2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三第一联考文科数学试题(带答案解析)
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2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三第一联考
文科数学试题
第I卷（选择题)
一、单选题
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．若在复平面内，复数 所对应的点为 ，则 （）
A． B． C． D．
3．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（）
A． B． C． D．
4．某公司有3000名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查，若84号被抽到则下面被抽到的是（ ）
A．44号B．294号C．1196号D．2984号
5．运行如图所示的程序框图，若输出的 的值为99，则判断框中可以填（）
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求 的值．
23．已知x，y，z均为正数．
（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；
（2）若 ＝ ，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
求出 继而可求 .
【详解】
依题意，得 ，故 .
故选:D.
【点睛】
本题考查了集合的补集，考查了集合的交集运算.2．A【解析】【分析】
由点的坐标写出 ，从而可求出 .
【详解】
依题意，得 ，则 .
故选:A.
【点睛】
本题考查了复数的坐标互化，考查了复数的乘法.易错点是把 的值误当做 进行运算.
3．B
【解析】
【分析】
根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案．
（1）求角 ；
（2）若 ， ，求 的面积.
19．如图，四棱锥 的底面 是菱形， ，平面 平面 ， 是等边三角形.
（1）求证： ；
（2）若 的面积为 ，求点 到平面 的距离.
20．已知函数 .
（Ⅰ）若 ，求曲线 在 处的切线方程；
（Ⅱ）当 时，要使 恒成立，求实数 的取值范围.
21．已知抛物线 ： （ ）.
（1）若抛物线 的焦点到准线的距离为4，点 ， 在抛物线 上，线段 的中点为 ，求直线 的方程；
（2）若圆 以原点 为圆心，1为半径，直线 与 ， 分别相切，切点分别为 ， ，求 的最小值.
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （m为参数），以坐标点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+ ）＝1．
女性观众
认为中国男篮能够进入十六强
60
认为中国男篮不能进入十六强
若在被抽查的200名观众中随机抽取1人，抽到认为中国男篮不能进入十六强的女性观众的概率为 .
（1）完善上述表格；
（2）是否有99%的把握认为性别与对中国男篮能否进入十六强持有的态度有关？
附： ，其中 .
18． 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知 .
【详解】
解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示，
用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为 中的．
故选： ．
【点睛】
本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题．
4．B
【解析】
【分析】
使用系统抽样的方法抽取200人则一共分200组,每组有 人.故抽得的号码为以15为公差的等差数列.再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.再逐个判断即可.
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13．若变量 ， 满足约束条件 则 的最大值为________.
14．函数 的极小值为________.
15．已知双曲线 ： （ ， ），直线 ： 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点.若 （点 为坐标原点）的面积为32，且双曲线 的焦距为 ，则双曲线 的离心率为________.
A． B．
C． D．
10．当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
11．已知点 是椭圆 ： 上的一点， ， 是椭圆 的左、右焦点， 是 的平分线.若 ，垂足为 ，则点 到坐标原点 的距离 的取值范围为（）
A． B． C． D．
12．已知球 的体积为 ，圆柱 内接于球 ，其中 ， 分别是圆柱上、下底面的圆心，则圆柱 的表面积的最大值为（）
故 ， ， ，
则 .
故选：A.
【点睛】
本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题.
7．D
【解析】
【详解】
由题得,抽出的号码为以15为公差的等差数列,再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.又 .其他选项均不满足.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了系统抽样的性质与运用,属于简单题型.
5．C
【解析】
【分析】
模拟执行程序框图，即可容易求得结果.
【详解】
运行该程序：
第一次， ， ；
第二次， ， ；
A． B． C． D．
6．已知幂函数 的图象过点 ，且 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A． B． C． D．
7．已知非零向量 满足 ，若 夹角的余弦值为 ，且 ，则实数 的值为（）
A． B． C． 或 D．
8．记单调递增的等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则（）
A． B． C． D．
9．函数 的图象大致为（）
第三次， ， ，
…；
第九十八次， ， ；
第九十九次， ， ，
此时要输出 的值为99.
此时 .
故选：C.
【点睛】
本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.
6．A
【解析】
【分析】
根据题意求得参数 ，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断.
【详解】
依题意，得 ，故 ，
16．记数列 的前 项和为 ，已知 ，且 .若 ，则实数 的取值范围为________.
