2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第37讲

y 2 x2 解析：设双曲线方程为 2－ 2＝1， a b a 其中一条渐近线方程为 y＝ x， b c2－a2 2 a a 1 ∴ ＝ ＝ 2 2，即 a2 ＝e －1＝4，∴e＝ 5. b 2 c －a
答案：A
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x2 5．双曲线 －y2＝1 的两个焦点为 F1，F2，点 P 在双曲线上， 4 → → △F1PF2 的面积为 3，则PF1·PF2＝( A．2 C．－2 B. 3 D．－ 3 )
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类型三
双曲线几何性质的应用
x2 y2 解题准备：以焦点在 x 轴上的双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)为 a b 例，有如下简单几何性质： 1．范围：双曲线在不等式 x≥a 与 x≤－a 所表示的区域内， 即 x≥a 或 x≤－a，y∈R；
2．对称性：双曲线关于两条坐标轴和原点都对称； 3．顶点：双曲线和它的对称轴的两个交点A1(－a,0)、A2(a,0)叫做 双曲线的顶点；
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解 析 ： 因 为 焦 距 与 k 的 取 值 无 关 ， 所 以 c2 为 定值 ， 若
k－2010>0 2－|k|<0
x2 y2 ，解之得 k>2010，则方程可化为 － ＝1， k－2010 k－2
而 c2 ＝ k － 2 ＋ k － 2010 不 为 定 值 ， 所 以 此 时 不 成 立 ， 若
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a2 4．准线：双曲线的两条准线为 x＝± ； c 5．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比叫双曲线的离心率 e c ＝ ，e>1.离心率越小，双曲线开口越扁狭；离心率越大，开口越 a 开阔．
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2．双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示)
x2 y2 y2 x2 标准 2－ 2＝1(a＞0，b 2－ 2＝1(a＞0，b a b a b 方程 ＞0) ＞0)
图形
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焦点 焦距 范围 对称 性质 性 顶点 轴 离心 率
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[解析]
2 由双曲线的渐近线方程 y＝± x 可设双曲线方程 3
x2 y2 为： － ＝λ(λ≠0)． 9 4 (1)∵双曲线过点 P( 6，2)， 6 4 1 ∴ － ＝λ，得 λ＝－ ， 9 4 3 3 1 故所求双曲线方程为 y2－ x2＝1. 4 3 (2)若 λ＞0，则 a2＝9λ，b2＝4λ，c2＝a2＋b2＝13λ.
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F1(－c,0)，F2(c,0)

F1(0，－c)，F2(0，c)
F1F2＝2c(c2＝a2＋b2)


