第二节 对偶单纯形法

-1 1 -1 1 0 0 -4 1 1 2 0 1 0 8 -1 0 1 0 0 1 -2
-1 1 -1 1 0 0 -4 1 1 2 0 1 0 8 -1 0 1 0 0 1 -2
min S x1 2 x2 3 x3
1
x6
0 0
目标
0
1
x4 x5 x6
10
1 1
1
2
1
3 0
0
5
1
0 0
0
1
0
0
前提
0
对偶单纯形法
x1
S
0
x2
-2
x3
-3
x4
0
1
x5
0
0
1
x6
0 0
前提
0
-1
x4 x5 x6
10 -5
1
1 -1
1
2
1
3
-2
0 0
0
1
0
0
0
目标
0
回顾
定理3.4 若原始问题的最优解存在，则 用单纯形法求解时，其对偶问题的最优 解可同时在最优单纯形表上得到，且顺 次等于松弛变量或剩余变量对应的检验 数的相反数．
0 1
选取初始基：
1 B0 ( P4 , P5 ) 0
得初始单纯形表
初始单纯形表
w
x4 x5
0 -3 -4 -2 -1 -2 -3 -2 1 -4 -1 -3 0 1 0 0 0 1
初始单纯形表
w
x4 x5
0 -3 -4 -2 -1 -2 -3 -2 1 -4 -1 -3 0 1 0 0 0 1
0 1 0 0 0 1
初始基：
1 B0 ( P4 , P5 , P6 ) 0 0
初始单纯形表
S
0 -4 8 -2 -1 -1 1 0 -2 1 1 -1 -3 -1 2 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
x4 x5 x6
初始单纯形表
S
0 -4 8 -2 -1 -1 1 0 -2 1 1 -1 -3 -1 2 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
x4 x5 x6
在“b”列找出最小的负数，用它所在行的 所有负数去除对应的检验数，通过最小比 值法则确定轴心项，进行换基迭代.
第二单纯形表
S
4 4 4 -2 0 1 0 0 -3 -1 2 -1 -2 1 1 1 -1 -1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1
x1 x5 x6
第二单纯形表
S
4 4 4 -2 0 1 0 0 -3 -1 2 -1 -2 1 1 1 -1 -1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1
max S 2 x1 4 x2 min W 6 y1 8 y2 4 y3 3 y4 x1 x2 6 x 2x 8 对偶问题 y1 y2 y3 2 2 1 y1 2 y2 y4 4 x1 4 y1 4 0 x2 3 x1 , x2 0
例1 用对偶单纯形法求解线性规划问题
min S x1 2 x2 3 x3
x1 x2 x3 4 x1 x2 2 x3 8 x2 x3 2 x 、x 、x 0 1 2 3
解 将原问题化为如下形式，写出增广矩阵
min S x1 2 x2 3 x3 x1 +x2 x3 +x4 = 4 x1 x2 2 x3 x5 =8 x2 +x3 +x6 = 2 x ，x ， ，x 0 6 1 2
换基迭代,得第二单纯形表
第二单纯形表
w
x4 x1
-4 0 -4 -1 0 -1
-1 2
0 1
-5 2 -1 2
12 32
1 0
-1 2 -1 2
第二单纯形表
w
x4 x1
-4 0 -4 -1 0 -1
-1 2
0 1
-5 2 -1 2
12 32
1 0
-1 2 -1 2
继续换基迭代，得第三单纯形表
第三单纯形表
2.3 对偶单纯形法 对偶单纯形法不是用单纯形法求解对 偶问题，而是借助于对偶关系和对偶理论， 用单纯形法求解原问题． 单纯形法换基迭代的前提是所选基必 须是可行基，即其对应的解必须是基本可 行解． 而对偶单纯形法允许从非基本可行解 开始进行换基迭代．
单纯形法
x1
S
0
x2
2
x3
3
x4
0
1
x5
0
0
x1 x5 x6
重复上述过程，继续换基迭代.
第三单纯形表
S
10 6 0 2 0 1 0 0 0 0 0 1 -5 0 3 -1 -1 -1 1 0 0 0 1 0 -3 -1 -2 -1
x1 x5 x2
第三单纯形表
S
10 6 0 2 0 1 0 0 0 0 0 1 -5 0 3 -1 -1 -1 1 0 0 0 1 0 -3 -1 -2 -1
x1 x5 x2
“b”列元素全都非负，第三单纯形表即最优 单纯形表. 得原问题的最优解为 x1 6, x2 2, x3 0; 最优值为 S 10.
对偶单纯形法是在原问题的非基本可 行解下进行换基迭代的，其前提是保证对 偶问题的可行性，即保证单纯形表中所有 检验数非正． 总之，在单纯形表中，只要能保证原 问题或对偶问题的任一可行性，即可进行 换基迭代，直到找出最优解．
x1 2 x2 x3 x4 3 2 x1 x2 3 x3 x5 4 x 、 、x 0 5 1
1 2 1 1 0 3 2 1 3 0 1 4
min w 2 x1 3 x2 4 x3
1 2 1 1 0 3 2 1 3 0 1 4
5
本节作业
77页 3.2 用对偶单纯形法求解线性规划问题 （1）、（3）
w
x2 x1
3 -5 5 0 0 -9 5 -8 5 -1 5
25
0
1
-1 5
-2 5
15
11 5
1
0
75
-1 5
-2 5
第三单纯形表
w
x2 x1
-5 3 5 0 0 -9 5 -8 5 -1 5
25 11 5
0 1
1 0
-1 5 75
-2 5 -1 5
15 -2 5
第三单纯形表即最优单纯形表， 得原问题的最优解为 x1 11 5, x2 2 5, x3 0; 3 最优值为 w 5 .
y5
S 16 0
y6
0
y1
0
y2
-2
y3
0
y4
0
x1 x2 x3 x5
2 3 1 2
1 0 0 0
百度文库0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 -1 -1
0 0 0 1
-2 1 1 2
原始问题的单纯形表的检验数行非正 意味着对偶问题基本解的可行性．
因此，对偶单纯形法换基迭代的前提 是保证对偶问题基本解的可行性．
例2 用对偶单纯形法求解线性规划问题
min w 2 x1 3 x2 4 x3
x1 2 x2 x3 3 2 x1 x2 3 x3 4 x 、x 、x 0 1 2 3
解 将原问题化为如下形式，写出增广矩阵
min w 2 x1 3 x2 4 x3