物质在电场作用下发生的极化包括:电子极化、原子极化和偶极转向极化，结构不均匀的电介质还有界面极化。

在静电场作用下，所有这些极化都出现；而在紫外线那样高频率电磁波的作用下，则只出现电子极化；频率处于红外区域时，因为能激起比电子重得多的原子，所以除电子极化又有原子极化；频率降的更低时，就进入电气频率范围，极性物质的极化就要再加上转向极化。

但是只要电子的加速度随时间变化，就会产生衰减作用。

因此，电子云的运动可以与有阻尼的以平衡位置为中心作弹性振动的力学体系同样的处理
→
+d dt X d 2
22γ带电粒子所受阻尼大小的常数++dt P d dt P d '0
222ωγ0
2
20'03εωωm Ne −
=写成如下的一般形式：
((1
'1S
n
S r N
ω
ε+
=∑
=((2
'021
''/S
S n
S r e N
ω
ω
ε−=
∑
=r
r γωω−='0ω由原子极化引起的色散和吸收，可以与电子极化的情况作同样的处理。

不同点是粒子的质量是原子的质量，要比电子大得多。

它的共振频率在电磁波的红外区，因此，色散和吸收在红外区域内显示出来。

至于存在n 个不同固有频率振子的体系，介电常数和损耗因数最终便显示出象图2.29那样的频率特性。

由电子极化到引起的色散和吸收存在于紫外区域，因此，可以用光学方法测定
k=0.1
k=1k=10
在不同阻尼系数k 情况的Cole-Cole 圆图(复阻抗谱
总极化强度为：P =Ν离子的运动方程可写成：
x
m = 式中m 为等效惯性质量，ωT 为E=0时离子自由振动的固有频率。

对恒定电场，加速度为零，可解出：
E m
N
q
w T 2
ω=
εε−∞)1(m
N
q =故：
式：
w w =0
式中ω为电场频率；r 为位移坐标；位移极化波的偏振状态，电磁波只有横波，但离子的位移极化波可以是横波或纵波。

=w w 0在理想的离子晶体中不存在自由电荷，故：
=⋅∇D 将（5）代入，并考虑（[0+⋅∇∞E ωεε
式（14）可写成两个方程：
T s L T T T w w w
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−=−=∞22ωεεω w T 2
ω=
将（18）代入（5），并考虑得：
()ωε=()()222ω
ωεεωεωε−−+=∞
∞T s T 中没有考虑损耗。

考虑损耗以后，介电常数成为复数，红外介电响应从现在这种情况，变为类似谐振式极化的响应形式！！
C C K i εεεεε∑∑==1分布时，当复合介质以并联形式分布时，当复合介质以串联形式；—复合介质的分布常数—的介电常数；—介质—•进展一：
20世纪80年代的McLachlan的有效介质理论，既适用于对称混合介质又适用于非对称混合介质。

这一推广的有效介质（GEM）方程写为：
)
())(1(2211=∑+∑∑−∑+∑+∑∑−∑−m
m m m A f A f 其中：Σ=σ1/t，σ为电导率，或Σ=ε* 1/t，ε* 为复
介电常数，t为与体系维数及混合方式有关的参数，脚标1，2和m分别代表组元1，2和整个混合物；f为组元2的体积分数；A=（1-fc）/fc，fc为临界渗流体积分数。

当t=1时为对称混合的情形。

22112211
122112
21
1221
1tan tan tan S S S S S S S S j S S
′+′′+′=
′+′′′+′′=∴⎜⎝−⎟⎠⎞⎜⎝⎛′+′=εεεδεεεεεδεεtan =
δ1tan tan ωδωC C 2m1
2m
U U =即2tan δU C U m m =从方程可解得：
同时：1U U U m m +=112tan tan C C =
δδ1221121
22121d d U
E d d U
E γγγγγγ+=
+=
E dt dE d d d d d d dt 则：（令（111
221221022101τγγεεετεεε=+++=
+
J a ——吸收电流，由界面的集聚电荷引起并随
时间呈指数下降的电流。

