复合函数的导数

解:由已知知:圆半径R=R(t),且 Rt = 2cm/s.
又圆面积S=πR2,所以 St |R10 2R Rt |R10 2 10 2 =40π(cm)2/s.
故圆面积增加的速度为40π(cm)2/s.
1
例4:在曲线 y 1 x2上求一点,使通过该点的切线平行于 x轴,并求此切线的方程.
(2) y

(1
2x 2x2) 1 2x2
(3) y

1
(x5

2
x9

)
1 2
(5
x
4

2
7
x2
)
12 1
9
(3x 4)2
(4)
1

135
(6
x

7)4
(5) bsinbx (2a b)sin(2a b)x (2a b)sin(2a b)x.
2
4
4
例3:如果圆的半径以2cm/s的等速度增加,求圆半径R= 10cm时,圆面积增加的速度.
x1 x 1
x1 x 1
x1
f ( x) f (1)
3( x 1) 2
lim
lim
lim 3 3;
x 1
x 1
x1 x 1
x 1
f ( x) f (1)
f (x)1
lim
lim
,
x1 x 1
x1 x 1
从而f(x)在x=1处不可导.
yx yu uv vx (u4 )u (1 v2 )v (sin x)x 4u3 2v cos x 4(1 sin2 x)3 2sin x cos x 4(1 sin2 x)3 sin2x .
说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.
备用在上面的例子中涉及到了二次曲线在某点的切线 问题,但在上面的解法中回避了点在第二、三、四象限
的情况.可能有同学会提出对于二次曲线在任意点的切
线怎样求的问题,由于它涉及到隐函数的求导问题.我们
不便去过多的去研究.
下面举一个例子使同学们了解一下求一般曲线在任
意点的切线的方法.(说明:这个内容不属于考查范围.)
域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x).
两边同时对x求导得: f (x T )(x T ) f (x),即 f (x T) f (x). f (x) 也是以T为周期的周期函数.
例7:求函数
f
(
x)


x
2

1
x 1 的导数.
3x 1 x 1
说明:这是分段函数的求导问题,先根据各段的函数表达
1 (2) y (1 3x)4
解:设y=u-4,u=1-3x,则:
yx

yu
ux

(u4 )u
(1
3 x )x

4u5
(3)
12u5

12 (1 3x)5
.
(3) y (1 sin2 x)4 解:设y=u-4,u=1+v2,v=sinx,则:
证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对x 求导得: f (x)(x) f (x) f (x) f (x),故 f ( x)为 奇函数. 同理可证另一个命题. 我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数
的导函数也是周期函数. 证:设f(x)为可导的周期函数,T为其一个周期,则对定义
复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要有 机的结合和综合的运用.要通过求一些初等函数的导 数,逐步掌握复合函数的求导法则.
三、例题选讲：
例1:求下列函数的导数: (1) y (2x 1)5
解:设y=u5,u=2x+1,则:
yx yu ux (u5 )u (2x 1)x 5u4 2 5(2x 1)4 2 10(2x 1)4 .
例2:求下列函数的导数:(1)y=(2x3-x+1/x)4;
解:
y

4(2 x 3

x

1 x
)3
(2 x 3

x

1 x
)

4(2 x 3

x

1 x
)3 (6 x 2

1 x2
1)
.
(2) y 5 x
1 x
(3)y=tan3x; (4) y (2x2 3) 1 x2
为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算 法则,这就是复合函数的导数.
二、新课——复合函数的导数：
1.复合函数的概念:
对于函数y=f[ (x)],令u= (x),若y=f(u)是中间变量 u的函数, u= (x)是自变量x的函数,则称y=f[ (x)]
是自变量x的复合函数.
2.复合函数的导数:
sin2x[ f (sin2 x) f (cos2 x)].
说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其 结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法 则.
我们曾经利用导数的定义证明过这样的一个结论: “可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导函 数为偶函数”.现在我们利用复合函数的导数重新加以 证明:
式,求出在各可导(开)区间的函数的导数,然后再用
定义来讨论分段点的可导性.
解:当x≠1时,
f
(
x)

源自文库x

3
x1
x . 1
又 lim x1
而 lim
f
f
(x) lim f (x)
x1
( x) f (1)
x2
lim
f (1) 2,故f(x)在x=1处连续.
1 2 lim( x 1) 2;
证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一 个交点处的切线互相垂直即可.
联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨
证明过P点的两条切线互相垂直.
由于点P在第一象限,故由x2-y2=5得 y x2 5, y x ,
同k理1 由y4|xx32+923 ;y2=72得 y
在书写时不要把 fx[(x)]写成 f [(x)],两者是不完全 一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变
量 ( x) 的求导.
3.复合函数的求导法则: 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间
变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.
法则可以推广到两个以上的中间变量. 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关 系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变 量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接 求导,就不必再选中间变量.
x(
sin
x)

