第十五讲 生活中的巧妙(3)——抽屉原理

第十五讲生活中的巧妙（3）——抽屉原理

[知识提要]

我们来想一个生活中有趣的小问题：桌上有六个苹果，桌子共有五个抽屉。现在，要把这六个苹果放到这五个抽屉里。放的方法怎样都可以：有的抽屉可以放一个，有的可以放两个、三个，有的可以放四个、五个。喜欢动手的同学可以自己试一试，但最终我们会发现，至少有一个抽屉里面至少放两个苹果。有趣不有趣？这一现象就是我们这一讲所要讲的抽屉原理。

我们可以画一张表，来说明这个问题：

上面的图表已经包含了所有的情况。我们可以发现：把6个苹果放到5个抽屉里时，不管怎样放，其中总有一个抽屉放2个或2个以上的苹果。

聪明的同学可能已经发现，这个现象出现的原因，就是苹果的数量比抽屉的个数多。6>5，那么一个抽屉，一个抽屉放下来，等到五个抽屉都各放了一个后，还是会有一个苹果剩下。那么不管把它放在那个抽屉里，都会有一个抽屉里有两个。所以，没有一个抽屉里是只有一个苹果的。这个原理，具体写出来就是：

只要苹果数>抽屉数，就会至少有一个抽屉里面至少放两个苹果。

这个原理虽然简单，但它却是组合数学中最重要的一个原理，很多大数学家也要靠它来解决问题呢！所以，掌握了它，就相当于掌握了进入数学大厦的一把金钥匙。

下面，我们看一看生活中其它应用抽屉原理的问题：

[经典例题]

[例1]沙沙说：“我不知道我的好朋友都在几月出生，但是我可以肯定，在我的好朋友中，至少有两个人出生在相同月份。”那么，沙沙至少有几个好朋友呢？

[分析]这两个问题，刚一看时，好像和“抽屉放苹果”的问题一点关系都没有。但是，其实也是可以利用抽屉原理来解决的。我们知道，一年有十二个月。其实，这十二个月就可以看成是十二个“抽屉”，沙沙的那些好朋友就可以看成是若干个“苹果”。我们还知道，13是比12的最小的整数。因此，为了保证在沙沙的好朋友中至少有两个人出生在相同月份，沙沙至少应该有13个好朋友。

从这道题目可以看出来，应用抽屉原理解决生活中的问题，关键的地方在于准确地发现题目中的哪个量可以被看成是“抽屉”，哪个量又可以被看成是“苹果”。搞清楚了哪个是“抽屉”，那个是“苹果”后，只要比较一下他们的大小，就能做出正确地判断了。

[解答]12+1=13

13>12

答：沙沙至少有13个好朋友。

[评注]这是一道基本的抽屉原理题目，只要小朋友们能明白“在同一个月份出生”和“属于同一个抽屉”之间可以建立起联系，那么得出13个的答案并不是很难。

[举一反三]

1，小黄转学了，转学的第一天回家，他就对爸爸妈妈说：“我们班一定有两个人的出生日期相同。”事实上，他根本没有问过任何同学的生日，那么他的班级至少有多少人呢？

2，几个小朋友一起玩石头、剪子、布的游戏。无论他们各自出什么，总会有两个小朋友出的相同。那么最少有几个小朋友一起玩呢？

3，一幢大楼有18层。某天，一些住户一起从1楼乘坐电梯回家，尽管他们彼此不认识，但是知道其中必有两人在同一层下电梯。那么你知道电梯里最少有多少人吗？（注意，一层的住户不需要乘坐电梯！）

[例2]幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理。

[分析与解答]从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同。

[评注]看起来每个小朋友任意选两件变数比较大，但是经过枚举可以发现，可以选择的方法数还是要比小朋友的人数少，这样我们就得出了结论。有的问题，正是需要用枚举去实践，才能得出答案。

[举一反三]

1、沙沙又说：“蕾蕾小学六年级的360名学生中，至少有两名学生，他们在同一天过生日。”你认为他的说法正确么吗？你能说明为什么正确或为什么不正确吗？

2、为了提高同学们解应用题的能力，培养同学们对数学学习的兴趣，蕾蕾小学数学教学组购买了一批《六年级应用题天天练》，准备发给六年级的同学们。六（1）班有45个人，李老师至少要拿多少本《六年级应用题天天练》，随意分给同学们，才能保证至少有一个同学能得到三本《六年级应用题天天练》？