由界面自由电荷的缓慢集聚所形成的类似松弛极化的极化和损耗，称为另外，电介质中含有自由离子时，由于离子的移动，往往在正电极一侧的界面上积聚了负离子。

负电极一侧界面积聚了正离子，这也是一种极化现象，叫做空间电荷计划（Space charge Polarization 化）。

思考题：
1.为什么并联时没有夹层式极化？
2.如图所示复合介质有哪些极化形式？
ε
E 一、非极性气体
极化形式：电子位移极化；
二、极性气体
极化形式：电子位移极化、偶极矩转向极化；损耗形式：也只有电导损耗。

三、结论
气体介质损耗小，只有由电导引起的很小的损耗。

可看作是无损耗的理想介质。

应用：可变电容器、标准电容器。

缺点：介电常数小，电容量小。

力电容器油，变压器油，绝缘漆等。

二、极性液体介质
中极性液体：0.5D< μ0强极性液体：μ0>1.5D
极化形式：电子位移极化、偶极矩转向极化。

对强极性液体主要是偶极矩转向极化，极性液体分子间有强烈的相互作用。

s s m εεεεδ2tan −=∞22.3 0.522，松香，例：苏伏油====s s n n εε0123 123εεμμεε
+==+=而由极性液体的E E i i 材料的结构缺陷也会引起频谱如图所示的变化。

如Schockly缺陷：间隙与空位同时出现，形成偶极矩——复合缺陷极化。

1.纯玻璃：tan δ~10-4
i.电导损耗（高温区）；ii.杂质松弛损耗；iii.结构式损耗（低温区）。

在低温区（100K以下），璃璃的疏松链发生松弛极化，称为结构式极化。

中和效应——在碱玻璃中加入另一种离子半径大的碱金
属，使短链的转向、迁移变难，从而降低玻璃的损耗。

压制效应——加入二价的碱土金属，通过压制链的转向
降低损耗。

聚四氟乙烯：
聚苯乙烯：β
弛豫α弛豫
极性基团主链转向
电导
δ
tan
T（ºC）
0 120
2. 聚氯乙烯
聚乙烯
聚四氟乙烯
聚乙酸乙脂
3）能穿透高空的电离层，适合于卫星通讯。

仅用作微波电路中的绝缘基片材料的局限，使之跻身于器件之列。

微波介质陶瓷在微波电路系统中发挥介质隔离、介质波导以及介质谐振等一系列电路功能。

如微波介质谐振器，介质滤波器，介质谐振器以及微波电容器等在火箭制导，雷达，移动电话，卫星直播电视等方面获得了重要的应用。

用圆柱形介质谐振器测量。

特点：
2）电子位移极化产生的
贡献很小。

∴离子位移极化决定微波下陶瓷的介电特性
而α＞0，则
∴制备高εr、高
波介质陶瓷是难度较大的。

τ
f (10/℃)34
工作频率f
(GH)
11.4
类别低介
优点
缺点Ta
2
O
5
昂贵
或银浆电路图案，在将三片叠层共烧，外贴元件
则在烧层的叠片瓷的两面焊入。

BiNbO4系、Bi2O
ZnO-Nb
2
O
5
及BaO
1∑+∑A 其中：Σ=σ1/t，σ为电导率，或介电常数，t为与体系维数及混合方式有关的参数，脚标1，2和m分别代表组元1，2和整个混合物；f为组元2的体积分数；A=（1-fc）/fc，fc为临界渗流体积分数。

当t=1时为对称混合的情形。

且级数往往收敛很慢，难于得到精确结果。

Wu等在此基础上对被包裹体为立方对称分布的二组元得到一个较简单的结果，这时混合物的有效介电常数为：
)(()ˆˆ(1n n k k k T e k n •× 其中为沿平均电场方向的单位矢量，的单位矢量，e ˆ∑′ki 表示求和时，∫
=
2
exp 1
V V
k T ）（m χ=∑
这一现象可能是由于微颗粒的量子效应，也可能是由于光频范围内非均质系统颗粒内的电场大大增强的结果。

性能大为提高。