第10课 最大公因数与最小公倍数S

第10课 最大公因数与最小公倍数

【知识要点】

1、最大公约数

任何n 个正整数总有公约数1；如果除1以外，还有其他的公约数，由于每个公约数都不大于所给个数中最小的一个，故所给个数的公约数的个数总是有限的。123,,,n a a a a ⋅⋅⋅的公约数中最大的一个，叫做这n 个数的最大公约数。记为：123(,,,)n d a a a a =⋅⋅⋅

如12是12，24，36的最大公约数，记作12=（12，24，36） 显然，n 个正整数的最大公约数是这n 个数其他公约数的倍数。

2、最小公倍数

设123,,,n a a a a ⋅⋅⋅是正整数，他们的乘积123,,,n a a a a ⋅⋅⋅能被它们中的每一个整除，123,,,n a a a a ⋅⋅⋅是它们的公倍数，对任意整数123n ka a a a ⋅⋅⋅也是123,,,n a a a a ⋅⋅⋅的公倍数，因此这些公倍数有无数个，但由于每个公倍数都不小于所给个数中最大的一个，所以存在一个这些数的最小公倍数。123,,,n a a a a ⋅⋅⋅的所有公倍数中最小的一个叫做123,,,n a a a a ⋅⋅⋅的最小公倍数。记为：123[,,,]n m a a a a =⋅⋅⋅

如24是4，6，8的最小公倍数，记为24=[4，6，8]

显 然，n 个正整数的最小公倍数是这n 个正整数其他公倍数的约数。

它们还有下面的性质：设m 为任意正整数，则(am ，bm )＝(a ，b )×m ，[am ，bm ]＝[a ，b ]×m ．

3、最大公约数与最小公倍数的求法：短除法、分解质因数法、辗转相除法．

【例题选讲】

例1、求(60，75，90)及[60，75，90]．

例2、 正整数m 和n 有大于1的最大公约数，且满足m 3＋n ＝371，求mn ．

例3、已知两个正整数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数．

例4、甲、乙、丙三人赛跑，甲每分钟跑120米，乙每分钟100米，丙每分钟跑70米，若三人同时同向从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道奔跑，经过多少分钟之后，三人第一次同时相遇？

例5．有两个相互啮合的齿轮，小齿轮有51个齿，大齿轮有68个齿，当小齿轮比大齿轮多转13转时，大、小齿轮各转了多少转？

例6、100个正整数之和为101101，则它们的最大公约数的最大值可能是多少？

例7、设m、n为大于0的整数，且3m＋2n＝225．

（1）若(m，n)＝15，则m＋n＝；（2）若[m，n]＝45，则m＋n＝．

例8、一个盒子里装有不多于200粒棋子，若每次2粒，或每次3粒，或每次4粒，或每次6粒地取出，最终盒子内都剩下一粒棋子；若每次11粒地取出，则正好取完，求盒子里共有多少棋子？

练习：

1、(48，36，84)＝，[56，36，284] ＝．

2、设a、b是两个连续正整数，则a、b的最大公约数与最小公倍数之和等于．

3、设a、b、c、d是互不相等的正整数，(a，b)＝P，(c，d)＝Q，[P，Q]＝X，[a，b]＝M，[c，

d]＝N，(M，N)＝Y，则（）

（A）X是Y的倍数，但X不是Y的约数

（B）X是Y的倍数或约数都有可能，但X≠Y

（C）X是Y的倍数、约数或X＝Y三者必居其一

（D）以上结论都不对

4．设p为质数，(a，p2)＝p，(b，p3)＝p2，则(ab，p4)＝，(a＋b，p4)＝.

5．两个自然数的差是30，它们的最小公倍数与最大公约数的差是450，求这两个数．6．m、n为正整数，且m＝2004n，则m、n的最大公约数与最小公倍数的和是．7．写出三个小于20的正整数，它们的最大公约数是1，但两两均不互质：．

8．两个正整数的最大公约数是12，最小公倍数是72，其中一个数是24，则另一个数是．

9、已知两个正整数的积是240，最小公倍数是60，求这两个数．

能锯成最大的正方形板块边长是多少？

11、三艘客轮4月1日从上海港开出，它们在上海与目的地之间往返航行，每往返一趟各需要2天、3天、5天。试问：三艘客轮下一次汇聚上海港是几月几日？

12、240名学生面对教练站成一行，自左至右按1，2，3，4，5，…依次报数。教练要求全体学生执行如下动作指令：先是报3的倍数的全体学生向后转；接着是报5的倍数的全体学生向后转；最后是报7的倍数的全体学生向后转。问：

（1） 此时还有多少名学生面对教练？

（2） 面对教练的学生中，自左至右第66位学生所报的数是几？

13、四根铁丝，长度各为1008cm 、1260cm 、882cm 、1134cm 。现在要求把它们截成相等的小

段，每根铁丝 都不允许剩下，且截成的小段要最长，每小段长多少厘米？总共可以截成多少段？

14、若n 1和n 2是任意两个大于3的质数，22

11221,1,N n N n =-=-则1N 与2N 的最大公约数至少是多少？

15、23个不同的正整数的和是4845。问：这23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少？写出你的结论，并说明理由。