1.1集合的概念与运算(知识梳理)

1.1集合的概念与运算

知识清单

1.元素与集合

(1)元素与集合的关系有且仅有两种:①属于(用符号“∈”表示)和②不属于(用符号“∉”表示).如a∈A,a∉B等.

(2)集合中元素的特征

确定性作为一个集合中的元素,必须是确定的.即一个集合一旦确定,某一个元素属于不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素,要么不是,二者必居其一,这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合

互异性集合中的元素必须是互异的.对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确或用来求集合中的未知元素

无序性

集合与其中元素的排列顺序无关,如a,b,c组成的集合与b,c,a组成的集合是相同的集合.这个特性通常被用来判断两个集合的关系

(3)集合的分类:③无限集;④有限集.特别地,我们把不含有任何元素的集合叫做⑤

空集,记作⌀.

(4)常用数集及其表示符号

名称非负整数集

(自然数集)

正整数集整数集有理数集实数集

符号⑥N ⑦N*或N+⑧Z ⑨Q ⑩R

(5)集合的表示方法:列举法;描述法;图象法.

2.集合间的关系

(1)集合间的运算关系

名称自然语言描述符号语言表示Venn图表示

子集如果集合A中所有元素都是集合B

中的元素,则称集合A为集合B的子

集

A⊆B

(或B⊇A)

真子集如果集合A⊆B,存在元素a∈B,但a

∉A,则称集合A是集合B的真子集

A⫋B(或B⫋A)

集合相等

集合A与集合B中元素相同,那么就

说集合A与集合B相等

A=B

并集对于两个给定集合A、B,由所有属

于集合A或属于集合B的元素组成

的集合

A∪B={x|x∈A,或x∈B}

交集对于两个给定集合A、B,由所有属

于集合A且属于集合B的元素组成

的集合

A∩B={x|x∈A,且x∈

B}

补集对于一个集合A,由全集U中所有属

于集合U但不属于集合A的所有元

素组成的集合称为集合A在全集U

中的补集,记作:∁U A

∁U A={x|x∈U,且x∉A}

(2)集合间的逻辑关系

交集:A∩B⊆A;A∩B⊆B;A∩B⊆U;A∩A=A;A∩⌀=⌀.

并集:A∪B⊇A;A∪B⊇B;A∪U=U;A∪A=A;A∪⌀=A.

补集:∁U(∁U A)=A;∁U U=⌀;∁U⌀=U;A∩(∁U A)=⌀;

A∪(∁U A)=U.

3.设有限集合A,card(A)=n(n∈N*),则

(1)A的子集个数是2n;

(2)A的真子集个数是2n-1 ;

(3)A的非空子集个数是2n-1 ;

(4)A的非空真子集个数是2n-2 .

基础自测

1.设集合A={1,2,3,4},B={3,4,5},全集U=A∪B,则集合∁U(A∩B)的元素个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

2.已知集合A={x|x2-2x≤0},B={x|-1

A.{x|0≤x<1}

B.{x|-1

C.{x|-1

D.{x|-1

3.设全集U是实数集R,M={x|x2>4},N={x|1

A.{x|-2≤x<1}

B.{x|-2≤x≤2}

C.{x|1

D.{x|x<2}

4.设U={1,2,3,4},且M={x∈U|x2-5x+P=0},若∁U M={2,3},则实数P的值为( )

A.-4

B.4

C.-6

D.6

5.已知全集U=R,集合A为函数f(x)=ln(x-1)的定义域,则∁U A= .

1.C A∩B={3,4},U=A∪B={1,2,3,4,5},∁U(A∩B)={1,2,5},∁U(A∩B)的元素个数为3,故选C.

2.A ∵A={x|x2-2x≤0}={x|0≤x≤2},

∴A∩B={x|0≤x<1},故选A.

3.C 由韦恩图可知阴影部分表示为(∁U M)∩N,∵M={x|x2>4}={x|x<-2或x>2},

∴∁U M={x|-2≤x≤2},∴(∁U M)∩N={x|1

4.B ∵∁U M={2,3},∴M={1,4},从而P=1×4=4,故选B.

5.答案{x|x≤1}

解析由对数定义域可知x-1>0,∴x>1,即A={x|x>1},则∁U A={x|x≤1}.