中考总复习《反比例函数》ppt.
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k 或y kx 1或xy k(k 0) x
y
图象 及象限
y
o x o k<0 x
y 0 x k>0 0
y x
k>0
k<0
当k>0时，y随x的增大而增大;
性质 当k<0时，y随x的增大而减小.
在每一个象限内: 当k>0时，y随x的增大而减小; 当k<0时，y随x的增大而增大.
另外：在正比例函数中k的绝对值越大,直线越靠近y轴，远离x轴。在反
B
P(m,n) A
o
x
2 1.如图,点P是反比例函数 y 图象上 x 的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积
练习4：
为 1 .
k 2 S ΔPOD 1 1 |k| 2 1 2 2
y
P
o D x
1 2、如图:A、C是函数 y 的图象上任意两点， x
过A作x轴的垂线, 垂足为B.过C作y轴的垂线, 垂足为D.记RtAOB的面积为S1 , RtOCD的面积为S 2 , 则 ___ C.
源自文库
B
x
A(2,4), B(4,2).
(2)解法一 : y x 2,当y 0时, x 2, M (2,0).
OM 2.
作AC x轴于C, BD x轴于D.
AC 4, BD 2,
A N MD C O B y
x
1 1 S OMB OM BD 2 2 2, 2 2 1 1 S OMA OM AC 2 4 4. 2 2
5、表示下面四个关系式的图像有
6、如图，函数 和y=－kx+1(k≠0)在同一坐 标系内的图象大致是 （ D ）
6
y
6
y
4
4
以前做过这 样的题目吗？
x
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
-4
-4
A
6
B
y
6
y
4
4
方法：先假设某个 函数图象已经画好， 再确定另外的是否 符合条件.
5
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
①
y = 3x-1
②
y=
2x2 1 x
2x 1 y= 3 y= x ③ ④
⑦ y = 1 ⑧ xy=-2
⑤ y = 3x
⑥ y=
3x
2. 若
y (m 2) x
3m2
是反比例函数，
则m＝＿＿＿＿＿＿． －2
m-2≠0，3-m2=－1
3.下列的数表中分别给出了变量y与x之间的对应关 系，其中是反比例函数关系的是( D ). x 1 2 3 4 A: y 5 8 7 6 x 1 B: y 6 2 8 3 9 4 7
SAOB SONB SONA 4 2 6.
练： k 如图, O是坐原点，直线 OA与双曲线y 在第一象限内交于 x 1 点A, 过A作AB x轴, 垂足为B, 如果OB 4( AB : OB) . 2
(1)求双曲线的解析式 ; (2)直线AC与y轴交于点C (0,1), 与x轴交于点D.求AOD的面积.
y P(m,n) o A x
面积性质（一）：
想一想
y P(m,n) o A x
若将此题改为过P点 作y轴的垂线段,其结 论成立吗?
y A o P(m,n) x
S OAP
1 1 1 1 OA AP | n | | m | mn | k | 2 2 2 2
归纳：（1）两个定值 - 12 ①任意一组变量（或图象上任一点的坐标）的乘积是一 （ 3）已知点A是反比例函数 y x 上的点， 个定值, 即 xy=k.
那么下列各点中一定也在此图象上的点是(
C
)
B. (-m，-n)
D. (-n，-m)
3.若反比例函数的图象过点(-1,2),则其解析式
2 为 y x.
1 3m 4.如果反比例函数 y 的图象位于 x 1
第二、四象限，那么m的范围为 m＞ 3 .
由1－3m＜0 得－3m＜－ 1
1 ∴ m＞ 3
函数 解析式 图象形状
位置
反比例函数
y k 或y kx 1或xy k (k 0) x
双曲线 双曲线两分支分别在 第一、第三象限
k>0
增减性 在每一个象限内y随x的增大而减小； 位置
k<0
增减性
双曲线两分支分别在 第二、第四象限 在每一个象限内y随x的增大而增大
比一比
函数 表达式 正比例函数 y=kx(k≠0)( 特殊的一次函数) y 反比例函数
八年级 数 学
期末总复习
2 8.考察函数 y x 的图象,
(1)当x=-2时,y= -1
, ;
(2)当x<-2时,y的取值范围是-1<y<0
(3)当y≥-1时,x的取值范围是 x>0或x≤-2 .