3、沙沙有有同样大小的黑、白、红、黄、绿色的手套各一双。现在，一只一只地从中拿手套。那么，其中至少需要拿几只，才能保证拿出的手套中有2只恰为一双手套？

[思路拓展]

其实，这类问题最重要的就是“抽屉”和“苹果”的选择。不过，抽屉原理不是拿来就能用的。在上面的问题中，“抽屉”和“苹果”的选择还都是比较简单的。

下面，我们再来看一道比较复杂的问题，在这个问题中，“抽屉”和“苹果”都很不明显，刚拿到时很难想到要用抽屉原理来解答。但是，通过分析，我们就会发现，这其实还是一道用到抽屉原理的数学题。解题的关键是要应用所学的数学知识去寻找“抽屉”，制造“抽屉”，弄清应当把什么看作“抽屉”，把什么看作“苹果”。

[例3]楠楠在纸上任意写下了4个自然数。楠楠惊奇地发现：无论怎样写这四个自然数，其中都至少有两个数的差是3的倍数。楠楠不明白了：这是为什么啊？你能帮助楠楠解答这个疑问吗？

[分析与解答]首先，我们需要应用相关的数学知识，弄清这样一条规律：如果两个自然数除以3的余数相同，那么这两个自然数的差是3的倍数。而且，任何一个自然数被3除的

余数，或者是0，或者是1，或者是2。刚兴趣的小朋友不妨自己去试一试，看看是不是这样。

根据这三种情况，我们可以帮助楠楠把自然数分成3类，这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。我们把4个自然数看作“苹果”。根据抽屉原理，由于“苹果”数量多于“抽屉”数量，所以必定有一个“抽屉”里至少有2个数。换句话说，4个自然数分成3类，至少有两个是同一类。既然是同一类，那么这两个数被3除的余数就一定相同。所以，任意4个自然数，至少有2个自然数的差是3的倍数。

[评注]想一想，如果楠楠任意写下的不是4个自然数而是7个，那么会不会其中至少有两个数的差是6的倍数呢？

[举一反三]

1，楠楠这回写下5个数，他不再计算它们的差是否是3的倍数，而是计算它们的差是否是7的倍数了。他发现，有可能没有两个数的差是7的倍数，但是只要这种情况出现，就会有两个数的和是7的倍数。你能解释是为什么吗？

2，在正十边形的顶点中任意取4个，证明可以以这4个顶点为顶点连出两条线段，它们的长度相等。

3，几个学生被安排去阅读同一本课外书。几天后上课，老师说：“你们中肯定有两个人，读那本书的页数之差是5的倍数。”那么至少有几名学生被安排读这本课外书呢？

[例4]有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，试问不论如何取，从箱中至少取出多少只就能保证有3双袜子（袜子无左、右之分）？

[分析]试想一下，从箱中取出6只袜子，能配成3双袜子吗？回答是否定的。

按5种颜色制作5个抽屉，根据抽屉原理，只要取出6只袜子就总有一只抽屉里装2只，这2只就可配成一双。拿走这一双，尚剩4只，如果再补进2只又成6只，再根据抽屉原理1，又可配成一双拿走。如果再补进2只，又可取得第3双。所以，至少要取6＋2＋2=10只袜子，就一定会配成3双。

[解答] 6＋2＋2=10（只）

答：至少取出10只就能保证有3双袜子。

[评注]从这道题目的分析里可以看出，有时候我们并不能够直接利用抽屉原理一步得出答案。比如给出一共有10只袜子，如果用抽屉原理，只能得出至少有一种颜色的袜子有2只，而这两只只能配成一双，并不满足三双的要求。这道题目里，我们利用了“分步讨论”的方法，一双一双地拿取了三双袜子。这样的解法，值得小朋友们注意。

[举一反三]

1、蕾蕾小学五(2)班选两名班长．投票时，每个同学只能从4名候选人中挑选2名．这个班至少应有多少个同学，才能保证有8个或8个以上的同学投了相同的2名候选人的票？

2、蕾蕾小学每周星期一、三、五、六各举办一种课外活动，问：至少要有多少学生报名参加，才能保证其中至少有3位学生所参加的课外活动完全一样？

3、每位小朋友去麦当劳吃儿童套餐，都可以获得四种玩具中的一种。彬彬现在要集出三对相同的玩具，分别摆在自己的床头、写字台上和书架里。那么他至少要吃多少次套餐，才能保证完成自己的愿望？

[例5]一个布袋中有35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球？

[分析]从最“不利”的取出情况入手。最不利的情况是首先取出的5个球中，有3个是蓝色球、2个绿色球。