任意角的三角函数(一)

§1.2任意角的三角函数

1．2.1任意角的三角函数(一)

学习目标

1.理解并掌握任意角的三角函数定义.

2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.

3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等．

知识点一 任意角的三角函数 1．单位圆

在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． 2．利用单位圆定义任意角的三角函数

在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y . (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x . (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y

x

(x ≠0)． 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数． 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号

由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点

P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y

x (x ≠0)．当α为第一象限角时，y >0, x >0，故sin α>0，

cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．

记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．

知识点三 诱导公式一

终边相同的角的同一三角函数的值相等， 即诱导公式一

1．sin α，cos α，tan α的大小与点P (x ，y )在角α的终边上的位置有关．( × ) 提示 三角函数的大小由角α终边位置确定，而与点P (x ，y )在终边上的位置无关． 2．终边相同的角的同名三角函数值相等．( √ )

提示 由三角函数的定义可知，终边相同的角的三角函数值相等． 3．若α＝β＋720°，则cos α＝cos β.( √ ) 4．若sin α＝sin β，则α＝β.( × )

题型一 三角函数定义的应用

例1 已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝10

10

x ，求sin θ，tan θ. 考点 任意角三角函数 题点 任意角三角函数定义求值 解 由题意知r ＝|OP |＝

x 2＋9，

由三角函数定义得cos θ＝x

r ＝

x x 2＋9

.

又∵cos θ＝

10

10

x ，∴x

x 2

＋9

＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)， 此时sin θ＝

312＋32

＝

31010，tan θ＝3

1

＝3.

当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝

3(－1)2＋32

＝

31010，tan θ＝3

－1

＝－3. 反思感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法

在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝x

r .当已知α

的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．

(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 跟踪训练1 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3

cos α的值．

考点 任意角三角函数

题点 任意角三角函数的定义求值 解 由题意知，cos α≠0.

设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则 x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝

k 2＋(－3k )2＝10|k |.

(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k ＝10，

∴10sin α＋3cos α＝10×⎝⎛⎭⎫－31010＋310

＝－310＋310＝0.

(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝310

10，

1cos α＝r x ＝－10k k

＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)

＝310－310＝0.

综上所述，10sin α＋3

cos α

＝0.

题型二 三角函数值符号的判断 例2 判断下列各式的符号：

(1)sin 145°cos(－210°)；(2)sin 3·cos 4·tan 5. 考点 三角函数值在各象限的符号 题点 三角函数值在各象限的符号 解 (1)∵145°是第二象限角，∴sin 145°>0. ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)<0，∴sin 145°cos(－210°)<0. (2)∵π2<3<π<4<3π

2<5<2π，

∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0， ∴sin 3·cos 4·tan 5>0.

反思感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

跟踪训练2 如果点P (sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角

D ．第四象限角

考点 三角函数值在各象限的符号 题点 三角函数值在各象限的符号 答案 B

解析 因为点P (sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θ·cos θ<0，且2cos θ<0，则

⎩

⎪⎨

⎪⎧

sin θ>0，

cos θ<0，所以θ为第二象限角． 题型三 诱导公式一的应用 例3 求下列各式的值：

(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π

5·tan 4π. 考点 诱导公式一 题点 诱导公式一的应用