【教案】集合复习课教案

集合复习课
教学目的：巩固集合、子、交、并、补的概念、性质和记号及它们之间的关系
教学重点、难点：会正确应用其概念和性质做题
教具：多媒体、实物投影仪
教学方法：讲练结合法
授课类型：复习课
教学过程：
一、复习准备：
知识网络
二、讲授新课：
例1，给出下列说法：①方程2-x +|y+2|=0的解集为{-2,2};②集合{y|y=x 2-1,x ∈R}与集合{y|y=x-1,x ∈R }的公共元组成的集合为{0，-1}；③区间（-∞，1）与（a ，+∞）无公共元素。

其中正确的个数为___________
解：对于①，解集应为有序实数对，错；对于②{y|y=x 2
-1,x ∈R}=[)∞+-，1与集合{y|y=x-1,x ∈R}=R ，公共元素不只0与-1两个，错；③区间（-∞，1）与（a ，+∞）无公共元素取决于1与a 的大小，错。

故正确的个数是0。

例2、已知集合M={x|x=3m+1,m ∈Z }，N={y|y=3n+2,n ∈Z },若x 0
∈M,y 0∈N ，则x 0y 0与集合M 、N 的关系是 。

解：[方法一]（变为文字描述法）M={被3除余数为1的整数}，N={被3除余数为2的整数}，余数为1×余数为2→余数为2，故x 0y 0∈N,x 0y 0∉M
[
方
法
二
]
（
变
为
列
举
法
）
M={…,-2,1,4,7,10,13,},N={…,-1,2,5,8,11,……}M 中一个元素与N 中一个元素相乘一定在N 中，故x 0y 0∈N,x 0y 0∉M
[方法三]（直接验证）设
x 0=3m+1,y 0=3n+2,则
x 0y 0=9mn+6m+3n+2=3(3mn+2m+n)+2, 故x 0y 0∈N,x 0y 0∉M
例3，已知集合A={x|2
2
-+x a
x =1}是单元素集，用列举法表示a 的取值集合B
解：B 表示方程2
2-+x a
x =1有等根或仅有一个实数根时a 的取值集合。

⑴有等根时有：x 2-x-2-a=0①且x 2-2≠0②；①△=1-4(-a-2)=0,a=-9/4,此时x=1/2适合条件②，故a=-9/4满足条件；
⑵仅有一个实数根时，x+a 是x 2-2的因式，而
22
-+x a
x =)
2)(2(+-+x x a x ，∴a=±2.当a=2时,x=1+2,满足条件；当a=-2时,x=1-2也满足条件总之，B={-9/4,-2，2}
例4，设M={z|z=x 2-y 2,x 、y ∈Z},⑴试验证5和6是否属于M ？⑵关于集合M ，还能得到什么结论。

解：⑴5=32-22∈M ，6=x 2-y 2=(x-y)(x+y),x 、y 不会是整数，故6∉M ⑵可以得到许多结论，如：①因2n+1=(n+1)2-n 2,故一切奇数属于M ；②M 为无限集；③因4n=(n+1)2-(n-1)2，故4的倍数属于M ；④对
于a 、b ∈M ，则ab ∈M （证明：设a=x 12-x 22,b=y 12-y 22,则ab=(x 1y 1+x 2y 2)2-(x 1y 2+x 2y 1)2∈M 。

例5：全集U = {x | x < 10，x ∈N +}，A ⊆U ，B ⊆U ，（C U B ）∩A
= {1，9}，A ∩B = {3}，(C U A )∩(C U B ) = {4，6，7}，求A 、B 。

学生分析方法→填写图中各块的元素→小结：列举法表示的数集问题用Venn 图示法、观察法。

解：因为()U C B A ={1，9}，所以1、9U C B ∈ 因为()()U U C A C B ={4，6，7}
所以U C B ={1，4，6，7，9}，从而B = {2，3，5，8}；
又()U C B A ={1，9}，A B ={3}，所以A = {1，3，9}。

例6：已知A = {x | – 2 < x < – 1或x > 1}，A ∪B = {x | x + 2 > 0}，A ∩B = {x |1 < x ≦ 3}，求集合B 。

解法：数轴上表示各集合后，分析得出结果。

分析：因为{|13}A B x x =<≤， 所以{|13}x x B <≤⊆，
因为{|2}A B x x =>-，
{|11}x x A -≤≤=∅，
所以{|11}x x B -≤≤⊆，
所以{|11}{|13}{|13}B x x x x x x =-≤≤<≤=-≤≤。

例7：满足关系{1，2}⊆A ⊆{1，2，3，4，5}的集合A 共有 个。

分析：满足条件的集合A 可列举如下：
{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，3，4，5}共8个。

1 9 3
4 6 7
A
B
-2
-1
1 3
x
A B
A B
观察以上的集合，都含有元素1、2，若把1、2去掉，则剩下的集合恰为集合
{3，4，5}的子集，也是8个，因此，解题时，可把公共的元素删去，求剩下的集合的子集即可。

例8、已知50名同学参加跳远和铅球两项测验，分别及格人数为40、31人，两项均不及格的为4人，那么两项都及格的为 人。

分析：记参加跳远测验及格的同学组成的集合为A ，参加铅球测验及枚的同学组成的集合为B ，则两项都及格的
同学组成集合A B ，两项都不及格的同学组成集合
()()U U C A C B ，其中U 表示全班同学组成的集合。

