均值不等式及其应用

高三一轮复习数学学案

均值不等式及其应用

一．考纲要求及重难点

要求： 1.了解均值不等式的证明过程.

2.会用均值不等式解决简单的最大（小）值问题.

重难点：1.主要考查应用不等式求最值和不等式的证明.

2.对均值不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档题，若出现证明题难度也不会太大.

二．考点梳理

1.均值定理：2

a b +≥； （1）均值不等式成立的条件是_________.

（2）等号成立的条件是：当且仅当_________时取等号.

（3）其中_________称为正数a,b 的算术平均值，_________称为正数a ，b 的几何平均值.

2.利用均值定理求最值

1）.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a ，b ∈R ＋

，且a ＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤42

M ，等号当且仅当a ＝b 时成立. 简记：和定积最大。

2）.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a ，b ∈R ＋

，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，等号当且仅当a ＝b 时成立. 简记：积定和最小。

3、几个重要的不等式

（1）222a b ab +≥ (a,b ∈R) （2）2(,b a a b a b

+≥同号） （3）2()2

a b ab +≤ （,a b R ∈） （4）222()22a b a b ++≥ （,a b R ∈） 三、学情自测

1、已知0a ≥，0b ≥，且2a b +=，则（ ）

A 、12ab ≤

B 、12

ab ≥ C 、222a b +≥ D 、223a b +≤ 2、给出下列不等式：①212a a +≥2≥；③22111x x +≥+，其中正确的个数是 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3

3、设0x >，则133y x x

=--

的最大值是___________。 4、长为24cm 的铁丝做成长方形模型，则模型的最大面积为___________。

5.已知正数,a b ，满足1a b +=，则12a b +的最小值为 。

四．典例分析

考向一：利用均值不等式求最值

例1、（2013山东）设正实数,,x y z 满足

22340x xy y z -+-=,则当xy z 取得最大值时,212x y z +-的最大值为 （ ）

A ．0

B ．1

C ．94

D ．3

变式训练1.若1x <-，求函数2710()1

x x f x x ++=+的最大值。 2.（2013天津数学）设a + b = 2, b >0, 则当a = ______时,

1||2||a a b +取得最小值.

考向二、利用均值不等式证明简单不等式

例2、已知0,0,0x y z >>>，求证：(

)()()8y z x z x y x x y y z z +++≥

变式训练2、已知,,a b c 都是实数，求证：22221()3

a b c a b c ab bc ac ++≥

++≥++

考向三、均值不等式的实际应用

例3、小王于年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比

上一年增加支出2万元,假定该年每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第x 年年底出售,其销售价格为25x -万元(国家规定大货车的报废年限为10年).

(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?

(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?)(利润=累计收入+销售收入-总支出)

变式训练：

如图：动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。

（1）现有可围36米长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

（2）若使每间虎笼面积为242

m ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使四间虎笼的钢筋网总长最小？

五、当堂检测

1、若,a b R ∈且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）

A 、222a b ab +>

B 、a b +≥、11

a b +>、2b a a b +≥

2、若函数1()(2)2

f x x x x =+>-在x a =处取得最小值，则a =（ ）

A 、1

B 、1+

C 、3

D 、4

3、已知22log log 1a b

+≥，则39a b +的最小值为___________。 4.若点()1,1A 在直线02=-+ny mx 上,其中,0>mn 则11m n

+的最小值为__________. 六、课堂小结

七、课后巩固

1、已知54x <，则函数14245

y x x =-+-的最大值是（ ） A 、2 B 、3 C 、1 D 、12

2、已知0,0,x y >>,,,x a b y 成等差数列，,,,x c d y 成等比数列，则2

()a b cd

+的最小值是 A 、0 B 、1 C 、2 D 、4

3、已知0b >，直线2(1)20b x ay +++=与直线210x b y --=互相垂直，则ab 的最小值为（ ）

A 、1

B 、2

C 、

D 、4、已知0,0,x y >>8x y xy ++=，则x y +最小值是___________。

5、若对任意0,x >231

x a x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是___________。 6.某工厂去年的某产品的年销售量为100万只,每只产品的销售价为10元,每只产品固定成本为8元,今年,

工厂第一次投入100万元,并计划以后每年比上一年多投入100万元,预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只,第n 次投入后,每只产品的固定成本为()0,,)

g n k k n N =>∈为常数,若产品销售价保持不变,第n 次投入后的年利润为()f n 万元.

(1)求k 的值,并求出()f n 的表达式;

(2)若今年是第1年,则第几年年利润最高?最高利润为多少万元?