第二章 线性时不变系统

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2、分配律： x(n) [h1 (n) h2 (n)] x(n) h1(n) x(n) h2 (n) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] x(t ) h1(t ) x(t ) h2 (t )
h1 (t )
x ( n) x(t )
h1 (n) h2 (n)
18
二 卷积积分（The convolution integral）
与离散时间系统的分析类似，如果一个线性系 统对 (t ) 的响应为 h (t ) ，则该系统对 x(t ) 的响应可表示为： y(t ) x( )h (t )d

若系统是时不变的，即： 若 (t ) h(t ) ，则 (t ) h(t ) 于是系统对任意输入 x(t ) 的响应可表示为：
yn
若系统具有时不变性，即：
k
xk h n
k



k
n n h( )h )， 则: 若 (
(n n k k ) h (n n k k )
yn
k
xk hn k
7
8
9
h (n )
(n) 因此，只要得到了LTI系统对

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h( n) x(t ) y(t ) h(t ) x ( n) y ( n)
结论：

x ( n) h(t ) y(t ) x(t ) h( n) y ( n)
一个单位冲激响应是 h(t ) 的LTI系统对输入信号 x(t ) 所产生的响应，与一个单位冲激响应是 x(t ) 的LTI 系统对输入信号 h(t ) 所产生的响应相同。
5
6
于是有：
x (n n )
表明：任何信号
n k k) k )(n x( x x x( n) 都可以被分解成移位
k

加权的单位脉冲信号的线性组合。 二 卷积和（Convolution sum） 如果一个线性系统对 n k ( )， ) 的响应是 h n hk ( 由线性特性就有系统对任何输入 x(n) 的响应为：
h( )
2T
1
x(t )

0
2T
t T
0
t

23
① 当 t0 ② ③ ④ ⑤
1 2 y (t ) d t 当 0 t T 时， 0 2 t 1 2 y (t ) d Tt T 当 T t 2T 时， t T 2 2T 1 2 2 y ( t ) d 2 T ( t T ) 当 2T t 3T时， t T 2 y(t ) 0 当 t 3T 时，
解法一：解析法
at
a0
解法二：图解法
x( )
1
y (t ) x(t ) h(t ) x( )h(t )d


e a u ( )u (t )d
t

e
0
a
1 d (1 e at )u(t) a

0
u(t )
5.对新区间中的 n ，重复步骤3和4，直到所有时间区间被划分， 对应的 g[k ] 数学表达式被确定，这通常意味着将 n 增加到正无穷。
6.在每个时间区间，将相应的 g[k ] 对 k 求和，得到该区间的输
出 yn 。
12
例2.4
1 x( ) n 0
0n4 otherwise
举例(下页)
10
解：
11
三 卷积和的计算
计算方法： 有图解法、解析法（包括数值解法） 图解法的运算过程：（反转,平移,相乘,求和） 1.以 k 作为自变量,画出 xk 和 hn k 的信号波形.为了确 定 hn k ,先将 hk 相对于 k 0 反转得到 h k ,然后再平
1

0
t
22
例 2.7：
1 x(t ) 0
0t T otherwise

t h(t ) 0
0 t 2T otherwise
Fra Baidu bibliotek
解：
y(t ) x(t ) h(t ) x( )h(t )d x(t )h( )d

第二章 线性时不变系统
本章内容：
信号的时域分解——用 间信号；用
n 表示离散时
(t ) 表示连续时间信号；
LTI系统的时域分析——卷积运算； LTI系统的微分方程及差分方程表示；
LTI系统的框图结构表示；
1
§2.0 引言
(Introduction) • 由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具有时 不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的 理论与方法奠定了基础。 • 基本思想：如果能够把任意的输入信号都分解 成基本信号的线性组合，那么只要得到LTI系统 对基本信号的响应，就可以利用系统的线性特 性，将系统的输出响应表示成系统对基本信号 的响应的线性组合。
y(t ) x( )h(t )d


x(t ) h(t )
表明，LTI系统可以完全由它的单位脉冲响应 h(t ) 来表征。这种求得系统响应的运算关系称为 卷积积分（The convolution integral ）。 19
三 卷积积分的计算 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、
解析法和数值解法。 运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中， 一个不动，另一个反转后随参变量 移动。对 t 每
一个
t的值，
将
x(和 )
h(t 对应相乘，再 )
计算相乘后曲线所包围的面积。
通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很
有用的。
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图解法的运算过程：（反转,平移,相乘,求和）
1.以 作为自变量,画出 x( ) 和 h(t ) 的信号波形.为了确
h2 (t )
x(n) h1 (n)
y ( n) y(t )
就可以得到LTI系统对任何输入信号 响应：
的响应
单位脉冲响应(impulse response)，
x (n ) 的
yn
k
xk hn k xn* hn

