高中数学黄金100题系列第62题空间几何体的表面积与体积文

第62题 空间几何体的表面积与体积

I ．题源探究·黄金母题

【例1】如图，将一个长方体沿相等三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体的体积的比．

【答案】1:5

【解析】设长方体的三条棱长分别为,,a b c ，则截出的棱锥的体积为1111

326

V abc abc =

⨯=，剩下的几何体的体积215

66

V abc abc abc =-=，所以12:1:5V V =

II ．考场精彩·真题回放

【例2】【2015高考山东文】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) （A ）

223

π （B ）

423

π

（）

22π

（）

42π

【答案】B

【解析】由题意知，该等腰直角三角形的斜边长为22，斜边上的高为2，所得旋转体为同底等高的全等圆锥，所以，其体积为2

142(2)22,3ππ⨯⨯=

，故选B . 【例3】【2015江苏高考】现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为

___________． 【答案】7

【解析】由体积相等得：221

4528

3ππ⨯⨯⨯+⨯⨯＝221

483r r ππ⨯⨯⨯+⨯⨯，解得7r =． 【例4】【2015年全国新课标Ⅰ卷】《九章算术》

是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处

堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）

A ．14斛

B ．22斛

C ．36斛

D ．66斛

【答案】B

【解析】设圆锥底面半径为r ，则

12384

r ⨯⨯==16

3r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209

，故堆放的米约为1.63202922÷≈，故选B ． 【例5】【2015四川高考】在三棱住111ABC A B C －中，90BAC ∠=︒，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直

角三角形，设点M N P ，，分别是11AB BC B C ，，点，则三棱锥1P A MN －的体积是___________．

【答案】1

24

【解析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为1角三角形，高为1的直三棱柱，底面积为

1

2

.1AA PN ，故1AA 面PMN ，故三棱锥1P A MN －三棱锥P AMN －体积相等，三棱锥P AMN －三棱锥底面积的1

4，高为1，故三棱锥1

P A MN －为1111

32424

⨯⨯

=．

【例6】【2015年上海高考】若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a =___________． 【答案】4

【解析】由条件可知正三棱柱的底面面积2

13sin 602S a a a =

︒=，高为a ，所2

3163a a =，解得4a =． 【例7】【2014江苏高考】设甲，别为12,S S ，体积为12,V V ，若它们的侧面积相等且129

4

S S =，则12V V 的值是___________．

【答案】

32

【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为11r h 、22r h 、，则112222r h r h ππ=，12

21

h r h r =，又21122294

S r S r ππ==，

所

以

1232

r r =，

则

222111111212222222221232

V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==． 【例8】【2014山东高考】一个六棱锥的体积为32，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都

相等，则该六棱锥的侧面积为___________． 【答案】12【解析】设六棱锥的高为h ，则1

,3

V Sh =

.，所以，13

4623,34

h ⨯

⨯⨯=解得1h =，设斜高为'h ，则222

(3)','2,h h h +=∴=所以，该六

棱锥的侧面积为

1

226122

⨯⨯⨯=． 【例9】【2014陕西高考】将边长为1的正方形以

其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）

A ．4π

B ．3π

C ．2π

D ．π 【答案】C

【解析】将边长为1的正方形以其一边所在直线

为旋转轴旋转一周得到的几何体为底面为半径为

1r =的圆、高为1的圆柱，其侧面展开图为长为

22r ππ=，1，所以所得几何体的侧面积为

212ππ⨯=C ．

精彩解读

【试题来源】人教版A 版必修二第28页习题1.3A 组第3题

【母题评析】本题是计算简单的两个几何体棱柱与棱锥的体积，只要根据几何体的形状正确选择