k1 9、如下图是三个反比例函数 y x
k2 y x
k3 y x
在x轴上方的图象，由此观察得到的k1，k2，k3大小 关系为(
-2
x
-4
-4
C
D
7:增减性
k 1 y 1、在反比例函数 x 的图象上有两点
2
（x1，y1）、（x2，y2）,若x1>x2 >0,则y1与y2 的 大小关系是 。
变：1）将x1>x2 >0变为x1 >0 >x2，则y1与y2 的 大小关系是 。 2）将x1>x2 >0变为x1>x2，则y1与y2 的大小关 系是 。 3）若图象上有三点（x1，y1）、（x2，y2）、 （x3，y3）,且y1>0>y2 > y3,则x1、x2 、 x3的大 小关系是 。
y x
y
0
0
x
同学们努力吧,一切皆有可能﹗
一、有关概念：
1.什么叫反比例函数？
反比例函数。
k 形如y (k为常数，k≠0) 的函数称为 x
其中x是自变量，y是x的函数。
2.反比例函数有哪些等价形式？
k y x
1 y=kx
xy=k
(k为常数， k≠0)
练习1：
1、下列函数中哪些是反比例函数?
SAOB SOMB SOAM 2 4 6.
(2)解法二: y x 2,当x 0时, y 2, N (0,2).
ON 2.
作AC y轴于C, BD y轴于D.
AC 2, BD 4,
y A O
D
N
C
M B x
1 1 S ONB ON BD 2 4 4, 2 2 1 1 S ONA ON AC 2 2 2. 2 2
比例函数中k的绝对值越大，双曲线越远离两坐标轴。
练习2：
1 1.函数 y 的图象位于第二、四 象限, 2x
在每一象限内,y的值随x的增大而 增大 , 当x＞0时,y ﹤ 0,这部分图象位于第 四 象限.
k 2.若点(-m，n)在反比例函数 y x
A. (m，n)
C. (m，-n)
的图象上，
D
2 7、四边形ADBC的面积=_____
y
A D
o
y
D A
o
C
x
B
x
B
C
8、 如图，D是反比例函数 y k (k 0)
x 的图像上一点， 过D作DE⊥x轴于E，DC⊥y轴 于C，一次函数y=-x+2与x轴交 于A点，四边形DEAC的面积 为4，求k的值．
F
D E y C O A B x
，
B
)
y
A. k1 k2 k3
B. k3 k2 k1
C. k2 k3 k1
y
k1 x
O
k2 y x
k3 y x
x
D. k3 k1 k2
m 10、如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数 y 2 x y
的图象，观察图象写出y1﹥y2时，
x 的取值范围
X>3或-2<x<0
-2 0 3 x
提示： 利用图像比较大小简单明了。
三、反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心
对称图形。
有两条对称轴：直线y=x和 y=-x；对称中心为：原点 k y = — x y
y=-x
0
12
y=x
x
练习3：
1、如图，过原点的一条直线与反比例函数
k y x
(k≠0)的图象分别交于A、B两点，若点A的坐标(a,b)， 则点B的坐标为（ D ） A. (b,a) B. (-a,b) C. (-b,-a) D. (-a,-b)
过点A作 AP⊥ x轴于点p，则△AOP的面积为
②图中 S△PAO B （ ） =
A. 12
C. 4
1 2
▏k▕ ,与点A的位置无关。
B.
D.
6
3
A P
y
0
x
(2)过P分别作x轴, y轴的垂线, 垂足分别为 A, B,
则S矩形OAPB＝OA AP m n mn k
y
面积性质（二）
8 例：已知如图反比例函 数y 与一次函数y x 2的图 x 交于A, B两点.求(1) A, B两点的坐标 ; (2)AOB的面积.
8 y , 解 : (1) x y x 2.
y A
N M O
x 4, x 2, 解得 或 y 2; y 4.
A.S1>S2 B.S1<S2 C.S1 = S2 D.S1和S2的大小关系不能确定. y
o
S2
S1
A
B D
x
C
k 3、 如图 , P是反比例函数 y 图像上的一点,由P分别 x 向x轴, y轴引垂线,阴影部分面积为3, 则这个反比例
3 函数的解析式是 ____ y . x
解:由性质(2)可得
解：当X=0时, y=2. 即 C (0 ,2） 当y=0时, x=2. 即 A (2 ,0) ∴S⊿AOC =2 ∴S四边形DCOE =4-2=2 ∴K=-2
五、交点问题
1、与坐标轴的交点问题： 无限趋近于x、y轴， 与x、y轴无交点。 2、与正比例函数的交点问题： 可以利用反比例函数的中心对称性。 3、与一次函数的交点问题： 列方程组，求公共解，即交点坐标。
y A B
0
x
k 2、如图,已知双曲线 y x 与直线y=k/x交于A、B 两点,点A在第二象限, 若点A的横坐标为m, 则点B的坐标可表示为 k (-m,-k/m) _______________________. m
（2）直线y=kx(k>0)与双曲线 y
y
A
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
A.S = 1 C.S = 2
B.1<S<2 D.S>2
y
解:设P(m,n),则P(-m,-n). AP | 2m|，AP | 2n|； 1 S | AP AP| ΔPAP 2 1 | 2m|| 2n| 2 2|k|
P(m,n)
o x
P/ A
5、如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数
y
P C
S矩形AP CO |k|, |k| 3.