这表明，一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲 响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为 卷积和（The convolution sum ）。
① n 0 时，
y y(n n) 0n n nk n k y ( n ) ② 0 n 4时， n
k 0 k 0 ( n 1) n 1 1 1 n 1 1 1 5 4 1 y ③ 4 n 6 时， y( n) nk n 1 1 k 0
( n) ,可以由它 离散时间信号中,最简单的是 的线性组合构成 u n )，即： u( n
u ) u( n
k
n ( k ) (n k k)
k 0
n

对任何离散时间信号 x x( n ),如果每次从其中取 出一个点，就可以将整个信号拆开来，每次取出 的一个点都可以表示为不同加权、不同位臵的单 位脉冲。
k 0 n
n-6 n n-6 n
0
2.
3. n 4
n6 0 y[n] a nk
k 0 4
即4 n 6
4. n6 0
n6 4 y[n]
k n 6
n-6 n
即6 n 10
a
4
nk
5.
n6 4
即: n 10
y[n] 0
14
n-6
k
x ( k ) h( n k )

k
x ( n k )h(k ) h(n) x (n)

y (t ) x(t ) h(t ) x( )h(t )d x(t )h( )d h(t ) x(t )
定 h(t ) ,先将 h( ) 相对于 0 反转得到 h( ) ,然后再平 移 。
t 2.从 t
等于负无穷开始,也就是将h( ) 向时间轴左端平移。
3.写出中间信号g ( ) x( )h(t ) 的数学表达式。
t （也就是将 h(t ) 向右移动），直到 g ( )的数学 表达式出现变化。出现变化时所对应的 t 值标志着现在区间的结
n h n) h (n 0
1, 0 n 6
otherwise
解：
xk
1
h ( n nk h n k k)
k
0
k
n6
0
4
n
13
x[n]
h[n]
h[n-k]0 1 2 3 4
1.
0 123456
n0
0n4
y[n] 0
y[n] a nk
移 n。 2.从 n 等于负无穷开始,也就是将h k 向时间轴左端平移。 3.写出中间信号g[k ] x[k ]h[n k ]的数学表达式。 4.增加时移量 n（也就是将 hn k 向右移动），直到 g[k ]的数学 表达式出现变化。出现变化时所对应的 n 值标志着现在区间的结 束以及下一个新区间的开始。
0
对一般信号 x(t ) ，可以分成很多 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x (t ) 近似表示 x(t ) .当 0 时，
x (t ) x(t )
17
于是：
x(t ) x( ) (t )d


表明： 任何连续时间信号 x(t ) 都可以被分解为移位 加权的单位冲激信号的线性组合。
2
问题的实质：
1 研究信号的分解：即以什么样的信号作为 构成任意信号的基本信号单元，如何用基本 信号单元的线性组合来构成任意信号； 2 如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。
作为基本单元的信号应满足以下要求： 1 尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示 （构成）尽可能广泛的其他信号； 2 LTI系统对这种信号的响应易于求的。 如果解决了信号分解问题，即 若 x(t ) a x (t ) x (t ) y (t )
t
时，y(t ) 0
3 2 T 2 1 2 T 2
y(t )
t
T 2T
0
3T
24
P98作业：
• 2.22（b）
25
§2.3 线性时不变系统的性质
（the Property of Linear Time-invariant System）
一 、卷积积分与卷积和的性质
1 、交换律：
y ( n) x ( n) h( n)
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§2.2 连续时间LTI系统：卷积积分
（The convolution integral ）
一 用冲激信号表示连续时间信号
与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间 信号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信 号的线性组合。至少单位阶跃与单位冲激之间有这 t 种关系： u(t ) ( )d (t )d
则 y (t ) a y (t )
i i i
i
i
i
i
3
i
分析方法：
对信号分解可在时域进行，也可在频域或变换域 进行，相应地产生了对LTI系统的时域分析法、频 域分析法和变换域分析法。
4
§2.1 离散时间LTI系统：卷积和
（Convolution sum） 一 用单位脉冲表示离散时间信号
4.增加时移量 束以及下一个新区间的开始。 5.对新区间中的 对应的
t
，重复步骤3和4，直到所有时间区间被划分，
数学表达式被确定，这通常意味着将 g ( ) 。 y (t )
6.在每个时间区间，将相应的 g ( ) 对 t 从负无穷到正无穷进行积分， 得到该区间的输出
t 增加到正无穷。
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例2.6： x(t ) e u(t ) h(t ) u (t )
1 n4 7 4 nk y(n) ④ 6 n 10 时， y 1 k n 6 (n )0 ⑤ n 10 时， y
n4 n 1
15

通过图形正确确定反转移位信号的区间表 示，对于确定卷积和计算的区段及各区段求和 的上下限是很有用的。