分析力学,拉格朗日方程

此有约束方程：
y tan q
x
自由度数为2，小于广义坐标数。
虚位移
第5章 分析力学基础 5.2 虚位移原理
所谓非自由质点系的虚位移是指在某一固定时刻，约束所允许发生的 坐标微小改变量。
虚位移只是约束允许的可能位移 ，并不一定是系统的真实位移。它与时
间t 的变化无关。
虚位移用d 表示，真实微小位移用d表示。
质点的自由度
质点在空间需要3个独立坐标才能确定它在任何瞬时的位置，因此， 它的自由度为3。n个毫不相干、无任何约束的质点组成的质系自由度为 3n。
刚体的自由度
一个刚体在空间需要6个独立坐标才能确定其在任何瞬时的位置，因 此它的自由度为6。m个无约束刚体组成的系统自由度为6m。
振动系统的自由度
振动系统力学模型中若有n个质点和m个刚体，那么它的自由度DOF 必定满足下列方程：
时的位置，即广义坐标数为2，自由度为2。
第5章 分析力学基础 5.1 自由度和广义坐标
例 5.2 右图表示由刚性杆l 1和质量m 1及刚性杆l 2 和质量m 2组成的两个单摆在O’ 处用铰链连接成 双摆，并通过铰链O与固定点连接，使双摆只能 在平面内摆动，分析系统的自由度，并建立系统 的广义坐标。 解 由于双摆只能在平面内摆动，因此， z 1 = 0，z 2 = 0， 而双摆的长度l 1和l 2不变，即
振动理论及其应用
第5章 分析力学基础
5.1 自由度和广义坐标 5.2 虚位移原理 5.3 动能和势能 5.4 D’Alembert原理 5.5 Lagrange方程 5.6 哈密尔顿原理
第5章 分析力学基础 5.1 自由度和广义坐标
分析力学
分析力学是利用分析方法研究质点系平衡和运动问题的工具。 它从能量的观点，统一建立起系统动能、势能和功之间的标量关 系，是研究静动力学问题的一个普遍、简单又统一的方法。
当约束方程含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。具 有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数，自由度数小于广 义坐标数。
第5章 分析力学基础 5.1 自由度和广义坐标
不完整约束
当约束方程含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。具 有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数，自由度数小于广 义坐标数。
例 5.3 刚体A通过三个点放置 在xoy 平面上，其中的两个接 触点可在平面上作无摩擦自由 滑动，而P点有一个刀片，使 其只能沿刀片方向移动，分析 冰刀系统的广义坐标和自由度。
解 由于刚体A在xoy平面中移动，因此需要三个广义坐标(x, y和q)描述其
在任意时刻的位置。
而刚体A只能沿刀片方向移动，因
若系统有n个自由度，任意一点的坐标矢量可以用n个广义坐标和时间t
来表示，即： r＝ r(q， q， ， q， t)
i
i
12
n
由于虚位移与时间无关，则有：
n
d r＝
r i
dq
i
q k1
k
k
代入虚功方程，得：
d d p
n
W＝ F
r i
q
q i
i1
k1
k
k
第5章 分析力学基础 5.2 虚位移原理
对换求和的次序，得：
DOF = 3 n + 6 m -（约束方程数）
第5章 分析力学基础 2.1 自由度和广义坐标
例 5.1 图 (a)中，质量用一
根弹簧悬挂。图（b）中质
量用一根长度为l，变形可忽
略的悬丝悬挂。分析系统的
自由度，并建示的系统，尽管质量用弹簧悬挂，但弹簧能自由地伸长， 因此它的约束方程为零，自由度为3。
虚功
力在虚位移上的元功称为虚功。
力的分类
作用于系统的力可分为两类：约束反力和主动力。
理想约束约束作用于系统的力。
在系统运动或平衡中处于主导地位。
在虚位移上不做功的约束称为理想约束。
虚位移原理
受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是：
作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。
第5章 分析力学基础 5.1 自由度和广义坐标
完整约束
当约束方程本身或约束方程通过积分后可以用下式所示的形式表示时， 称为完整约束。显然，例5.1和例5.2的约束都是完整约束。
fi (x,yz, t,)0
定常约束
当约束方程与时间t 无关时，称为定常约束。例5.1和例5.2的约束都是定常 约束。
不完整约束
第5章 分析力学基础 5.2 虚位移原理 虚位移原理
受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是：
作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。
p
其数学表达式为: dW Fdr 0
i
i
i 1
其中，Fi为作用于质点系的主动力， dri为虚位移。上式也称为虚功方程。
虚位移原理的另一种表述
d d n
W＝
k1
p i1
r Fi
i q k
q k
其中， Q＝ p Fri
q k
i
i1
k
(k为 与1 ,广2 义, 坐标,qn)k 对应的广义力。
这样，虚功方程可以写成：
n
dW＝ Qdq＝0
k
k
k1
由于虚位移是约束所允许的任意可能位移，因此可任意选择，当上式成立 时，有：
Q ＝ 0 (k 1 ,2 , ,n ) k
5.1 自由度和广义坐标
自由度
完全确定系统在任何瞬时位置所需的独立坐标数称为自由度。
广义坐标
用某一组独立坐标（参数）就能完全确定系统在任何瞬时的 位置，则这组坐标称为广义坐标。
一般地，建立振动系统数学模型时广义坐标的数目 与自由度相等。
约束
对质点在空间的运动所加的限制称为约束。
第5章 分析力学基础 5.1 自由度和广义坐标
x12 y12 l12
x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 l2 2
利用自由度DOF计算的公式，可得到双摆的自由度为
DOF ＝３×２－４＝２
设刚性杆l 1与x轴的夹角为q 1 ，刚性杆l 2与x轴的夹角为q 2 ，方向如 图所示，那么用和可以完全确定双摆在任何瞬时的位置， q 1和q 2可以作
为双摆的广义坐标。
对图（b）所示的系统，悬挂质量的悬丝不可伸长， 因此在空间的位置必 须满足质量离悬挂点的距离保持不变的条件，即满足下列方程约束方程：
x2y2z2 l2
这样，坐标 x 、 y 和 z 就再不独立。若用球面坐标r 、y 和j 来表示， 必须满足条件 r = l ，只要用y 和j 两个坐标就能完全确定质量在任何瞬