又图像在二 ,四象限,
k 3 3 解析式为y . x
A
o x
提高篇:(1)如图,点P是反比例函数
图象上的一点,过点P分别向x轴、y
轴作垂线,若阴影部分面积为3,则 这个反比例函数的关系式 是 .
N
y
p
o
提示：S矩形
3 y =|xy|=x|k|
x 1 2 3 4 C: y 8 5 4 3
x
D:
1
2
3
1 3
4
1 4
y
1 1 2
4、已知y-1与x+2成反比例，当x=2时,y=9。
请写出y的x函数关系。
5、已知y=y1-y2，y1与x成反比例，y2与x2成正比例，且当x = 1时，y=－1；x=3时， y=5．求y与x的函数关系式.
二、反比例函数的图象和性质:
m y 的图象交于 A(-2,1),B(1,n)两点． x
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求⊿AOB的面积．
y
A
O
C
D
B
x
4 6、如图所示.如果函数y=-kx(k≠0)与 y x图像
交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足 为点C，则△BOC的面积为 . 2 S⊿AOC =∣-4 ∣= 2 S ⊿BOC =S ⊿AOC
x
B
利用反比例函数的图像的对称性。 20 B(x2,y2)，则2x1y2-7x2y1=_______.
4 交于两点A(x1,y1), x
四、与面积有关的问题：
k 设P(m, n)是双曲线y (k 0)上任意一点 , x 过P作x轴的垂线, 垂足为A, 则
1 S OAP OA AP 2 1 1 1 | m | | n | m n | k | 2 2 2
则 k=s或-s
M
x
(1)若点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x
轴、y轴作垂线,垂足分别为点M、N，若四边形PMON面
积为3,则这个反比例函数的关系式是
-3 3 y 或 y x x ________________________.
1 4.如图,P,P是函数y 的图像上关于原点O对称 x 的任意两点,PA平行于y轴 ,PA平行于x轴 , Δ PAP的 C 面积 S,则___.
y
图象 及象限
y
o x o k<0 x
y 0 x k>0 0
y x
k>0
k<0
当k>0时，y随x的增大而增大;
性质 当k<0时，y随x的增大而减小.
在每一个象限内: 当k>0时，y随x的增大而减小; 当k<0时，y随x的增大而增大.
另外：在正比例函数中k的绝对值越大,直线越靠近y轴，远离x轴。在反
B
P(m,n) A
o
x
2 1.如图,点P是反比例函数 y 图象上 x 的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积
练习4：
为 1 .
k 2 S ΔPOD 1 1 |k| 2 1 2 2
y
P
o D x
1 2、如图:A、C是函数 y 的图象上任意两点， x
过A作x轴的垂线, 垂足为B.过C作y轴的垂线, 垂足为D.记RtAOB的面积为S1 , RtOCD的面积为S 2 , 则 ___ C.
源自文库
B
x
A(2,4), B(4,2).
(2)解法一 : y x 2,当y 0时, x 2, M (2,0).
OM 2.
作AC x轴于C, BD x轴于D.
AC 4, BD 2,
A N MD C O B y
x
1 1 S OMB OM BD 2 2 2, 2 2 1 1 S OMA OM AC 2 4 4. 2 2
5、表示下面四个关系式的图像有
6、如图，函数 和y=－kx+1(k≠0)在同一坐 标系内的图象大致是 （ D ）
6
y
6
y
4
4
以前做过这 样的题目吗？
x
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
-4
-4
A
6
B
y
6
y
4
4
方法：先假设某个 函数图象已经画好， 再确定另外的是否 符合条件.
5
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
①
y = 3x-1
②
y=
2x2 1 x
2x 1 y= 3 y= x ③ ④
⑦ y = 1 ⑧ xy=-2
⑤ y = 3x
⑥ y=
3x
2. 若
y (m 2) x
3m2
是反比例函数，
则m＝＿＿＿＿＿＿． －2
m-2≠0，3-m2=－1
3.下列的数表中分别给出了变量y与x之间的对应关 系，其中是反比例函数关系的是( D ). x 1 2 3 4 A: y 5 8 7 6 x 1 B: y 6 2 8 3 9 4 7
SAOB SONB SONA 4 2 6.