x ≥a，y∈R
y ≥a，x∈R
关于 x 轴、y 轴和原点对称 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a)
实轴长 2a，虚轴长 2b c e＝ (e＞1) a
线的第二定义知 |PF1| |PF2| ＝ ＝e，即|PF2|＝e|PF1|，① d |PF1| 再由双曲线的第一定义，得|PF2|－|PF1|＝2a，② 2a 2ae 由式①②，解得|PF1|＝ ，|PF2|＝ . e－1 e－1 因在△PF1F2 中有|PF1|＋|PF2|≥2c， 2ae 2a ＋ ≥2c.③ ∴ e－1 e－1
b 解析：双曲线的渐近线方程可表示为 y＝± x，由已知可得 k a b ＝ .又离心率 e＝ a
b2 1＋ ＝ a
1 b 1 5k， 所以 k＝ .即 ＝ ， a＝2b. 故 2 a 2
答案：C
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x2 y2 3．已知 k 为实数，若双曲线 ＋ ＝1 的焦距与 k k－2010 2－|k| 的取值无关，则 k 的取值范围为( A．(－2,0] C．[0,2) ) B．(－2,0)∪(0,2) D．[－1,0)∪(0,2]
第三十七讲 双曲线
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回归课本 1.双曲线的定义 第一定义：平面内与两个定点F1 ，F2 的距离的差的绝对值等于常 数2a(2a＜)的点的轨迹叫做双曲线． 第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离的 比是常数e(e＞1)的动点C的轨迹叫做双曲线．
→ → → → 2 3 ＝ 4，∴PF1 ·PF2 ＝ |PF1 |·|PF 2|cos∠ sin∠F1PF2
答案：A
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类型一
双曲线定义的应用
解题准备：问题涉及曲线上的点到两焦点距离时，应考虑用双曲 线的第一定义，若问题涉及曲线上的点到焦点和对应准线的距离时，应 考虑用第二定义．
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探究 2：根据下列条件，求双曲线方程． x2 y2 (1)与双曲线 － ＝1 有共同的渐近线，且经过点(－3， 9 16 2 3)； x2 y2 (2)与双曲线 － ＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2)． 16 4
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1 3的双曲线的右支，还需除去 2 ，0点．
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[误区指津]
题目要求的是“顶点 A 的轨迹”，必须指明轨
迹是什么及轨迹的主要特征(如中心位置、焦点坐标、实轴、虚轴
1 x2 y2 长度等)，有很多同学只求出 － ＝1x> 便结束了，没有指 1 3 2 4 4
考点陪练 1.已知双曲线的离心率是 2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线 方程为( ) x2 y 2 B. － ＝1 12 4 x 2 y2 D. － ＝1 6 10
x2 y2 A. － ＝1 4 12 x2 y2 C. － ＝1 10 6
c 解析：由题知 c＝4，且 ＝2， a ∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝12， x2 y 2 ∴双曲线方程为 － ＝1. 4 12
解题准备：求双曲线的方程，关键是求 a、b，在解题过程中 应熟悉各元素(a、b、c、e 及准线)之间的关系，并注意方程思想 的应用．若已知双曲线的渐近线方程 ax±by＝0，可设双曲线方程 为 a2x2－b2y 2＝λ(λ≠0)． 【典例 2】 已知双曲线的渐近线方程为 2x±3y＝0.
(1)若双曲线经过 P( 6，2)，求双曲线方程； (2)若双曲线的焦距是 2 13，求双曲线方程．
由题设 2c＝2 13，∴λ＝1， x2 y2 故所求双曲线方程为 － ＝1. 9 4
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若 λ＜0，则 a2＝－4λ，b2＝－9λ，c2＝a2＋b2＝－13λ 由 2c＝2 13，∴λ＝－1， y2 x2 所求双曲线方程为 － ＝1， 4 9 y2 x2 y2 x2 故所求双曲线方程为 － ＝1 或 － ＝1. 9 4 4 9
k－2010<0 2－|k|>0
y2 x2 ， 解之得－2<k<2， 则方程可化为 － ＝1， 2－|k| 2010－k
要使 c2＝2－|k|＋2010－k 为定值，只需 k≤0，所以 k 的取值范围 为(－2,0]，故选 A.
答案：A
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4．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在 y 轴上，一条渐近线方程为 x－2y＝0，则它的离心率为( A. 5 C. 3 5 B. 2 D．2 )
【典例 1】 x2 y2 已知双曲线 2－ 2＝1 的离心率 e＞1＋ 2，左、 a b
右焦点分别为 F1、F2，左准线为 l，能否在双曲线的左支上找一点 P，使得|PF1|是 P 到 l 的距离 d 与|PF2|的等比中项？
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[解析]
设在左支上存在 P 点，使|PF1|2＝|PF2|·d，由双曲
x2 y2 解法二：(1)设所求双曲线方程为 － ＝λ(λ≠0)，点(－3， 9 16 1 x2 y2 1 x2 y2 2 3)代入得 λ＝ ，所以双曲线方程为 － ＝ ，即 － ＝1. 4 9 16 4 9 4 4 x2 y2 (2)设双曲线方程为 － ＝1，将点(3 2，2)代入得 k 16－k 4＋k x2 y2 ＝4，所以双曲线方程为 － ＝1. 12 8
明轨迹的情况．
1 点评：利用正弦定理把条件 sinC－sinB＝ sinA 转化为|AB|－ 2 |AC|＝1，正符合双曲线的定义，但与定义又有点差别(缺少差的绝
1 对值条件)，且由实际，A、B、C 不能共线，故又去掉 2 ，0点．
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类型二
求双曲线的标准方程
答案：A
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x2 y2 2． 已 知双 曲 线 2 － 2 ＝1(a>0， b>0) 的 一条 渐 近线 为 y＝ a b kx(k>0)，离心率 e＝ 5k，则双曲线方程为( x2 y2 A. 2－ 2＝1 a 4a x 2 y2 C. 2－ 2＝1 4b b x2 y2 B. 2－ 2＝1 a 5a x2 y2 D. 2－ 2＝1 5b b )
分析：首先利用正弦定理把三角关系转成三边关系．利用双曲线 的定义可判断A点轨迹的形状，然后还要结合实际问题，确定曲线的范 围．
1 解析：∵sinC－sinB＝ sinA， 2 b 1 a c － ＝ · ， ∴ 2 2R 2R 2R 1 1 即：c－b＝ a＝ ×2＝1， 2 2 亦即：|AB|－|AC|＝1，
x2 y2 (2)设双曲线方程为 2 － 2 ＝1. a b 由题意易求 c＝2 5. (3 2)2 4 又双曲线过点(3 2，2)，∴ 2 － 2 ＝1. a b 又∵a2＋b2＝(2 5)2，∴a2＝12，b2＝8. x2 y2 故所求双曲线的方程为 － ＝1. 12 8
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第19页高ຫໍສະໝຸດ 总复习（ 高考总复习（文、理）∴动点 A(x，y)符合双曲线的定义且知双曲线中的 2a＝1,2c＝ 2， 1 3 2 2 2 ∴a＝ ，b ＝c －a ＝ ， 2 4
1 x2 y2 ∴点 A 的轨迹方程为 － ＝1x> ， 1 3 2 4 4
由 c>b 即是|AB|>|AC|，可知点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点，实轴 长为 1，虚轴长为
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c 利用 e＝ ，从式③得 e2－2e－1≤0， a 解得 1－ 2≤e≤1＋ 2. ∵e＞1，∴1＜e≤1＋ 2与已知 e＞1＋ 2矛盾． 即符合条件的点 P 不存在．
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探究 1：△ABC 中，A、B、C 所对三边为 a、b、c，B(－1,0)， 1 C(1,0)，求满足 sinC－sinB＝ sinA 时，顶点 A 的轨迹，并画出图 2 形．
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准线 方程 性质 渐近线
a2 x＝± c x y a±b＝0
b 或y＝± x a
a2 y＝± c x y b±a＝0
a 或y＝± x b
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性质
焦半径
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1 → 解析：∵S△F1PF2＝ |PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2，再由双曲线中焦 2 三角形面积公式 ∠F1PF2 ，知∠F1PF2＝60°， S△F1PF2＝b cot 2
2
→ → ∴ |PF1 |·|PF2 |＝ 1 F1PF2＝4× ＝2. 2
x2 y2 解析：解法一：(1)设双曲线的方程为 2 － 2 ＝1， a b
b ＝ 4， a 3 由题意，得 (－3)2 (2 3)2 2 － 2 ＝1. a b
9 解得 a ＝ ，b2＝4. 4
2
x2 y2 所以双曲线的方程为 － ＝1. 9 4 4
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