3( sin cos
x x
)2

1 cos2
x

3 s in2
x
sec4
x.
解: y (2x2 3) 1 x2

y

4 x(1

x2
1
)2

(2x2

3)

1
(1

x2
1
)2

2x
2
1
(2x2 3)(1 x2 )2 ;
4x 1 x2 x(2x2 3) 6x3 x .
x2 5
8 4 x2 , y 4x ;
9
9 8 4 x2
k2

y
|x3

2 3
.
9
因为k1k2=-1,所以两条切线互相垂直.从而命题成立.
例6:设f(x)可导,求下列函数的导数: (1)f(x2);(2)f( 1 x2 );(3)f(sin2x)+f(cos2x)
解: (1) y f ( x2 ) ( x2 ) 2xf ( x2 );
因此当Δ x →0时, Δu →0.
当Δ
u≠0时,由 y
x
y u u x
,且
lim
x0
y u

lim
u0
y u
得:
lim
x0
y x

lim
x0
1 x2
1 x2
(5):y=sin2(2x+π/3)
法法二一::yyy2112s[0i[n1(s2icxno(4s(x43x)2c2o)3s4()]2]x, 2sin3(4)
2
x
2sin(4 2 ) .
x

2
3
)
.
2
3
3
练习1:求下列函数的导数:
解:
y 1 (
x
4
) 5 (
x
) 1 (
x
4
) 5
1

1
4
x5
(1
6
x) 5
.
5 1 x 1 x 5 1 x (1 x)2 5
解:
y

3(tan
x )2 (tan
x)

3
tan2
x

sin ( cos
x x
)

3(
sin cos
x x
)3

cos
x
cos
x sin cos2 x
复合函数的导数
一、复习与引入：
1. 函数的导数的定义与几何意义.
2.常见函数的导数公式.
3.导数的四则运算法则.
4.例如求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式 展开,利用导数的四则运算法则求导.然后能否用其它 的办法求导呢? 又如我们知道函数y=1/x2的导数是 y=-2/x3,那么函数 y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?
例子:求椭圆
x2 16

y2 9

1在点 (2,
3 2
3 )处的切线方程.
解:对椭圆方程的两边分别求导(在此把y看成是关于x
的函数)得: 1 2x 1 2 y y 0, y 9 x .
16
9
16 y
k

y
|
x2 y3
2

3
3. 4
于是所求切线方程为:
y 3 3 3 ( x 2),即 3x 4 y 8 3 0.
(1) y 3 ax2 bx c (2) y 1
(3) y x2 x x
1 2x2
(4) y ( 3x 4)3 (5) y sin2 ax cosbx 6x 7
答案:
(1) y

(2ax b)3 ax2 bx c 3(ax2 bx c)
(2) y f ( 1 x2 ) 2x x f ( 1 x2 ); 2 1 x2 1 x2
(3) y [ f (sin2 x) f (cos2 x)]
f (sin2 x)(sin2 x) f (cos2 x)(cos2 x)
f (sin2 x) 2sin x cos x f (cos2 x) 2cos x( sin x)
1.
x2 a2

y2 b2

1上一点P0(x0,y0)的切线方程是:
x0 x a2

y0 y b2
1.
(4)过抛物线y2=2px上一点P0(x0,y0)的切线方程是:y0y =p(x+x0).
证:设x有增量Δ x,则对应的u,y分别有增量Δ u, Δ y.
因为u (x) 在点x处可导,所以u (x) 在点x处连续.
2
4
利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下:
(1)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P0(x0,y0)的切线方程是:
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(2)过椭圆
x2 a2

y2 b2

1上一点P0(x0,y0)的切线方程是:
x0 x a2

y0 y b2

(3)过双曲线
设函数 u (x) 在点x处有导数 ux ( x),函数y=f(u)在
点x的对应点u处有导数yu f (u) ,则复合函数 y f [(x)] 在点x处也有导数,且 yx yu ux;或记 fx[( x)] f (u)( x).
如:求函数y=(3x-2)2的导数,我们就可以有,令y=u2,u =3x-2,则 yu 2u, ux 3, 从而 yx yu ux 18x 12 .结果与我 们利用导数的四则运算法则求得的结果完全一致.
解:设所求点为P(x0,y0).则由导数的几何意义知:
切线斜率
k
f
(
x0
)

(
1
1 x
2
)
|x

x0

2x0 (1 x02 )2
0, x0
0.
把x0=0代入曲线方程得:y0=1.
所以点P的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.
例5:求证双曲线C1:x2-y2=5与椭圆C2:4x2+9y2=72在交 点处的切线互相垂直.

f
(
x)

2x

3
x1 .
x1
四、小结：
利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变 量是复合函数求导的关键.必须正确分析复合函数是由 哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的 复合关系.要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体, 这个暂时的整体,就是中间变量.求导时需要记住中间变 量,注意逐层求导,不遗漏,而其中特别要注意中间变量 的系数,求导后,要把中间变量转换成自变量的函数.