练： k 如图, O是坐原点，直线 OA与双曲线y 在第一象限内交于 x 1 点A, 过A作AB x轴, 垂足为B, 如果OB 4( AB : OB) . 2
(1)求双曲线的解析式 ; (2)直线AC与y轴交于点C (0,1), 与x轴交于点D.求AOD的面积.
y P(m,n) o A x
面积性质（一）：
想一想
y P(m,n) o A x
若将此题改为过P点 作y轴的垂线段,其结 论成立吗?
y A o P(m,n) x
S OAP
1 1 1 1 OA AP | n | | m | mn | k | 2 2 2 2
归纳：（1）两个定值 - 12 ①任意一组变量（或图象上任一点的坐标）的乘积是一 （ 3）已知点A是反比例函数 y x 上的点， 个定值, 即 xy=k.
那么下列各点中一定也在此图象上的点是(
C
)
B. (-m，-n)
D. (-n，-m)
3.若反比例函数的图象过点(-1,2),则其解析式
2 为 y x.
1 3m 4.如果反比例函数 y 的图象位于 x 1
第二、四象限，那么m的范围为 m＞ 3 .
由1－3m＜0 得－3m＜－ 1
1 ∴ m＞ 3
函数 解析式 图象形状
位置
反比例函数
y k 或y kx 1或xy k (k 0) x
双曲线 双曲线两分支分别在 第一、第三象限
k>0
增减性 在每一个象限内y随x的增大而减小； 位置
k<0
增减性
双曲线两分支分别在 第二、第四象限 在每一个象限内y随x的增大而增大
比一比
函数 表达式 正比例函数 y=kx(k≠0)( 特殊的一次函数) y 反比例函数
八年级 数 学
期末总复习
2 8.考察函数 y x 的图象,
(1)当x=-2时,y= -1
, ;
(2)当x<-2时,y的取值范围是-1<y<0
(3)当y≥-1时,x的取值范围是 x>0或x≤-2 .
k1 9、如下图是三个反比例函数 y x
k2 y x
k3 y x
在x轴上方的图象，由此观察得到的k1，k2，k3大小 关系为(
-2
x
-4
-4
C
D
7:增减性
k 1 y 1、在反比例函数 x 的图象上有两点
2
（x1，y1）、（x2，y2）,若x1>x2 >0,则y1与y2 的 大小关系是 。
变：1）将x1>x2 >0变为x1 >0 >x2，则y1与y2 的 大小关系是 。 2）将x1>x2 >0变为x1>x2，则y1与y2 的大小关 系是 。 3）若图象上有三点（x1，y1）、（x2，y2）、 （x3，y3）,且y1>0>y2 > y3,则x1、x2 、 x3的大 小关系是 。
y x
y
0
0
x
同学们努力吧,一切皆有可能﹗
一、有关概念：
1.什么叫反比例函数？
反比例函数。
k 形如y (k为常数，k≠0) 的函数称为 x
其中x是自变量，y是x的函数。
2.反比例函数有哪些等价形式？
k y x
1 y=kx
xy=k
(k为常数， k≠0)
练习1：
1、下列函数中哪些是反比例函数?
SAOB SOMB SOAM 2 4 6.
(2)解法二: y x 2,当x 0时, y 2, N (0,2).
ON 2.
作AC y轴于C, BD y轴于D.
AC 2, BD 4,
y A O
D
N
C
M B x
1 1 S ONB ON BD 2 4 4, 2 2 1 1 S ONA ON AC 2 2 2. 2 2
比例函数中k的绝对值越大，双曲线越远离两坐标轴。
练习2：
1 1.函数 y 的图象位于第二、四 象限, 2x
在每一象限内,y的值随x的增大而 增大 , 当x＞0时,y ﹤ 0,这部分图象位于第 四 象限.
k 2.若点(-m，n)在反比例函数 y x
A. (m，n)
C. (m，-n)
的图象上，
D
2 7、四边形ADBC的面积=_____
y
A D
o
y
D A
o
C
x
B
x
B
C
8、 如图，D是反比例函数 y k (k 0)
x 的图像上一点， 过D作DE⊥x轴于E，DC⊥y轴 于C，一次函数y=-x+2与x轴交 于A点，四边形DEAC的面积 为4，求k的值．
F
D E y C O A B x
，
B
)
y
A. k1 k2 k3
B. k3 k2 k1
C. k2 k3 k1
y
k1 x
O
k2 y x
k3 y x
x
D. k3 k1 k2
m 10、如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数 y 2 x y
的图象，观察图象写出y1﹥y2时，
x 的取值范围
X>3或-2<x<0
-2 0 3 x
提示： 利用图像比较大小简单明了。
三、反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心
对称图形。
有两条对称轴：直线y=x和 y=-x；对称中心为：原点 k y = — x y
y=-x
0
12
y=x
x
练习3：
1、如图，过原点的一条直线与反比例函数
k y x
(k≠0)的图象分别交于A、B两点，若点A的坐标(a,b)， 则点B的坐标为（ D ） A. (b,a) B. (-a,b) C. (-b,-a) D. (-a,-b)
过点A作 AP⊥ x轴于点p，则△AOP的面积为
②图中 S△PAO B （ ） =
A. 12
C. 4
1 2
▏k▕ ,与点A的位置无关。
B.