三、解答题
17．2019年篮球世界杯在中国举行，中国男篮由于主场作战而备受观众瞩目.为了调查国人对中国男篮能否进入十六强持有的态度，调查人员随机抽取了男性观众与女性观众各100名进行调查，所得情况如下表所示：
男性观众
文科数学试题
第I卷（选择题)
一、单选题
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．若在复平面内，复数 所对应的点为 ，则 （）
A． B． C． D．
3．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（）
A． B． C． D．
4．某公司有3000名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查，若84号被抽到则下面被抽到的是（ ）
A．44号B．294号C．1196号D．2984号
5．运行如图所示的程序框图，若输出的 的值为99，则判断框中可以填（）
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求 的值．
23．已知x，y，z均为正数．
（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；
（2）若 ＝ ，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
求出 继而可求 .
【详解】
依题意，得 ，故 .
故选:D.
【点睛】
本题考查了集合的补集，考查了集合的交集运算.2．A【解析】【分析】
由点的坐标写出 ，从而可求出 .
【详解】
依题意，得 ，则 .
故选:A.
【点睛】
本题考查了复数的坐标互化，考查了复数的乘法.易错点是把 的值误当做 进行运算.
3．B
【解析】
【分析】
根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案．
（1）求角 ；
（2）若 ， ，求 的面积.
19．如图，四棱锥 的底面 是菱形， ，平面 平面 ， 是等边三角形.
（1）求证： ；
（2）若 的面积为 ，求点 到平面 的距离.
20．已知函数 .
（Ⅰ）若 ，求曲线 在 处的切线方程；
（Ⅱ）当 时，要使 恒成立，求实数 的取值范围.
21．已知抛物线 ： （ ）.
（1）若抛物线 的焦点到准线的距离为4，点 ， 在抛物线 上，线段 的中点为 ，求直线 的方程；
（2）若圆 以原点 为圆心，1为半径，直线 与 ， 分别相切，切点分别为 ， ，求 的最小值.
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （m为参数），以坐标点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+ ）＝1．
女性观众
认为中国男篮能够进入十六强
60
认为中国男篮不能进入十六强
若在被抽查的200名观众中随机抽取1人，抽到认为中国男篮不能进入十六强的女性观众的概率为 .
（1）完善上述表格；
（2）是否有99%的把握认为性别与对中国男篮能否进入十六强持有的态度有关？
附： ，其中 .
18． 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知 .
【详解】
解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示，
用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为 中的．
故选： ．
【点睛】
本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题．
4．B
【解析】
【分析】
使用系统抽样的方法抽取200人则一共分200组,每组有 人.故抽得的号码为以15为公差的等差数列.再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.再逐个判断即可.
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13．若变量 ， 满足约束条件 则 的最大值为________.
14．函数 的极小值为________.
15．已知双曲线 ： （ ， ），直线 ： 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点.若 （点 为坐标原点）的面积为32，且双曲线 的焦距为 ，则双曲线 的离心率为________.
A． B．
C． D．
10．当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
11．已知点 是椭圆 ： 上的一点， ， 是椭圆 的左、右焦点， 是 的平分线.若 ，垂足为 ，则点 到坐标原点 的距离 的取值范围为（）
A． B． C． D．
12．已知球 的体积为 ，圆柱 内接于球 ，其中 ， 分别是圆柱上、下底面的圆心，则圆柱 的表面积的最大值为（）
故 ， ， ，
则 .
故选：A.
【点睛】
本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题.
7．D
【解析】
【详解】
由题得,抽出的号码为以15为公差的等差数列,再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.又 .其他选项均不满足.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了系统抽样的性质与运用,属于简单题型.
5．C
【解析】
【分析】
模拟执行程序框图，即可容易求得结果.
【详解】
运行该程序：
第一次， ， ；
第二次， ， ；
A． B． C． D．
6．已知幂函数 的图象过点 ，且 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A． B． C． D．
7．已知非零向量 满足 ，若 夹角的余弦值为 ，且 ，则实数 的值为（）
A． B． C． 或 D．
8．记单调递增的等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则（）
A． B． C． D．
9．函数 的图象大致为（）
第三次， ， ，
…；
第九十八次， ， ；
第九十九次， ， ，
此时要输出 的值为99.
此时 .
故选：C.
【点睛】
本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.
6．A
【解析】
【分析】
根据题意求得参数 ，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断.
【详解】
依题意，得 ，故 ，
16．记数列 的前 项和为 ，已知 ，且 .若 ，则实数 的取值范围为________.
三、解答题
17．2019年篮球世界杯在中国举行，中国男篮由于主场作战而备受观众瞩目.为了调查国人对中国男篮能否进入十六强持有的态度，调查人员随机抽取了男性观众与女性观众各100名进行调查，所得情况如下表所示：
男性观众