设两项都及格的同学为x 人，则有40 + 31 – x + 4 = 50，解得x = 25。

说明：本题解出后，应代入验证：50名同学中，只有跳远及格人数为15人，只有铅球及格人数为6人，4 + 15 + 25 + 6 = 50，符号题意。

思考题1：设S 为集合{1，2，3，…，100}的具有下列性质的子集：S 中任意两个不同元素之和不被7整除，那么S 中元素最多可能有多少个？
分析：对于两个不同的自然数与a ，b 如果要求（a + b ）不被7整除，就是要求它们的和被7除所得的余数不为0。

我们把集合{1，2，3，…，100}按照其中元素被7除所得的余数相同与否进行归类，
4
B:31
x
U:50
A:40
余数相同的组成一个集合，这样得到7个子集，然后从这7个子集中适当抽取满足题意的元素组成集合S 。

思考题2：设M = {1 , 2 , 3 , … , 1995}，A 是M 的子集且满足条件：当x A ∈时, 15x A ∉，则A 中元素的个数最多是__________。

例9：设U={1，2，3，4，5}，且A ∩B={2}，()U C A B ={4}，
()()U U C A C B ={1，5}，则下列结论正确的是（ ）
A ．3∈A ，3∈
B B ．2∈U
C A ，3∈B
C ．3∈U C B ，3∈A
D ．3∈U C A ，3∈U C B 分析：按题意画出Venn 图即可找出选择的分支. 【解】 画出满题意足Venn 图：
∉3∈A 且3∈U C B ， ∴ 选C. 点评: 本题可用排除法来解，若选A ，则3∈A ∩B ，与已知A ∩B={2}矛盾，……显然这种方法没有Venn 图形象直观，这也突出数形集结合的思想在集合中的运用.
例10：已知全集U=R ，集合A={x|x 2-x-6<0}，B={x|x 2+2x-8>0}，
C={x|x 2-4ax+3a 2<0}，
(1)试求a 的取值范围，使A ∩B ⊆C ； (2)试求a 的取值范围，
使U U C A C B C ⊆
分析： U=R ，A=（-2，3），B=（-∞，-4）∪（2，+∞），故A ∩B=
（2，3），U C A =（-∞，-2]∪[3，+∞），U C B =[-4，2]，
()()U U C A C B =[-4，-2]，
x 2-4ax+3a 2<0即(x-3a)(x-a)<0，∴当a<0时，C=（3a ，a ）， 当a=0时，C=∅， 当a>0时，C=（a ，3a ），
(1)
要使A ∩B ⊆C ，集合数轴知， 0233a a a >⎧⎪
≤⎨⎪≥⎩ 解得 1≤a ≤2；
(2)
类似地，要使U U C A C B C ⊆必有 0
342
a a a <⎧⎪
<-⎨⎪>-⎩
解得 423a -<<-
【解】解答过程只需要将上面的分析整理一下即可.
点评: ①研究不等式的解集的包含关系或进行集合的运算时，充分利用数轴的直观性，便
于分析与转化.
②注意分类讨论的思想在解题中的运用，在分类时要满足不重复、不遗漏的原则.
例11： 已知集合A={x|x 2+4ax-4a+3=0}， B={x|x 2+(a-1)x+a 2=0}，C={x|x 2+2ax-2a=0}，其中至少有一个集合不是空集，求实数a 的取值范围.
分析： 此题若从正面入手，要对七种可能情况逐一进行讨论，相当繁琐；若考虑其反面，则只有一种情况，即三个集合全是空集. 【解】 当三个集合全是空集时，所以对应的三个方程都没有实数解， 即
212222
3164(43)0
(1)40480
a a a a a a ⎧∆=--+<⎪∆=--<⎨⎪∆=+<⎩ 解此不等式组，得 3
12a -<<-
∴所求实数a 的取值范围为： a ≤3
2
-,或a ≥-1.
点评: 采用“正难则反”的解题策略，具体地说， 就是将所研究的对象的全体视为全集，求出使问题反面成立的集合，那么这个集合的补集便为所求.
三、追踪训练
1.设U={x|0<x<10，x ∈N +}，若A ∩B={3}，()U C B A ={1，5，7}，()()U U C A C B
={9}，求集合A ，B.
【解】 A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}.
2.某校有A 、B 两项课外科技制作小组，50名学生中报名参加A 组的人数是全体学生人数的3/5，报名参加B 组的人数比报名参加A 组的人数多3人，两组都没有报名的人数是同时报名的人数的1/3还多1人，求同时报名参加A 、B 两组人数及两组都没有报名的人数.
【解】 同时报名参加A 、B 组的人数为21人，两组都没有报名的人数为8人.
3.设A={x|x 2-x-2<0}，B={x||x|=y+1，y ∈A}，求：R C B ，A ∪B ，A ∩R C B ，()R C A B R C B ∩R C A
【解】R C B =（-∞，-3]∪[3，+∞）∪{0}； A ∪B=（-3，3）； A ∩R C B ={0}；
()R C A B =（-∞，-3]∪[3，+∞）.
4.已知A={x|-x 2+3x+10≥0}，B={x|m ≤x ≤2 m -1}，若B ⊆A, 求实数m 的取值范围.
【解】 实数m 的取值范围：（-∞， 3） . 四、归纳小结
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。