D.
6
3
A P
y
0
x
(2)过P分别作x轴, y轴的垂线, 垂足分别为 A, B,
则S矩形OAPB＝OA AP m n mn k
y
面积性质（二）
8 例：已知如图反比例函 数y 与一次函数y x 2的图 x 交于A, B两点.求(1) A, B两点的坐标 ; (2)AOB的面积.
8 y , 解 : (1) x y x 2.
y A
N M O
x 4, x 2, 解得 或 y 2; y 4.
A.S1>S2 B.S1<S2 C.S1 = S2 D.S1和S2的大小关系不能确定. y
o
S2
S1
A
B D
x
C
k 3、 如图 , P是反比例函数 y 图像上的一点,由P分别 x 向x轴, y轴引垂线,阴影部分面积为3, 则这个反比例
3 函数的解析式是 ____ y . x
解:由性质(2)可得
解：当X=0时, y=2. 即 C (0 ,2） 当y=0时, x=2. 即 A (2 ,0) ∴S⊿AOC =2 ∴S四边形DCOE =4-2=2 ∴K=-2
五、交点问题
1、与坐标轴的交点问题： 无限趋近于x、y轴， 与x、y轴无交点。 2、与正比例函数的交点问题： 可以利用反比例函数的中心对称性。 3、与一次函数的交点问题： 列方程组，求公共解，即交点坐标。
y A B
0
x
k 2、如图,已知双曲线 y x 与直线y=k/x交于A、B 两点,点A在第二象限, 若点A的横坐标为m, 则点B的坐标可表示为 k (-m,-k/m) _______________________. m
（2）直线y=kx(k>0)与双曲线 y
y
A
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
A.S = 1 C.S = 2
B.1<S<2 D.S>2
y
解:设P(m,n),则P(-m,-n). AP | 2m|，AP | 2n|； 1 S | AP AP| ΔPAP 2 1 | 2m|| 2n| 2 2|k|
P(m,n)
o x
P/ A
5、如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数
y
P C
S矩形AP CO |k|, |k| 3.
又图像在二 ,四象限,
k 3 3 解析式为y . x
A
o x
提高篇:(1)如图,点P是反比例函数
图象上的一点,过点P分别向x轴、y
轴作垂线,若阴影部分面积为3,则 这个反比例函数的关系式 是 .
N
y
p
o
提示：S矩形
3 y =|xy|=x|k|
x 1 2 3 4 C: y 8 5 4 3
x
D:
1
2
3
1 3
4
1 4
y
1 1 2
4、已知y-1与x+2成反比例，当x=2时,y=9。
请写出y的x函数关系。
5、已知y=y1-y2，y1与x成反比例，y2与x2成正比例，且当x = 1时，y=－1；x=3时， y=5．求y与x的函数关系式.
二、反比例函数的图象和性质:
m y 的图象交于 A(-2,1),B(1,n)两点． x
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求⊿AOB的面积．
y
A
O
C
D
B
x
4 6、如图所示.如果函数y=-kx(k≠0)与 y x图像
交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足 为点C，则△BOC的面积为 . 2 S⊿AOC =∣-4 ∣= 2 S ⊿BOC =S ⊿AOC
x
B
利用反比例函数的图像的对称性。 20 B(x2,y2)，则2x1y2-7x2y1=_______.
4 交于两点A(x1,y1), x
四、与面积有关的问题：
k 设P(m, n)是双曲线y (k 0)上任意一点 , x 过P作x轴的垂线, 垂足为A, 则
1 S OAP OA AP 2 1 1 1 | m | | n | m n | k | 2 2 2
则 k=s或-s
M
x
(1)若点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x
轴、y轴作垂线,垂足分别为点M、N，若四边形PMON面
积为3,则这个反比例函数的关系式是
-3 3 y 或 y x x ________________________.
1 4.如图,P,P是函数y 的图像上关于原点O对称 x 的任意两点,PA平行于y轴 ,PA平行于x轴 , Δ PAP的 C 面积 S,则___.